ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 47
Текст из файла (страница 47)
4.1.1.Рис. 4.1.1Требуется найти mx (t ), D[ X (t )], K x (t1 , t2 ) и выяснить, является лиэтот процесс X (t ) стационарным в широком смысле.Решение. Для любого момента времени t:mx (t ) = M [ X=(t )] –1 × 1 / 2 + 1 × 1 / 2 = 0,D[ X (t )] = (-1) 2 × 1 / 2 + 12 × 1 / 2 = 1.Обозначим t1 = t и t2 = t + t . Так как равновозможны все положенияточки t в [tk , t k +1 ) , то t имеет равномерное распределение в [0, t0 ) сфункцией плотности вероятности f (t ) = 1 / t0 .Случайный процесс центрирован ( mx (t ) = 0 ), поэтомуK x (t1 , t2 ) = =M [ X (t1 ) X (t2 )] M [ X (t ) X (t + t)].Если вместе t1 и t2 = t + t принадлежит промежутку [tk , t k +1 ) , тоM [ X (t1 ) X (t2 )] = M ( A2 ) = 1.Вероятность этогоP(t < t0 –=t ) P(t < t0 – t) M= ( Ai2=) 1 – t / t0 .Если же t > t0 – t , вероятность чего равна t / t0 , тоM [ X (t1 ) X (t2 )] = 0в силу независимости случайных величин Ai.
Поэтому K x (t1 , t2 ) = M ( A2 ) ××P (t < t=0 – t ) 1 - t / t0 при 0 < t < t0 и K x (t1 , t2 ) = 0 при t > t0 (см. рис. 4.1.2).274Рис. 4.1.2Постоянное значение математического ожидания процесса изависимость корреляционной функции K x (t1 , t2 ) = k x ( t) только от разностиаргументов t = t2 – t1 свидетельствуют о том, что процесс стационарен вшироком смысле.Ответ.
mx (t ) = 0, D[ X (t )] = 1, K x (t1 , t2 ) = 1 – t / t0 при 0 < t < t0 иK x (t1 , t2 ) = 0 при t > t0 . Процесс стационарен в широком смысле.Задача 4.10. Случайный процесс X (t ) строится следующим образом. Внекоторый случайный момент времени T появляется прямоугольный импульсдлительности t0 и случайной амплитудой A1.
В момент времени T + t0 этотимпульс сменяется новым импульсом той же длительности и случайнойамплитуды A2, и т.д. Величины A1 , A2 ,¼ независимы и одинаковораспределены. Одна из возможных реализаций процесса представлена на рис.4.1.3. В нечетных вариантах величины A равномерно распределены в отрезке[– a, a ] . В четных вариантах величины A имеют плотность вероятности2aпри x Î [– a, a ] и f ( x ) = 0 при остальных x.f ( x) =p( a 2 + x 2 )Найдите mx (t ), D[ X (t )], K x (t1 , t2 ) и выясните, является ли этотпроцесс X (t ) стационарным в широком смысле. Постройте графиккорреляционной функции.
(См. пример 4.10, a –– номер варианта.)Рис. 4.1.3Пример 4.11. Случайный процесс X (t ) строится следующимобразом. На числовой оси Оt реализуется простейший поток событийинтенсивности λ. Случайный процесс X (t ) принимает попеременно275случайные значения a и –a. При наступлении события простейшего потокаX (t ) скачком меняет свое значение с a на –a или наоборот.
Одна изреализаций процесса показана на рис. 4.1.4, где точками на оси отмеченысобытия простейшего потока.Рис. 4.1.4Требуется найти математическое ожидание, дисперсию иковариационную функцию этого случайного процесса.Решение. Так как моменты изменения знака никак не связаны созначениями процесса X (t ) , нет оснований считать, что какое либо иззначений (a или –a) более вероятно, чем другое. Следовательно,mx (t ) = – a × 0,5 + a × 0,5 = 0.Рассмотрим значения процесса в произвольные моменты времени t1 иt2. Так как mx (t ) = 0, тоooK x (t1 , t2 ) = M [ X (t1 ) X (t 2 )] = M [ X (t1 ) X (t 2 )].Произведение X (t1 ) X (t2 ) = – a 2 , если в интервале (t1 , t2 ) происходитнечетное число событий (тогда значения процесса X (t1 ) и X (t2 ) будутразных знаков). Если же в интервале (t1 , t2 ) происходит четное числособытий, то X (t1 ) X (t2 ) = a 2 .Вероятность появления за время t t=2 - t1 ( t1 < t2 ) четного числасобытий простейшего потока равна¥¥(lt)2 k -lt(lt) 2 k-lt2==P=P[ X (t1 ) X (=t2 ) a ] å = ee åчет==k 1 (2k )!k 1 (2k )!lt+ e-lt-lt-lt e(1 + e -2 lt ) / 2.= e ch lt=e=2Тогда2Pнечет= P[ X (t1=) X (t2 ) – a=] 1 – (1 + e -2lt ) /=2 (1 – e -2lt ) / 2.Следовательно,– e-2lt ) /=2 a 2e -2 lt .K x (t1 ,=t2 ) k x (t) a 2 (1 + e -2 lt ) / 2 – a 2 (1=Аналогично, при t2 < t1 , т.е.
при t t2 – =t1 < 0,K x (t1 , t2 ) = k x (t) = a 2e -2 l ( -t) .276Полученные выражения для k x (t) можно объединить в одну запись:K x (t1 , t2 ) = k x (t) = a 2 e-2l|t| .График этой функции изображен на рис. 4.1.5.Рис. 4.1.5Дисперсия процесса равна D[ X (t )] = k x (0) = a 2 .Ответ. mx (t ) = 0, D[ X (t )] = a 2 , K x (t1 , t2 ) = a 2e -2 l|t| . Процесс стационаренв широком смысле.Задача 4.11. На числовой оси Оt реализуется простейший потоксобытий интенсивности λ. Случайный процесс X (t ) принимаетпопеременно случайные значения A и –A. При наступлении событияпростейшего потока X (t ) скачком меняет свое значение с A на –A илинаоборот (значения A и –A независимы).
Случайная величина A имеетраспределение: P ( A = 1) = p , P ( A = 2) 1=– p q=.Одна из реализаций этого процесса приведена на рис. 4.1.6, гдеточками на оси отмечены события простейшего потока.Найдите математическое ожидание mx (t ), дисперсию D[ X (t )] икорреляционную функцию K x (t1 , t2 ) этого случайного процесса. (См.пример 4.11, p = 0, b , где b –– номер варианта.)Рис. 4.1.6277Пример 4.12. Случайный процесс X (t ) устроен следующимобразом. На оси времени реализуется простейший поток событийинтенсивности λ. При появлении события этого потока процесс X (t )скачком возрастает на единицу. Между скачками он убывает линейно подуглом минус 45°. Одна из реализаций процесса приведена на рис. 4.1.7, гдеточками на оси отмечены моменты появления событий простейшегопотока.Рис.
4.1.7Требуется найти математическое ожидание mx (t ), дисперсиюD[ X (t )] и корреляционную функцию K x (t1 , t2 ) этого случайного процесса иего нормированную корреляционную функцию.Решение. Каждый скачок процесса равен единице. Поэтому значениепроцесса в момент времени t можно записать в видеX (t ) = N (t ) – t ,где N (t ) –– число скачков за время t.Случайная величина N (t ) имеет пуассоновский закон распределения,причемM [ N (t )] = D[ N=(t )] lt , M= [ N 2 (t )] (lt ) 2 – lt.Поэтому M [ X (t )] = M= [ N (t )] – t lt =– t (l – 1)t ,D[ X (t )] = =D[=N (t ) – t ] D[ N (t )] lt.ooТак как M ( X Y ) = M [( X – M ( X ))(Y – M (Y ))] = M ( XY ) – M ( X )M (Y ),то при t1 < t2ooK x (t1 , t2 ) = M [ X (t1 ) X (t 2 )] M=[ X (t1 ) X (t2 )] - M [ X (t1 )]M [ X (t2 )] == M [ X (t1 ) X (t2 )] – (l – 1)t1 (l – 1)t2 M [ X (t1 ) X=(t 2 )] – (l – 1)2 t1t2 .Но M [ X (t1 ) X (t2 )] = M [( N (t1 ) – t1 )( N (t2 ) – t2 )] == M [ N (t1 ) N (t2 ) – t1 N (t2 ) – t2 N (t1 ) + t1t2 ] == M [ N (t1 ) N (t 2 )] - t1M [ N (t 2 )] - t2 M [ N (t1 )] + t1t2== M [ N (t1 ) N (t 2 )] – t1lt2 - t2lt1 + t1t=2 M [ N (t1 ) N (t2 )] – 2lt1t2 + t1t2 .278В свою очередьM [ N (t1 ) N (t 2 )] = M [ N (t1 )( N (t1 ) + N (t 2 – t1 ))]= M [ N 2 (t1 )] + M [ N (t1 ) N (t 2 – t1 )].Так как случайные величины N (t1 ) и N (t2 – t1 ) независимы, а дляраспределения Пуассона M ( X 2 ) = l 2 + l , если параметр распределенияравен λ, то M [ N (t1 ) N (t2 )] = (lt1 )2 + lt1 + lt1l (=t2 – t1 ) lt1 + l 2t1t2 .В итоге имеемK x (t1 , t2 ) = lt1 + l 2t1t2 - 2lt1t2 + t1t2 - (l =– 1)2 t1t2 lt1.Аналогично, при t2 < t1 получаем K x (t1 , t2 ) = lt2 .
ПоэтомуK x (t1 , t2 ) = l min(t1 , t2 ).Нормированная корреляционная функция:l min(t1 , t2 ) min(t1 , t2 )r (t1 , t2 ) ==.l t1 l t 2t1t2Если t1 < t2 , то r (t1 , t2 ) = t1 t2 , если же t2 < t1 , то r (t1 , t2 ) =Величины X (t1 ) и X (t2 ) коррелированы положительно.Ответ. M [ X (t )] = (l – 1)t , Dx (t ) = lt , K x (t1 , t2 ) = l min(t1 , t2 ).t2 t2 .Задача 4.12.1.
Случайный процесс X (t ) убывает скачками вслучайные моменты времени, образующие на числовой оси простейшийпоток событий интенсивности λ. При появлении события простейшегопотока процесс скачком убывает на величину k / 10l . Между скачкамиX (t ) линейно возрастает с угловым коэффициентом k / 10 . Одна изреализаций процесса показана на рис. 4.1.8.Рис. 4.1.8Найдите математическое ожидание mx (t ), дисперсию D[ X (t )] икорреляционную функцию K x (t1 , t2 ) этого случайного процесса и егонормированную корреляционную функцию. (См.
пример 4.12, k –– номерварианта.)Задача 4.12.2. На числовой оси реализуется простейший потоксобытий интенсивности λ. В момент появления события простейшего279потока случайный процесс X (t ) становится равным нулю и до появленияследующего события потока растет линейно с угловым коэффициентомk / 10 . Затем все повторяется сначала. Одна из реализаций процесса X (t )приведена на рис. 4.1.9.Рис.
4.1.9Найдите математическое ожидание mx (t ), дисперсию D[ X (t )] икорреляционную функцию K x (t1 , t2 ) этого случайного процесса и егонормированную корреляционную функцию. (См. пример 4.12, k –– номерварианта.)Пример 4.13.
Случайный процесс X (t ) изменяет свое состояние вмоменты времени, которые образуют простейший поток интенсивности λ.В каждой точке скачка процесс X (t ) возрастает на единицу, а затемубывает по экспоненте с показателем –1 до точки следующего скачка.Одна из реализаций такого процесса приведена на рис.
4.1.10. Требуетсянайти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функциюэтого случайного процесса.Рис. 4.1.10Замечание. Описанный процесс может служить простейшейматематической моделью воздействия потока электронов на анод. Потокэлектронов от катода к аноду близок к простейшему потоку некоторойинтенсивности λ. При попадании электрона на анод напряжение на нем280X (t ) возрастает на некоторую единицу, а затем убывает по экспоненте,показатель которой зависит от характеристик электронной схемы.Решение. Результат воздействия i-го скачка, происшедшего в моментвремени Ti, имеет вид: X i (t ) = 0 при t < Ti и X i (t ) = exp{–(t – Ti )} при t ³ Ti ,илиX i (t ) = h(t – Ti )exp{–(t – Ti )},где h(t ) = 0 при t < 0 и h(t ) = 1 при t ³ 0.Так как поток скачков простейший, то за время t произойдетслучайное число скачков N, распределенных по закону Пуассона спараметром lt.
Поэтому X (t ) является суммой случайного числа Nслучайных слагаемых X i (t ) :NX (t ) = å= X i (t )i =1Nå h(t - T )exp{-(t - T )}.ii =1i(4.1.3)Воспользуемся следующим фактом: Простейший поток событий на(0, t ) можно представить как совокупность случайного числа точек, каждаяиз которых равномерно распределена на (0, t ) независимо от других точек.Поэтому (4.1.3) можно переписать в видеNX (t ) = å exp{- (t - qi )}, t > 0, qi < t ,(4.1.4)i =1где все qi равномерно распределены на (0, t ), а N не зависит от qi.
Из (4.1.4)следует, чтоM [ X (t )] = M [ N ]M [exp{-(t - qi )].(Здесь мы воспользовались тем, что математическое ожиданиесуммы случайного числа одинаково распределенных случайных величинравно произведению математического ожидания числа этих величин наматематическое ожидание одной из них.)Так как число слагаемых N распределено по закону Пуассона, тоM ( N ) = =D ( N ) lt.(4.1.5)Каждая из величин равномерно распределена в (0, t ) . Поэтомуt1 x -tM [exp{-(t - qi )}]e= dx (1 – =e -t ) / t.òt0В итогеM [ X (t )] = lt=(1 – e - t ) / tl(1 – e- t ).Кроме того,t1 2( x -t )1 - e- 2 tM [(exp{- (t - qi )}) ]e= dx= .t ò02t2281(4.1.6)Рассмотрим два момента времени t1 и t2 ( t1 < t2 ).
Значение X (t2 )равно значению X (t1 ) , умноженному на exp{-(t2 – t1 )} , плюс вкладV (t2 – t1 ) от скачков процесса на интервале (t1 , t2 ) :X (t2 ) = X (t1 )exp{–(t2 – t1 )} + V (t2 - t1 ).Величины X (t1 ) и V (t2 – t1 ) независимы, так как они связаны соскачками процесса в непересекающихся интервалах времени (0, t1 ) и (t1 , t2 ) .Поэтому при t1 < t2oooooK x (t1 , t2 ) = M [ X=(t1 ) X (t2 )] M [ X (t1 )( X (t1 )e- (t2 -t1 ) + V (t2 - t1 ))] =ooo= M [( X (t1 ))2 e - (t2 -t1 ) ] + M [ X (t1 )V (t2 - t1 )] = Dx (t1 )e - (t2 -t1 ) .Аналогично, при t2 < t1 получимK x (t1 , t2 ) = Dx (t2 )e - (t1-t2 ) .Поэтому K x (t1 , t2 ) = Dx (min(t1 , t2 ))e -|t2 -t1| .
Остается вычислить:Dx (t ) = M ( N ) D(et -qi ) + D( N )[ M (e - (t -qi ) )]2 .С учетом (4.1.5), (4.1.6) и того, что D( X ) = M ( X 2 ) – [ M ( X )]2 получаемlDx (t ) = lt{D (e - (t -qi ) ) + =M (e -( t -qi ) )2 } ltM= {(e -( t -qi ) )2 }(1 - e -2 t ).2lВ итоге, K x (t1 , t2 ) = (1 - exp{-2min(t1 , t2 )})exp{- | t2 - t1 |}.2lОтвет. M [ X (t )] = l(1 – e -t ), Dx (t ) = (1 - e -2 t ),2lK x (t1 , t2 ) = (1 - exp{-2min(t1 , t2 )})exp{- | t2 - t1 |}.2Задача 4.13. Электроны от катода на анод поступают группами.Моменты поступления групп образуют простейший поток интенсивностиl. Обозначим через Wi –– случайное число электронов в i-й группе.Случайные величины Wi независимы и имеют одинаковое распределение.(Подобная ситуация возникает при работе линейного детектора, когда наего вход в случайные моменты времени подаются случайные импульсывеличины Wi).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
