ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда f ( x) = f% ( x ) + å pk d( x - xk ) , и формула (2.11.4) приметвидg (h) = f [ x (h )]mdx (h)+ å pk d(h - hk ),dhk=1где hk = h( xk ).Пример 2.66. Случайная величина X имеет закон распределения1Коши с функцией плотности вероятности f ( x) =. Случайнаяp(1 + х 2 )величина Y = j( X ) , где функция j( x) задана графически (см. рис. 2.11.5).Найти плотность вероятности величины Y.Рис. 2.11.5Решение. Из графика функции j( x) видно, что значения X Î (-¥, -1]преобразуются в значение Y = -1 . Поэтому Р (Y = -1) = Р(-¥ < X £ 1) =-11111æ p pö 11-1АналогичноP(Y=1)=.===dxаrctg(x)+=.ç÷ò 1 + х2-¥4p -¥ppè 4 2 ø 4На интервале (-1,1) функция у = – х. Обратная функция: х = – у.Поэтому11g% ( y ) =× | -1|=.2p[1 + (- у ) ]p(1 + у 2 )112Окончательно с учетом значений, имеющих ненулевые вероятности,111при у Î [-1,1] и g ( y ) = 0получаем g ( y ) = d( у + 1) + d( у - 1) +p(1 + у 2 )44при у Ï [-1,1] .111Ответ.
g ( y ) = d( у + 1) + d( у - 1) +при у Î [-1,1]p(1 + у 2 )44и g ( y ) = 0 при у Ï [-1,1]Задача 2.66. По заданной плотности вероятности f ( x) случайнойвеличины X найти плотность распределения Y = j( X ) .11 - x 2 /2;В 1–6 вариантах f ( x ) =;в7–12вариантахfx=e()p(1 + x 2 )2px+2в 13–18 вариантах f ( x) = 0,5e -|x| ; в 19–24 вариантах f ( x) =при82- xx Î [-2, 2] и f ( x ) = 0 при остальных x; в 25–30 вариантах f ( x) =при8x Î [-2, 2] и f ( x ) = 0 при остальных x.В 1, 7, 13,19, 25 вариантах j(=x) -1 при x < -1 , j( x) = x приx Î [-1,1] и j( x) = 1 при остальных x.
Во 2, 8, 14, 20, 26, 30 вариантахj( x) = 1 при x < -1 , j(=x) - x при x Î [-1,1] и j(=x) -1 при остальных x. В3, 9, 15, 21, 27 вариантах j( x=) - x - 1 при x < -1 , j( x) = 0 при x Î [-1,1] иj( x=) 1 - x при остальных x. В 4, 10, 16, 22, 28 вариантах j( x)= x + 1 приx < -1 , j( x) = 0 при x Î [-1,1] и j( x)= x - 1 при остальных x. В 5, 11, 17, 23,29 вариантах j( x) = 0 при x < 0 , j( x) = x при x ³ 0 . В 6, 12, 18, 24 30вариантах j(=x) - x при x < 0 , j( x) = 0 при x ³ 0 .
(См. пример 2.66.)Замечание. Если нас интересуют только математическое ожидание идисперсия случайной величины Z = j( X ) , то нет необходимостипредварительно находить закон распределения этой случайной величины.Можно вычислить M (Z ) и D ( Z ) , используя закон распределенияслучайной величины X, по формулам¥M (Z ) =ò j( x) f ( x) dx ,(2.11.6)-¥2é¥ùD( Z ) = M (=Z ) – [ M ( Z )]j(x)f(x)dxj(x)f(x)dxêòú ,ò-¥ë -¥ûесли X –– непрерывная случайная величина с функцией плотностивероятности f ( x) , и по формулам¥222113M ( Z ) = å j( xi )P ( X = xi ) ,i2éùD( Z ) = M (Z ) –=[ M ( Z )] å j ( xi ) P( X= xi ) - ê å j( xi ) P ( X = xi ) ú .ië iûесли X –– дискретная случайная величина.222Пример 2.67.
Отрезок [0; a ] произвольным образом делится на двечасти (все положения точки деления в этом отрезке одинаково возможны).Полученные части отрезка составляют две стороны прямоугольника. Найтисреднее значение его площади и дисперсию этой площади.Решение. Обозначим длину одной из частей отрезка через X, тогдадругая часть отрезка имеет длину a – X , а площадь прямоугольника равнаS = X (a – X ) = aX – X 2 . Так как все положения точки деления в отрезкеодинаково возможны, то X имеет равномерное распределение на отрезке[0; a ] с функцией плотности вероятности f ( x ) = 1 / a при x Î [0; a ], иf ( x ) = 0 при остальных x.
Поэтому среднее значение площадипрямоугольника равно по формуле (2.11.6)aa22 1M ( S ) = ò (ax - x ) dx = .a60Дисперсия площади равнаa21232D( S ) = M ( S ) – éë M ( S ) ùû ò (ax - x 2 ) 2 dx - (a 2 / 6) 2 = a 4 .a90023 4Ответ. a 2 / 6 ;a.90Задача 2.67. Случайная величина X принимает значения в [0, a ] иимеет функцию плотности вероятности f ( x) . В нечетных вариантах f ( x)–– плотность равномерного распределения в [0, a ] , в четных вариантах4aпри x Î [0, a ] и f ( x ) = 0 при остальных x.
Найдитеf ( x) =2p( a + x 2 )математическое ожидание случайной величины Z.В 1, 6, 11, 16, 21, 26 вариантах Z равна площади поверхностицилиндра с радиусом основания X и высотой a – X . Во 2, 7, 12, 17, 22, 27вариантах Z равна объему конуса с радиусом основания X и высотой a – X .В 3, 8, 13, 18, 23, 28 вариантах Z равна площади ромба с диагоналями X иa – X . В 4, 9, 14, 19, 24, 29 вариантах Z равна объему цилиндра с радиусомоснования X и высотой a – X . В 5, 10, 15, 30, 25, 30 вариантах Z равнаплощади равнобедренного треугольника с основанием X и высотой a – X .(См.
пример 2.67; a –– номер варианта.)1142.12. Функции нескольких случайных аргументов2.12.1. СверткаПусть Z = X + Y , где случайные величины X и Y независимы иимеют функции плотности вероятности f1 ( x) и f 2 ( y ) соответственно.Случайная величина Z имеет функцию плотности вероятности+¥f ( z) =òf1 ( x) f 2 ( z - x ) dx .(2.12.1)-¥Выражение в правой части (2.12.1) называется свёрткой функцийплотности вероятности f1 ( x) и f 2 ( y ) .Если случайные величины X и Y неотрицательны, то формула (2.12.1)имеет вид:zf ( z ) = ò f1 ( x) f 2 ( z - x ) dx .(2.12.2)0Пример 2.68. Пусть случайные величины X1 и X2 независимы иравномерно распределены на отрезках [0,2] и [0,3] соответственно. Найтизакон распределения случайной величины Z = X 1 + X 2 .Решение. Все значения случайной величины X1 равновозможны вотрезке [0,2], поэтому ее плотность вероятности f1 ( x) во всех точках этогоотрезка должна быть одинакова, т.е.
постоянна. Значение этой постояннойнаходим из условия, что интеграл от функции плотности вероятности повсем возможным значениям случайной величины равен единице. Итак,случайная величина X1 имеет функцию плотности вероятности f1 ( x ) = 1 / 2при x Î [0,2] и f1 ( x ) = 0 при остальных x.
Из тех же соображенийслучайная величина X2 имеет плотность вероятности f 2 ( x) = 1 / 3 приx Î [0,3] и f 2 ( x) = 0 при остальных x. Так как X1 и X2 неотрицательны, тофункцию плотности вероятности f ( z ) случайной величины Z = X 1 + X 2можно найти по формуле (2.12.2).При z < 0 произведение функций f1 ( x ) f 2 ( z - x) º 0 и поэтому изформулы (2.12.2) следует, что f ( z ) = 0. При 0 £ z < 2 (см. рис. 12.1)zf ( z ) = ò f1 ( x ) f 2 ( z - x) dx=0115z1 1z×dx=ò0 2 3 6 .Рис.
2.12.1При 2 £ z < 3 получаем (см. рис. 2.12.2)zf ( z ) = ò f1 ( x ) f 2 ( z - x) dx=021 11dx×=ò0 2 3 6 .Рис. 2.12.2При 3 £ z < 5 (см. рис. 2.12.3)zf ( z ) = ò f1 ( x) f 2 ( z - x ) dx=011621 15- z×dx=.ò2 36z -3Рис. 2.12.3При 5 £ z функция f ( z ) = 0 так как в формуле (2.12.2) под знакоминтеграла произведение f1 ( x ) f 2 ( z - x) º 0.z1Итак, f ( z ) = 0 при z < 0 , f ( z ) =при 0 £ z < 2 , f ( z ) =при635- z2 £ z < 3, f ( z) =при 3 £ z < 5 , f ( z ) = 0 при 5 £ z .
График функции6плотности вероятности f ( z ) изображен на рис. 2.12.4. Законраспределения с такой плотностью вероятности иногда называюттрапециевидным.Рис. 2.12.4Ответ. f ( z ) = 0 при z < 0 , f ( z ) =2 £ z < 3, f ( z) =z1при 0 £ z < 2 , f ( z ) =при635- zпри 3 £ z < 5 , f ( z ) = 0 при 5 £ z .6Задача 2.68.1. Случайные величины X и Y независимы и равномернораспределены на отрезках соответственно [0, a ] и [0, b]. Найдите плотность117распределения случайной величины Z = X + Y . Найдите вероятностиР (a < z < b) и Р ( z < a ).
(См. пример 2.68, величины a и b возьмите изисходных данных к задаче 2.62.)Замечание. Для Z = X – Y формула (2.12.1) имеет вид+¥f ( z) =òf1 ( x) f 2 ( z + x) dx .(2.12.3)-¥Задача 2.68.2. Пусть случайные величины X и Y независимы икаждая из них равномерно распределена в отрезке [q – b; q + b].
Покажите,что случайная величина Z = X – Y имеет распределение, которое независит от q, и найдите плотность вероятности этой случайной величины.(См. пример 2.68, формулу (2.12.3); b –– номер варианта.)Задача 2.68.3. Случайные величины X1 и X2 независимы и каждаяимеет показательное распределение F ( x) = 1 – exp( -lx), 0 £ x , l > 0 .Пусть Z = X 1 + X 2 . Найдите M ( Z ), плотность распределения случайнойвеличины Z и P[ X 1 + X 2 < M ( Z )]. (См. пример 2.68; l –– номер варианта.)Задача 2.68.4.
При измерении длительности импульса допускаютсяпогрешности при отсчете начала и конца импульса. Эти погрешностинезависимы. Пусть погрешность (ошибка) отсчета начала импульса Xимеет функцию плотности вероятности f ( x) = 2x / a 2 при x Î [0, a ] иf ( x ) = 0 при остальных x. Пусть погрешность отсчета конца импульса Yимеет равномерное распределение в [0, a ] , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
