ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При умножении случайной функции X (t ) на неслучайнуюфункцию j(t ) корреляционная функция умножается на произведениеj(t1 )j(t 2 ) . Если Y (t ) = j(t ) X (t ), тоK y (t1 , t2 ) = j(t1 )j(t2 ) K x (t1 , t2 ).При решении некоторых научно-технических задач приходится иметьдело со случайными процессами, которые удается описать комбинациейпростых (элементарных) функций, в которые в качестве параметров входятслучайные величины. Такие случайные функции называют элементарнымислучайными функциями.262Например, W (t ) = X sin(Yt + Z ), где случайными величинамиявляются амплитуда X, частота Y и фаза Z гармонических колебаний.Пример 4.1. Элементарная случайная функция имеет видZ (t )= X sin(Yt ), где X и Y независимы, причем X имеет плотностьвероятностиf ( x) = l exp(-lx ), l > 0, x ³ 0(показательныйзаконраспределения с параметром l), а случайная величина Y равномернораспределена в отрезке [0, a ] .
Требуется найти для Z (t ) математическоеожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.Решение. Обозначим sin(Y t ) через W (t ) . Учитывая, что случайнаявеличина Y равномерно распределена на [0, a ] с постоянной плотностьюf ( y ) = 1 / a, имеемa11 - cos atmw (t ) = M [sin(Yt )] = ò sin( yt )dy =.a0atПоэтому1 1 - cos at×,latтак как для показательного закона распределения mx = M =( X ) 1 / l.ВычислимK Z (t1 , t2 ) = M {[ X sin(Yt1 ) – mx mw (t1 )][ X sin(Yt2 ) – mx mw (t 2 )]} =mz (t ) = M=( X ) M [sin(Yt )]= M { X 2 sin(Yt1 )sin(Yt 2 ) – mx mw (t1 ) X sin(Yt2 ) – mx mw (t 2 ) X sin(Yt1 ) ++ (mx ) 2 mw (t1 )mw (t 2 )} = M ( X 2 ) M [sin(Yt1 )sin(Yt2 )] – ( mx ) 2 mw (t1 ) mw (t2 ) ––(mx )2 mw (t2 )mw (t1 ) + (mx )2 mw (t1 )mw (t2 ) == M ( X 2 )M [sin(Yt1 )sin(Yt 2 )] – (mx ) 2 mw (t1 )mw (t2 ).Для показательного закона распределения двукратное интегрированиепо частям дает¥M ( X ) = ò x 2l e -lx=dx 2 / l 2 ,20aа M [sin(Yt1 )sin(Yt2 )] =1sin ( yt1 ) sin( yt 2 ) dy =a ò0a1{cos[ y (t1 - t2 )] - cos[ y (t1 + t 2 )]} dy=2a ò0Поэтому и при t1 < t2 и при t1 > t2K Z (t1, t2 ) =1 é sin a (t1 - t2 ) sin a (t1 + t2 ) ù.=t1 + t2 úû2a êë t1 - t 21 é sin a (t1 - t2 ) sin a (t1 + t2 ) ù 1 1 - cos at1 1 - cos at 2.- ××al 2 êë t1 - t2t1 + t2 úû l 2atat263Для вычисления дисперсии возьмем в полученном выраженииt1 = t2 = t :1 ésin 2at ù (1 - cos at ) 2Dz (t ) =a.al 2 êë2t úû(at l )2Ответ.
mz (t ) =1 1 - cos at1 ésin 2at ù (1 - cos at ) 2×, Dz (t ) =a.lal 2 êëat2t úû(at l )2Задача 4.1. Элементарная случайная функция задана равенствомZ (t ) = X exp(Yt ),где X и Y независимы, причем X имеет M ( X ) = m , D( X ) = s2 , а случайнаявеличина Y равномерно распределена в отрезке [0, a ] . Найдитематематическое ожидание mz (t ) , дисперсию Dz (t ) и автокорреляционнуюфункцию K Z (t1 , t2 ). (См. пример 4.1, a –– номер варианта.)Пример 4.2. Пусть X 1 , X 2 ,¼, X n ,¼ –– последовательностьнезависимых случайных величин с функцией плотности вероятностиf ( x ) = ax - ( a+1) при x ³ 1 и f ( x ) = 0 при x < 1 , a > 0 .Говорят, что последовательность { X i } превышает уровень u (выходит зауровень u) в момент j, если X j > u .
Рассмотрим N (u ) = min{i ³ 1: X i > u} ––момент первого выхода последовательности (случайного процесса сдискретным временем) за уровень u. Требуется найти распределениеслучайной величины N (u ) и ее математическое ожидание.Решение. Вычислим¥1p = P ( X i > u ) ò=ax -a-1dx= - x -a ¥u = a .uuТогда P ( X i £ u ) = 1 – 1 / u a иk -11 ö 1æP ( N (u ) =k) =1ça ÷aè u ø u–– это геометрический закон распределения.Но для геометрического закона распределения P ( X = k ) = pq k -1 ,¥k = 1,2,3,¼, M ( X ) = på k q k -1 = 1 / p .
В нашем случае роль p играетk= 1aвеличина 1 / u . ПоэтомуM ( N (u )) =1= ua.a1/ u2641 öæk) =Ответ. P( N (u ) =ç1 - a ÷è u øk -11, k=1,2,3,¼; M ( N (u )) =ua.auЗадача 4.2. ПустьX 1 , X 2 ,¼, X n ,¼ –– последовательностьнезависимых случайных величин с функцией плотности вероятностиf ( x ) = 2a 2 x exp{–( ax) 2}, x ³ 0, a > 0.Обозначим момент первого выхода последовательности за уровень u черезN (u ) = min{i ³ 1: X i > u}. Найдите распределение случайной величиныN (u ) и ее математическое ожидание. (См. пример 4.2, a –– номер варианта.)X 1 , X 2 ,¼, X n ,¼ –– последовательностьПример 4.3. Пустьнезависимых случайных величин с нулевыми математическимиожиданиями и равными дисперсиями D ( X i ) = D .
Требуется найтикорреляционнуюфункциюдляслучайнойпоследовательностиY=X n + X n +1 , =n 0,1, 2,K .nРешение. Так как математические ожидания случайных величинoравны нулю, то X = X . ПоэтомуooK y ( s) = M [Yn Y n+ s ] = M [YnYn+ s ] =M [( X n + X n+1 )( X n + s + X n+ s +1 )] .При s = 0K y (0) = M [( X n + X n +1 )( X n + X n+1 )] == M [( X n 2 ) + M [ X n X n +1 ] + M [ X n +1 X n ] + M [ X n2+1 ] D=+ DПри s = 1K y (1) = M [( X n + X n+1 )( X n +1 + X n+ 2 )] =2 D.== M [ X n X n+1 ] + M [ X n X n+ 2 ] + M [ X n2+1 ] + M [ X n+1 X n+ 2 ] = D.При остальных s = 2,3,¼ величина K y (s ) = 0.Ответ. K y (0) = 2 D , K y (1) = D , при остальных s = 2,3,¼ величинаK y (s ) = 0.Задача 4.3.
Пусть X 1 , X 2 ,¼, X n ,¼ –– последовательность независимыхслучайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и равнымидисперсиями D ( X i ) = D. Найдите корреляционную функцию дляслучайной последовательностиYn = X n + aX n +1 + bX n +2 =, n 0,1,2,¼,где a и b –– постоянные величины. (См. пример 4.3, a –– последняя цифраномера варианта, b = a + 1 .)265Пример 4.4. Все положения случайной точки ( X , Y ) равновозможныв области D = {( x, y ) : x 2 + y 2 £ 1, x ³ 0, y ³ 0}. Для случайного процессаZ (t ) = X cos wt + Y sin wt , постоянная w > 0 ,требуется найти математическое ожидание mz (t ), дисперсию Dz (t ) икорреляционную функцию K z (t1 , t2 ).Решение.
По свойствам математического ожиданияM [ Z (t )] = cos wt × M ( X ) + sin wt × M (Y ).Так как площадь области D равна p / 4 , а все положения случайнойточки ( X , Y ) в этой области равновозможны, то плотность вероятностислучайной точки f ( x, y ) = 4 / p при ( x, y ) Î D и f ( x, y ) = 0 при остальных( x, y ).Маргинальная плотность вероятности случайной величины X равна1- x2òf ( x) =4= 1 - x2 .p4 / p dy0Поэтому111424M (X ) = ò x 1- =x 2 dx - ò (1 - x 2 )1/2 d (1 - =x 2 ) dx - (1 - =x 2 )3/2p0p03p04Аналогично, M (Y ) =.
Поэтому3p4mz (t ) = M [=Z (t )](cos wt + sin wt ),3po44а Z (t )= X cos wt + Y sin wt – cos wt – sin wt=3p3poo4 ö4 öææ= ç X - ÷ cos wt + ç Y – ÷ sin wt= X cos wt + Y sin wt.3p ø3p øèèВычислим дисперсию X. Так как1ì x = sin t , dx = cos t dtü4 22M ( X ) = ò x 1 - x 2 dx í=ýp0î x = 0 Þ t = 0,= x 1 Þ t = p / 2 þ4=pp /2ò sin t cos t dt=2201pp /2ò01sin 2t dt =p2p /2ò04.3p1 - cos 4tdt =1 / 4,229p 2 - 641 æ 4 ö 9p2 - 64Аналогичнонаходим,что.D(Y)=.-ç ÷ =36p 24 è 3p ø36p2Вычислим теперь корреляционную функцию процесса:то D ( X ) =ooooooK z (t1 , t2 ) = M [ Z=(t1 ) Z (t2 )] M [( X cos wt1 + Y sin wt1 )( X cos wt2 + Y sin wt2 )] =oooo= cos wt1 cos wt 2 M ( X ) + sin wt1 sin wt2 M (Y 2 ) + cos wt1 sin wt2 M ( X Y ) +22669p2 - 64+ cos wt 2 sin wt1M=( X Y )(cos wt1 cos wt2 + sin wt1 sin wt2 ) +36p 2+ cov( X , Y )(cos wt1 sin wt2 + cos wt2 sin wt1 ) =oo9 p2 - 64cos w(t1 - t2 ) + cov( X , Y )sin w(t1 + t 2 ).36p2éæ4 öù æ4 öВычислим cov( X ,Y ) = M êç X – ÷ ú ç Y – ÷ =3p ø û è3p øëè441616= M ( XY ) –M (X ) –M (Y ) + 2 = M ( XY ) – 2 .3p3p9p9p=11- x 24Но M ( XY ) = ò dx =ò xy dyp00121x(1 - x 2 ) dx = .
Поэтомуòp02p116 9p - 32cov( X ,Y ) =- 2=.2p 9p18p2С учетом этого получаем9p2 - 649p - 32K z (t1 , t2 ) =cos w(t1 - t2 ) +sin w(t1 + t2 ),236p18p29p2 - 64 9p - 32Dz (t ) = K z (t , t )=+sin 2wt.36p218p 24Ответ. mz (t ) = (cos wt + sin wt ),3p9p 2 - 64 9p - 32Dz (t ) =+sin 2wt ,36 p218p 29p2 - 649p - 32K z (t1 , t2 ) =cos w(t1 - t2 ) +sin w(t1 + t2 ).236p18p2Задача 4.4. Все положения случайной точки ( X , Y ) равновозможны вобласти D, ограниченной прямыми линиями: x + y = a , x = 0, y = 0 .
Дляслучайного процессаZ (t ) = X cos wt + Y sin wt , w > 0требуется найти математическое ожидание mz (t ) , дисперсию Dz (t ) икорреляционную функцию K z (t1 , t2 ) . (См. пример 4.4, a –– номер варианта.)Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (t ) иY (t ) называют неслучайную функцию Rxy (t1 , t2 ) двух независимыхаргументов t1 и t2, значения которой равны корреляционному моментуслучайных величин X (t1 ) и Y (t2 ) :267ooRxy (t1 , t 2 ) = M [ X (t1 ) Y (t2 )] .Коррелированными называют две случайные функции, если ихвзаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю.
Впротивном случае говорят о некоррелированных случайных функциях.rЕсли рассматривать многомерный случайный процесс X (t ) = { X 1 (t ),X 2 (t ),¼, X n (t )}, то он имеет характеристикиoomi (t ) = M ( X =K i (=t1, t2 ) M [ X i (t1 ) X i (t2 )], (i 1,2,3,¼, n).i ),Эти характеристики описывают поведение отдельно взятыхкоординат случайного процесса, но не учитывают взаимодействие междуними. В качестве характеристики взаимозависимости координатслучайного процесса используют взаимную корреляционную функциюooRij (t1 , t 2 ) = M [ X i (t1 ) X j (t2 )].
В общем случае взаимная корреляционнаяooooфункция Rij (t1 , t 2 ) = M [ X i (t1 ) X j (t2 )] не равна Rij (t2 , t1 ) = M [ X i (t2 ) X j (t1 )] , таккак ковариация между сечениями X i (t1 ) и X j (t2 ) (точки 1 и 2 на рис. 2.4.4),вообще говоря, не равна ковариации между сечениями X j (t1 ) и X i (t2 ) (нарис.
4.4 точки 3 и 4).Рис. 4.4В терминах характеристик второго порядка, например, двумерныйслучайный процесс { X 1 (t ), X 2 (t )} описывают вектором средних значений{M [ X 1 (t )], M [ X 2 (t )]} и матрицей корреляционных функцийR12 (t1 , t2 ) öæ R11 (t1 , t2 )ç÷.R(t,t)R(t,t)è 21 1 222 1 2 øНаглядным примером двумерного случайного процесса (илислучайного поля) может служить поверхность моря.268Пример 4.5. Даны два случайных процессаX (t ) = U cos t + V sin t и Y (t ) = U cos t – V sin t ,где случайные величины U и V независимы и имеют равные дисперсииD (U ) = D (V ) = D. Требуется найти взаимную корреляционную функциюэтих процессов.Решение. Так как M ( X ) = M (U )cos t + M (V )sin t , тоoooX (t ) = U cos t + V sin t –=M (U )cos t – M (V )sin t U cos t + V sin t.oooАналогично, Y (t ) = U cos t –V sin t.
ТогдаooooooRxy (t1 , t2 ) = M [ X (t1 ) Y=(t2 )] M [(U cos t1 + V sin t1 )(U cos t2 - V sin t2 )] =oo ooo o= cos t1 cos t 2 M (U 2 ) + sin t1 cos t2 M (V U ) – cos t1 sin t2 M (U V ) – sin t1 sin t2 M (V 2 ).Величины U и V независимы, а значит и некоррелированы. Поэтомуoocov(U ,V ) = M (U V ) = 0.Сучетомтого,чтоoM (U 2 )= D (U )= D,аoM (V 2 ) = D (V ) = D, получаемRxy (t1 , t2 ) = D(cos t1 cos= t2 – sin t1 sin t2 )D cos(t1 + t2 ).Ответ. Rxy (t1 , t2 ) = D cos(t1 + t2 ).Задача 4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
