ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В свою очередь, z n Pn (t ) можно расценивать каквероятность того, что за время t поступило n «красных» событий. Это дает63возможность понимать F(t , z ) как полную вероятность того, что за время tпоступили только «красные» события.Составим уравнение для определения F(t , z ) . Рассмотрим отрезок[0, t + Dt ]. За время t + Dt наступят только красные события, вероятностьчего равна F(t + Dt , z ), если за время t наступят только «красные» события,вероятность чего равна F(t , z ) , и за время Dt либо не произойдет событий,вероятность чего равна P0 (Dt ), либо произойдет одно событие и оно будеткрасным, вероятность чего равна zP1 (Dt ) .
Эту фразу можно символическизаписать в видеF(t + Dt=, z ) F(t , z )[ P0 ( Dt ) + P1 ( Dt ) z ].Возможностью прихода двух или более требований за малое времяDt пренебрегаем в силу ординарности потока. Последнее равенство сучетом (2.7.1) можно переписать в формеF(t + Dt=, z ) F (t , z )[1 – mDt + mDtz + о(Dt )],илиF(t + Dt , z ) – F (=t , z ) F(t , z )m( z - 1)Dt + о(Dt ) .После деления обеих частей равенства на Dt и перехода к пределупри Dt ® 0 получаем уравнениеF¢t =m( z - 1)F,причем F(0, z ) = 1 , так как Р0 (0) = 1 , а все Рk (0) = 0, k = 1,2,3,K .Решением этого дифференциального уравнения при указанномначальном условии является функцияF(t , =z ) exp[m( z - 1)t ].Разложение этой функции в ряд по степеням z имеет видF(t , z=) exp(-mt )exp(mtz ) == exp(-mt )(1 + mtz + (mtz )2 / 2!+¼ + (mtz )k / k !+ ¼) == e -mt + mte -mt z + z 2 (mt ) 2 e -mt / 2!+ K + z k (mt )k e -mt / k !+ K .Сравнение с записью (2.7.2) приводит к выводу, чтоР0 (t ) = e=-mt ,Р1 (t ) mte=-mt ,Р2 (t ) (mt ) 2 e -mt / 2!,K,(2.7.3)(mt ) k -mtРk (t ) =e .kВеличина m называется интенсивностью простейшего потока.
Онаравна среднему числу событий, происходящих в единицу времени. Среднеечисло событий, происходящих за время t, равно mt. Полученный результатможно не строго сформулировать следующим образом. Если событияприходят независимо друг от друга и по одному и известно, что на данныйинтервал времени в среднем приходится l событий, то вероятностьпоявления на этом интервале равно k событий равна64l k -lРk = e(2.7.4)k!Стоит обратить внимание на то, что этот сильный количественныйрезультат получен из очень простых предположений. Можно назвать многопримеров, где эти предположения приблизительно выполняются(телефонные звонки, опечатки в тексте, радиоактивный распад и т.д.).Причина такого широкого распространения пуассоновских потоков состоитв том, что пуассоновский поток является предельным потоком. В томсмысле, что сумма большого числа независимых потоков малойинтенсивности близка по своим свойствам к пуассоновскому потоку (см.рис.
2.7.2).» Простейший потокРис. 2.7.2Именно такими суммарными потоками являются потоки вызовов нателефонную станцию, поток отказов сложных систем и. т.д.Замечание. Если в произвольном потоке требований каждоетребование отбрасывать с определенной вероятностью, то после такогомногократного «прореживания» получается поток близкий к простейшему.Пример 2.35. Известно, что наборщик в среднем допускает однуошибку на две страницы текста. В набранной книге взяли наугад страницу.Какова вероятность того, что на данной странице содержится более однойопечатки? Какова вероятность того, что на данных четырех страницахсодержится ровно одна опечатка?Решение.
Опечатки появляются по одной и независимо друг от друга.Условия простейшего потока приблизительно выполняются, и формулаПуассона приблизительно верна. На одну страницу приходится в среднемl = 1 / 2 опечатки. Поэтому вероятность того, что на данной страницесодержится более одной опечатки, равна(1 / 2) 0 -1/2 (1 / 2)1 -1/2Р (k > 1) = 1 –=Р( k= 0)= – Р( k 1) 1 –e - = e1 – 1,5e -0,5 » 0,1.0!1!Для четырех страниц среднее число опечаток l = 2.
Поэтому6521 -2Р (k = 1)=e » 0,27.1!Ответ. 1 – 1,5e -0,5 » 0,1 ; 2e-2 » 0,27.Задача 2.35.1. На многоканальный телефон фирмы поступаетпростейший поток вызовов. В среднем за пять минут поступает одинвызов, т.е. интенсивность потока равна m = 1 / 5 вызова в минуту.В вариантах 1–10: какова вероятность того, что k минут подряд небудет вызовов, а в следующие пять минут поступят два вызова (k –– номерварианта)?В вариантах 11–19: какова вероятность того, что в первые k минутвызовы были, а в последующие пять минут вызовов не было (k равнопоследней цифре номера варианта)?В вариантах 21–29: какова вероятность того, что за k минут поступиттолько один вызов, а в последующие пять минут вызовов не будет (k равнопоследней цифре номера варианта)?В вариантах 20, 30: какова вероятность того, что в первые пять минутвызовов не будет, а в последующие пять минут поступит m вызовов, где mравно первой цифре варианта.
(См. пример 2.35).Задача 2.35.2. В некотором районе в среднем каждый будний деньпроисходит одно дорожно-транспортное происшествие (ДТП). Каковавероятность того, что в этом районе в первые два дня недели произойдет k1ДТП, в последующие два дня –– k2, а в последний будний день k3 ДТП?Какова вероятность того, что за все пять дней произойдет k1 + k2 + k3 ДТП?(См. пример 2.35 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.35.2.№ k1 k2 k3 № k1 k2 k3 № k1 k2 k3 № k1 k2 k3 № k1 k2 k31 1 1 0 7 2 0 0 13 2 3 0 19 1 2 1 25 0 3 02 2 1 0 8 1 0 1 14 2 0 1 20 2 3 2 26 2 2 33 3 2 1 9 2 2 1 15 0 1 1 21 0 2 0 27 3 2 24 4 3 2 10 2 2 0 16 2 1 2 22 0 1 2 28 0 3 15 4 3 0 11 1 2 0 17 1 3 1 23 3 2 0 29 2 0 16 3 1 2 12 1 1 2 18 2 3 1 24 0 2 1 30 2 0 22.8.
Случайные величины. Функция распределения. Функция плотностивероятности. Числовые характеристики2.8.1. Случайные величины66С каждым случайным экспериментом связано множество еговозможных исходов W = {w1 , w2 ,¼, wn ,¼}. Это множество обычноназывают пространством элементарных исходов или элементарныхсобытий. Экспериментатор обычно не просто наблюдает, а измеряет, и врезультате эксперимента получается число. Тем самым каждому исходуэксперимента ставится в соответствие определенное число x(w), а этоозначает, что на множестве исходов эксперимента определена некотораячисловая функция.Определение.
Случайной величиной называется функция x = x(w),определенная на множестве элементарных исходов эксперимента ипринимающая действительные или комплексные значения. Еслимножество исходов эксперимента конечно, то приведенное определениеявляется точным. В общем случае функция x(w) полагается измеримой.Случайная величина считается заданной, если указано, какие значения онаможет принимать и каковы вероятности этих значений.Определение. Всякое соотношение, устанавливающее связь междувозможными значениями случайной величины и соответствующими имвероятностями, называется законом распределения случайной величины.Фактически для задания закона распределения нужно перечислить всевозможные значения случайной величины и указать вероятности этихзначений.Закон распределения является исчерпывающей характеристикойслучайной величины.
Если он задан, то с вероятностной точки зренияслучайная величина описана полностью. Поэтому часто говорят о том илиином законе распределения, имея в виду случайную величину, котораяраспределена по этому закону.Случайные величины будем обозначать большими латинскимибуквами Х ,Y , Z ,¼, а отдельные возможные значения этих величинсоответствующими малыми буквами х, у, z ,¼ .Определение. Случайную величину называют дискретной, если онаможет принимать отделенные друг от друга значения с определеннымивероятностями. Множество возможных значений дискретной случайнойвеличины конечно или счетно, т.е.
их можно занумеровать с помощью ряданатуральных чисел.Определение. Случайная величина называется непрерывной, если еевозможные значения составляет некоторый интервал (конечный илибесконечный).Отметим способы задания законов распределения дискретныхслучайных величин. Соответствие между возможными значениями67дискретной случайной величины и вероятностями этих значений можнозадать в виде формулы. Если это затруднительно, то можно простоперечислить то и другое в виде таблицы, называемой рядом распределения:Хх1х2х3хkLLРр1р2р3рkLLгде рk = Р ( Х = хk ) –– вероятность того, что Х примет значение хk. Изсоображений наглядности принято возможные значения перечислять впорядке возрастания. События Х = х1 , Х = х2 , K несовместимы, и врезультате опыта одно из них непременно происходит, т.е.
эти событияобразуют полную группу. Поэтому å pi = 1.iРяд распределения можно изобразить графически. Для этого вкаждой точке хi на горизонтальной оси откладывают вдоль вертикальнойоси отрезок, равный pi. Полученную в результате фигуру называютмногоугольником распределения (рис. 2.8.1).Рис. 2.8.12.8.2. Функция распределенияОпределение.
Функцией распределения случайной величины Xназывают функциюF ( x) = P( X < х ),определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайнаявеличина X в результате опыта примет значение меньшее х.Непосредственно из определения функции распределения можновывести ряд ее свойств.1. 0 £ F ( x) £ 1. Это следует из того, что F ( x) равна вероятности, авероятность любого события заключена между нулем и единицей.Отметим также, что F (-¥) = Р ( Х < – ¥) = 0 и F (+¥) = Р ( Х < +¥) = 1,так как события Х < – ¥ и Х < +¥ являются соответственно невозможными достоверным.2. Функция распределения является неубывающей, т.е. F ( x1 ) £ F ( x2 )при x1 < x2 .
В самом деле, при x1 < x2 появление события Х < x268эквивалентно появлению одного из несовместимых событий Х < x1 иx1 £ Х < x2 . Поэтому Р ( Х < x2 )= Р( Х < x1 ) + Р( x1 £ Х < x2 ) илиF ( x2 ) – F ( x1 ) = Р ( x1 £ Х < x2 )(2.8.1)В правой части равенства (2.8.1) находится неотрицательнаявеличина, поэтому F ( x1 ) £ F ( x2 ) . Равенство (2.8.1) означает, чтовероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [ x1 , x2 )равна приращению функции распределения на этом полуинтервале.3. F ( x) непрерывна слева, т.е. lim F ( x) = F ( x0 ) при х ® х0 - 0.4.Для любого х, согласно формуле (2.8.1),Р ( Х = =х ) lim Р( x £ Х < x + Dх=) lim[ F ( x + Dх) – F ( x)].Dx ®0Dx ® 0Предел в правой части равен нулю, если х –– точка непрерывностифункции F ( x) . Если же х –– точка разрыва функции F ( x) , то предел вправой части равенства равен скачку этой функции в точке х.Следовательно, если a и b точки непрерывности функции F ( x) , тоР (a < Х < b) = Р (a £ Х < b) = Р(a < Х £ b) = Р(a £ Х £ b) = F (b) – F (a ).Впредь будем называть непрерывными только случайные величины снепрерывной функцией распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
