ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(См. пример 2.48, х0 ––номер варианта, а = 2 в вариантах 1–10, а = 3 в вариантах 11–20 и а = 4 ввариантах 21–30.)862.9. Нормальный закон распределенияНормальный закон распределения имеет плотность вероятностиì ( x - m) 2 ü1exp í(2.9.1)f ( x) =ý,2s22p sîþгде – ¥ < m < ¥ и s > 0 –– некоторые параметры.График функции плотности вероятности (2.9.1) имеет максимум вточке х = m , а точки перегиба отстоят от точки m на расстояние s. Прих ® ±¥ функция (2.9.1) асимптотически приближается к нулю (ее графикизображен на рис.
2.9.1).Рис. 2.9.1Помимо геометрического смысла, параметры нормального законараспределения имеют и вероятностный смысл. Параметр m равенматематическому ожиданию нормально распределенной случайнойвеличины, а дисперсия D( X ) = s2 . Если X : N (m; s2 ), т.е. X имеетнормальный закон распределения с параметрами m и s2, тоæb-möæa-möР(а < Х < =b) F ç(2.9.2)÷ - Fç÷,è s øè s øхì t2 ü1где F( x)exp=í- ý dt –– функция Лапласа.2p ò0î 2þЗначения функции F( x) можно найти по таблице (см. прил., табл.П2). Функция Лапласа нечетна, т.е. F(- x )= – F ( x ). Поэтому ее таблицадана только для неотрицательных х. График функции Лапласа изображенна рис.
2.9.2. При значениях х > 5 она практически остается постоянной.Поэтому в таблице даны значения функции только для 0 £ х £ 5. Призначениях х > 5 можно считать, что F( x) = 0,5.87Рис. 2.9.2Если X : N (m; s2 ), тоæaöР(| X - m |< a) =F2 ç ÷.(2.9.3)èsøПример 2.49. Случайная величина X имеет нормальный законраспределения N (m; s2 ) . Известно, что P ( X < 1) = 0,15866, а P ( X > 4) == 0,30854. Найти значения параметров m и s2.Решение. Воспользуемся формулой (2.9.2):æ1- m öæ -¥ - m öP ( X < 1) = P (-¥ < X < 1) = F ç÷ - Fç =÷è s øè s øæ1- m ö= Fç÷ + F(¥) = 0,15866.sèøæ1- m öæ m -1öТак как F(¥) = 0,5, то -F ç=0,34134. По÷ = Fç÷ = 0,5 – 0,15866è s øè s øтаблице функции Лапласа (см.
прил., табл. П2) находим, что F(1) =m -1= 0,34134. Поэтому= 1 или m – 1 = s.sæ¥-möæ4-möАналогично P ( X > 4) = P(4 < X < ¥ ) =F ç÷ - F ç = ÷ 0,30854.è s øè s øæ4-möПо таблице=Так как F(¥) = 0,5, то F ç÷ 0,5 –= 0,30854 0,19146.è s øфункции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что F(1 / 2) = 0,19146.4-mПоэтому= 0,5 или m – 4 = –0,5s. Из системы двух уравненийsm – 1 = s и m – 4 = –0,5s находим, что m = 3 , а s = 2 , т.е. s2 = 4. Итак,случайная величина X имеет нормальный закон распределения N(3;4).88График функции плотности вероятности этого закона распределенияизображен на рис. 2.9.3.Ответ.
m = 3 ; s2 = 4.Рис. 2.9.3Задача 2.49. Случайная величина X имеет нормальный законраспределения N (m; s2 ) . Известно, что:а) для нечетных вариантов P ( X < =a ) a, а P ( X < =b) b;б) для четных вариантов P ( X < =a ) a, а P ( X > =b) b.2Найдите значения параметров m и s . Сделайте эскиз функцииплотности вероятности при найденных значениях параметров.
НайдитеP ( X 2 < 4). (См. пример 2.49 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.49.№aabb№aabb1–20,066830,8413 16 –1/2 0,401320,15872–10,158750,0227 1750,691520,15873–10,433240,8413 1850,691520,8413400,158760,0227 1920,022780,84135–20,158710,6915 2020,022780,1587620,8413–10,6915 2130,1587120,9773710,158750,8413 2230,15874,50,6915810,158750,1587 2300,308560,84139–60,022730,8413 2400,308560,69151030,158760,0227 25–20,158740,691511–30,158700,6915 26–20,158740,308512–30,158700,3085 2720,500040,69151300,344650,7258 2840,691520,500014 –1/2 0,401320,8413 29–30,158700,977315–30,158700,0227 3000,344650,2742Пример 2.50. Ошибка измерения X имеет нормальный законраспределения, причем систематическая ошибка равна 1 мк, а дисперсияошибки равна 4 мк2.
Какова вероятность того, что в трех независимыхизмерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?89Решение. По условиям задачи X ~ N (1;4). Вычислим сначалавероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет 2 мк.
Поформуле (2.9.2)æ 2 -1öæ -2 - 1 öP (| X |£ 2) = P(-2 £ X £ 2) = F ç=÷ - F ç = ÷ F(1 / 2) - F ( -3 / 2)è 2 øè 2 ø= F (1 / 2) + F(3 / 2) =0,1915 + 0, 4332 = 0,6241.Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площадина рис. 2.9.4.Рис. 2.9.4Каждое измерение можно рассматривать как независимый опыт.Поэтому по формуле Бернулли (2.6.1) вероятность того, что в трехнезависимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна P3 (3) == C33 (0,6241)3 (0,3753)0 » 1 / 4.Ответ. » 1 / 4.Задача 2.50. Ошибка измерения X имеет нормальный законраспределения N (m; s2 ) . Найдите вероятность того, что при измеренииошибка по модулю не превысит v. Изобразите найденную вероятность нарисунке.
Найдите вероятность того, что в n независимых измеренияхошибка измерения k раз превзойдет v. (См. пример 2.50 и исходныеданные.)Исходные данные к задаче 2.50.№ m s2 v n k № ms2 v n k № m s2 v n k2 4 1 11 2 2,25 3 4 1 21 –1 93 3 11 –1 493 3 1 12 0,542 3 1 22 2 2,25 2 3 12 243 4 2 13 293 4 1 23 0,5 43 4 13 193 4 2 24 0,5 6,25 4 3 143 3 1 14 0,54 243 4 2 25 293 4 25 –1 16 5 4 1 15 –143 4 1 26 0,5 94 3 144 3 1 16 0,56 23 3 27 1 2,25 3 3 1 17 0,5 16 3 3 1 27 1,5 4908 –19 210 19942334341 181 192 202930,5420,5 2,25 34431 28 –22 29 01 30 0949334443121Пример 2.51. Функция плотности вероятности случайной величиныX имеет видf ( x) = g exp{-2 x 2 – 4 / 3 x + 1 / 3}.(2.9.4)Требуется определить коэффициент g, найти M ( X ) и D ( X ) , определитьтип закона распределения, нарисовать график функции f ( x) , вычислитьвероятность P (-1 < X < 0).Замечание.
Если каждый закон распределения из некоторогосемейства законов распределения имеет функцию распределенияæ x-aöFç÷ , где F (x ) –– фиксированная функция распределения, a Î R,bèøb > 0, то говорят, что эти законы распределения принадлежат к одномувиду или типу распределений. Параметр a называют параметром сдвига, b –– параметром масштаба.Решение. Так как (2.9.4) функция плотности вероятности, то интегралот нее по всей числовой оси должен быть равен единице:¥ò-¥¥f ( x) dx = g ò e -2 x2-3/4 x +1/3dx = 1.(2.9.5)-¥Преобразуем выражение в показателе степени, выделяя полный квадрат:-2( x 2 + 2 / 3 x - 1=/ 6) -2( x 2 + 2 / 3 x + 1 / 9 - 1 / 9 - 1=/ 6) -2( x + 1 / 3) 2 + 5 / 9.Тогда (2.9.5) можно записать в виде¥e5/9g ò e -2( x+1/3) dx = 1.2(2.9.6)-¥Сделаем замену переменных так, чтобы 2( x + 1 / 3)2 = t 2 / 2, т.е.x + 1 / 3 = t / 2, dx = dt / 2.
Пределы интегрирования при этом останутсяпрежними. Тогда (2.9.6) преобразуется к виду¥2dt5/9= 1.e g ò e -t /22-¥Умножим и разделим левую часть равенства на 2p . Получим равенство¥115/9- t 2 /2g 2p eedt = 1.ò22p -¥91¥1- t 2 /2Так какedt = 1, как интеграл по всей числовой оси отò2 p -¥функции плотности вероятности стандартного нормального законараспределения N(0,1), то приходим к выводу, что2 -5/9g=e .2pПоэтому2 -5/92exp{= -2 x 2 - 4 / 3 x – 2 / 9} =f ( x) =e exp{-2 x 2 – 4 / 3 x + 1 / 3}2p2p2( x +1/3)212exp{-2( x + 2 / 3 x + 1 / 9)} =e 2×1/4 .=2p2p 0,5Последняя запись означает, что случайная величина имеетнормальный закон распределения с параметрами m = -1 / 3 и s2 = 1 / 4.График функции плотности вероятности этого закона изображен на рис.2.9.5.
Распределение случайной величины X принадлежит к семействунормальных законов распределения. По формуле (2.9.2)æ 0 - (-1 / 3) öæ -1 - (-1 / 3) ö= Fç= / 3) 0,653.P(-1 < X < 0)÷ - F ç=÷ F(2 / 3) + F (41/ 2è 1/ 2øèøРис. 2.9.5Ответ. g =2 -5/9е , M ( X ) = -1 / 3, D ( X ) = 1 / 4, N (-1 / 3; 1 / 4).2pЗадача 2.51. Функция плотности вероятности случайной величины Xимеет видf ( x) = g exp{ax 2 + bx + c}.Найдите коэффициент g, M ( X ), D ( X ) , определите тип законараспределения, нарисуйте график функции f ( x) . Вычислите P (| x |< 2).(См. пример 2.51 и исходные данные.)92№123456789101112131415Исходные данные к задаче 2.51.abcx1x2–123–1/3 4/3–28–113–4–60–3/4 1/4–28–213–24/3 –2/3 1/32/3–33–21/23/2–2–82–3/2 –1–4621/43/4–24/3 –1/302/3–34–11/34/3–3–311/23/2–28013–4–6–2 –1/2 1/4–3–401/34/3–3–32–1/2 1/3№161718192021222324252627282930a–3–2–3–2–3–2–2–3–4–3–2–4–2–3–4b–4–4/334/34–8–4/3–46486–83–6c22/300–200100–1110–1x11/3–1/31/21/3–1/3–3/2–1/31/30–1/310–3/21/2–1/2x212/33/212/3–1/32/313/44/323/4–13/21/42.10.
Асимптотика схемы независимых испытаний2.10.1. Локальная и интегральная теоремы Муавра–ЛапласаПри большом числе опытов n формула Бернулли (2.6.1) приводит кбольшому объему вычислений. Существуют приближенные формулы длявычисления вероятностей Pn (k ), которые дают тем большую точность, чембольше число n.Пусть k –– число появлений события A в n независимых опытах, вкаждом из которых P ( A) = p (0 < р < 1). Тогда при достаточно больших n(хотя бы несколько десятков) вероятность того, что в n независимыхопытах событие A ровно k раз, определяется формулойìï ( k - np ) 2 üï1(2.10.1)Pn (k ) »exp íý.2npq2pnpqïîïþЭта формула составляет содержание локальной теоремы Муавра–Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
