ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Впервой урне пять белых и пять черных шаров, а во второй три белых ишесть черных. Урну выбирают наугад, и из нее производится повторнаявыборка четырех шаров. По результатам выбора необходимо принять256решение относительно содержания урны, из которой производился выборшаров, т.е. пространство решений состоит из двух решений:–– решение a1 –– шары выбирались из первой урны (вероятностьвыбора белого шара равна q1 = 1 / 2 );–– решение a2 –– шары выбирались из второй урны (вероятностьвыбора белого шара равна q2 3 /=9 1 /=3 ).Необходимо найти минимаксную и байесовскую стратегии принятиярешений, если функция потерь определяется таблицей:q1q2a104a25–1Решение. В условиях задачи возможны следующие чистые стратегии:–– d1 –– принимается решение a1, если все четыре раза выбиралисьбелые шары, и принимается решение a2, если белых шаров было выбранотри, два, один или ноль;–– d2 –– принимается решение a1, если из урны было выбрано триили четыре белых шара, и принимается решение a2, если белых шаровбыло два, один или ноль;–– d3 –– принимается решение a1, если из урны было выбрано два,три или четыре белых шара, и принимается решение a2, если белых шаровбыло один или ноль;–– d4 –– принимается решение a1, если в выборке один, два, три иличетыре белых шара, и принимается решение a2, если белых шаров ввыборке нет.Случаи «предвзятого мнения», когда при любой выборкепринимается всегда одно из решений a1 или a2, исключим из рассмотрения.Вероятности выбора того или иного числа белых шаров можновычислить по формуле Бернулли (2.6.1).
При q1 = 1 / 2 они равныP4 (0) = 1 / 16, P4 (1) = 4 / 16, P4 (2) = 6 / 16, P4 (3) = 4 / 6, P4 (4) = 1 / 16. Приq2 = 1 / 3 эти вероятности равны P4 (0) = 16 / 81, P4 (1) = 32 / 81, P4 (2) = 24 / 81,P4 (3) = 8 / 81, P4 (4) = 1 / 81.Учитывая эти вероятности, определим векторы риска для каждойстратегии:115ì(q,=)0×+5×» 4,69,Rd1 1ïï1616–– для d1 имеем вектор с координатами íï R (q =, d ) 4 × 1 - 1 × 80 » -0,94;21ïî8181257511ìïï R (q1 , d 2=) 0 × 16 + 5 × 16 » 3,44,–– для d2 имеем вектор с координатами íï R (q =, d ) 4 × 9 - 1 × 72 » -0, 44;22ïî8181115ìïï R (q1 , d 3=) 0 × 16 + 5 × 16 » 1,56,–– для d3 имеем вектор с координатами íï R (q , d =) 4 × 33 - 1 × 48 » 1,04423ïî8181111ìq=×+×» 0,31,(,)05Rd14ïï1616–– для d4 имеем вектор с координатами íï R (q , d =) 4 × 65 - 1 × 16 » 3,01.24ïî8181На рис.
3.8.8 жирными точками отмечены концы векторов риска, азакраской выделена линейная оболочка векторов.Так как с равными шансами могла быть выбрана любая урна, тоимеем априорное распределение: P (q1 ) = P (q2 ) = 1 / 2. Байесовский риск всоответствии с соотношением (3.8.1) принимает вид0,5R(q1 , d ) + 0,5R(q2 , d ) = c.Из рис. 3.8.8 видно, что оптимальной байесовской стратегией являетсястратегия d3Максимальные координаты векторов риска равны соответственно4,69, 3,44, 1,56 и 3,01.
Минимальная из них координата 1,56 у решающегоправила d3. Поэтому из названных чистых стратегий минимальныйнаибольший риск обеспечивает стратегия d3. Найдем координаты точки A,которая соответствует минимаксной стратегии. Координаты этой точки x иy равны (она лежит на прямой y = x ). Как известно, уравнение прямой,проходящей через две точки ( x1 , y2 ) и ( x2 , y2 ), имеет вид:y - y1 y2 - y1=.x - x1 x2 - x1Поэтому прямая, проходящая через точки d3 и d4, имеет уравнениеy - 1,04 3,01 - 1,04или 1,97x + 1,25y = 4,37.=x - 1,56 0,31 - 1,56Полученное уравнение вместе с равенством y = x дает возможностьопределить координаты точки A : y = x = 1,36.Расстояние от точки d3 до точки A равно(1,36 - 1,56) 2 + (1,36 - 1,04) 2 » 0,38,а расстояние от точки до точки A равно(0,31 - 1,36) 2 + (3,01 - 1,36) 2 » 1,96.258Рис.
3.8.8Первое расстояние примерно в пять раз меньше второго. Этоозначает, что решению d3 следует приписать вероятность l 3 = 5 / 6,решение d4 использовать с вероятностью l 4 = 1 / 6, а l1 и l2 взять равныминулю. Далее следует поступать следующим образом. Подбрасываемигральный кубик. Если на нем выпадает заданная грань (например, цифраодин), то используем стратегию d4. Если же заданная грань не выпадает, топринимаем решение в соответствии с правилом d3.Ответ. Оптимальной байесовской стратегией является стратегия d3.Оптимальная минимаксная стратегия реализуется при наборе вероятностейl1 = l 2 = 0, l 3 = 5 / 6, l 4 = 1 / 6.Задача 3.28. В трех внешне одинаковых урнах находятся шары.
Впервой и второй урнах по k1 белых и по k2 черных шара, а в третьей урне k3белых шаров и k4 черных. Урну выбирают наугад и из нее производитсяповторная выборка четырех шаров. По результатам выбора необходимопринять решение относительно содержания урны, из которой производилсявыбор шаров, т. е. пространство решений состоит из двух решений:–– решение a1 –– шары выбирались из первой или второй урны(вероятность выбора белого шара равна q1);–– решение a2 –– шары выбирались из третьей урны (вероятностьвыбора белого шара равна q2).Функция потерь имеет следующий вид.a1a2L11L12q1L21L22q2259Перечислите возможные чистые стратегии. Найдите байесовскую иминимаксную стратегии. (См. пример 3.28 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 3.28.№ L11 L12 L21 L22 k1 k2 k3 k4 № L11 L12 L21 L22 k1 k2 k3 k41 0 2 4 –1 4 2 3 3 16 1 3 4 –1 3 3 4 22 1 3 4 –1 4 2 2 4 17 –1 4 3 1 2 4 4 23 –1 4 3 1 2 6 5 5 18 1 5 4 –1 5 5 2 64 1 5 4 –1 2 4 6 2 19 0 3 4 1 2 6 2 45 0 3 4 1 4 6 3 2 20 –1 5 4 1 3 2 2 66 –1 5 4 1 3 3 4 2 21 0 2 5 1 4 2 3 37 0 2 5 1 2 4 4 2 22 0 2 4 –1 4 2 2 48 0 2 4 –1 5 5 2 6 23 0 2 4 –1 2 6 5 59 1 3 4 –1 2 6 2 4 24 1 3 4 –1 2 4 6 210 –1 4 3 1 3 2 2 6 25 –1 4 3 1 4 6 3 211 1 5 4 –1 4 2 3 3 26 1 5 4 –1 4 2 3 312 0 3 4 1 4 2 2 4 27 0 3 4 1 4 2 2 413 –1 5 4 1 2 6 5 5 28 –1 5 4 1 2 6 5 514 0 2 5 1 2 4 6 2 29 0 2 5 1 2 4 6 215 0 2 4 –1 4 6 3 2 30 0 2 4 –1 4 6 3 22604.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫПусть T –– некоторое множество действительных чисел. Случайнойфункцией называется совокупность случайных величин { X (t )} , зависящихот параметра t Î T . При каждом фиксированном значении параметраt = t0 Î T имеем дело со случайной величиной X (t0 ) , которую называютсечением случайной функции при данном значении параметра t = t0 . Рольпараметра чаще всего играет время или координата. Параметр может бытьи многомерным. Если параметр многомерный, то говорят о случайныхполях.
Примером двумерного случайного поля может служить поверхностьволнующегося моря.При наблюдении случайной функции мы получаем одну извозможных ее реализаций –– неслучайную функцию. Поэтому случайнуюфункцию можно рассматривать как совокупность всех ее возможныхреализаций (см. рис. 4.1, на котором жирной линией выделена одна извозможных реализаций, а точками отмечены возможные значенияслучайной величины X (t0 ) ).Рис. 4.1Если роль параметра t играет время, то случайную функциюназывают случайным процессом. Если параметр дискретный, тосоответствующие ему случайные величины образуют случайнуюпоследовательность.С изменением параметра t изменяется и закон распределенияслучайной величины X (t ) .
Этот закон распределения можно задать в видефункции распределенияF ( x / t ) = P{ X (t ) < x}.Если функция распределения F ( x / t ) дифференцируема, то¶F ( x / t )f (x / t) =¶xназывается функцией плотности вероятности.260Для дискретной случайной величины одномерный законраспределения задается перечислением возможных значений исоответствующих им вероятностейP{ X (t ) = xk } pk (t ), å =pk (t ) 1.=kКонечномерным законом распределения случайной функции X (t )называется закон распределения n сечений случайной функции{ X (t1 ), X (t2 ),K, X (tn )}, n Î N , t1, t2 ,K, tn Î T .Проследить за изменениями всех возможных значений случайнойвеличины и соответствующих им вероятностей, как правило, практическиневозможно. Поэтому обычно ограничиваются анализом числовыххарактеристик случайной величины X (t ) .
В первую очередь интересуютсяматематическим ожиданием (начальным моментом первого порядка),дисперсией (центральным моментом второго порядка) и для анализавзаимосвязи между значениями процесса при разных значениях параметраt рассматривают коэффициент ковариации (ковариационный момент).Математическим ожиданием случайного процесса X (t ) называютнеслучайную функцию mx (t ) , значение которой при каждомфиксированном значении параметра t равно математическому ожиданиюсечения процесса при этом значении параметра, т.е.mx (t ) = M [ X (t )] .Дисперсией случайного процесса X (t ) называют неслучайнуюфункцию Dx (t ) , значение которой при каждом фиксированном значениипараметра t равно дисперсии сечения процесса при этом значениипараметра, т.е.Dx (t ) = D[ X (t )].На рис. 4.2 и рис.
4.3 изображены несколько реализацийсоответственно случайных процессов X 1 (t ) и X 2 (t ) , которые имеютодинаковые математические ожидания и дисперсии. Однако характерпротекания этих процессов существенно различен. У процесса X 1 (t )реализации плавные. Это свидетельствует о зависимости значенийпроцесса, отделенных небольшими промежутками времени.
Процесс жеX 2 (t ) меняется быстро и влияние предыдущих значений процесса быстроиссякает.261Рис. 4.2Рис. 4.3Для описания этих особенностей процесса существует специальнаяхарактеристика, которая называется корреляционной функцией (иногдаговорят об автокорреляционной функции).Корреляционной функцией случайного процесса X (t ) называютнеслучайную функцию K x (t1 , t2 ) , значение которой при каждыхфиксированных значениях параметра t1 и t2 равно коэффициентуковариации величин X (t1 ) и X (t2 ) , т.е.K x (t1 , t2 ) = M [( X (t1 ) - mx (t1 ))( X (t2 ) - mx (t2 ))].При равных между собой аргументах t1 = t 2 = t корреляционнаяфункция равна дисперсии случайного процесса:K x (t , t ) = M [ X (t ) - mx (t )]2 = Dx (t ).Отметим некоторые свойства корреляционной функции:1.
При перестановке аргументов корреляционная функция неменяется:K x (t1 , t2 )= K x (t 2 , t1 ).2. Прибавление к случайной функции X (t ) неслучайной функцииj(t ) не меняет ее корреляционной функции. Если Y (t ) = X (t ) + j(t ), тоK y (t1 , t2 ) = K x (t1 , t2 ).3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
