ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 21
Текст из файла (страница 21)
f ( y ) = 1/ a при y Î [0, a ] иf ( y ) = 0 при остальных y. Найдите вероятность того, что суммарнаяошибка в определении длительности импульса Z = X + Y не превзойдет a.(См. пример 2.68; a –– номер варианта.)Если X и Y независимые дискретные случайные величины иZ = X + Y , то для них формула свертки (2.12.1) имеет вид:P( Z = k ) = P( X + Y =k ) =å P=( X = xi ) P (Y k - xi ) .(2.12.4)iПример 2.69.
Пусть случайные величины X1 и X2 независимы икаждая имеет геометрический закон распределения:Xk1234LL23k–1PppqpqpqpqLLТребуется найти закон распределения случайной величины Z = X 1 + X 2 .118Решение. Очевидно, что Z = X 1 + X 2 может принимать значения 2, 3,4,… . В соответствии с формулой (2.12.4)P( Z = 2) =P( X= 1) P=(Y =1) pp= p2 ,P ( Z = 3) P=( X 1)=P(Y =2) + P ( X = 2) P (Y= 1) =p × pq + pq × p 2 =p 2q.P ( Z = 4) P=( X 1)=P(Y =3) + P ( X = 3) P(Y= 1) + P ( X = 2) P (Y= 2) == p × pq 2 + pq 2 × p + pq × pq = 3 p 2q 2 .Закономерность образования вероятностей для Z в достаточнойстепени проявилась.
Можно предположить, что P (Z = k ) = (k - 1) p 2 q k -2 .Вместо рассуждений по методу математической индукции можно простозаметить, что при вычислении каждой следующей вероятности добавляетсяеще одно слагаемое и в каждом слагаемом добавляется множитель q.Поэтому P ( Z = k + 1) = kp 2 q k -1.Ответ.
P ( Z = k ) = (k - 1) p 2 q k -2 , где Z = 2,3, 4,¼ .Задача 2.69. Случайные величины X1 и X2 независимы и каждаяимеет биномиальный закон распределения с параметрами n = 3 и p, т.е.P( X = k ) p k (1 – p)3– k ,= k 0,1, 2,3.=Найдите закон распределения случайной величины Z = X 1 + X 2 . (См.пример 2.69, величину p возьмите из исходных данных к задаче 2.59.)Пример 2.70. Случайные X и Y независимы, причем X равномернораспределена на отрезке [0;2] , а Y имеет функцию распределения F ( y ) = 0при y < 0 , F ( y ) = y 2 при 0 £ y < 1 и F ( y ) = 1 при 1 £ y .
Требуется найтидисперсию произведения этих величин.Решение. По свойству дисперсий для независимых случайныхвеличин Х и YD( XY ) = D( X ) D(Y ) + D( X )[ M (Y )]2 + D(Y )[M ( X )]2 .Вычислим величины из правой части этого равенства. Так как всезначения X равновозможны в отрезке [0;2] , то f ( x ) = 1 / 2 при x Î [0;2] иf ( x ) = 0 при остальных x. Поэтому22114M ( X ) = ò x dx = 1, M ( X 2 ) = ò x 2 dx = ,223004 2 1D ( X ) = M ( X 2=) – [ M (=X )]2–1.33119Случайная величина Y имеет функцию плотности вероятностиf ( y ) = F ¢( y ) = 2 y при 0 £ y < 1 и f ( y ) = 0 при остальных y.
Поэтому1121M (Y ) = ò y × 2 y dy = , M (Y 2 ) = ò y 2 × 2 y dy = ,32001 4 1D (Y ) = M (Y 2 )=– [ M (Y=)]2–.2 9 18В итоге D( XY ) = (1 / 3)(1 / 18) + (1 / 3)(2 / 3) 2 + (1 / 18) ×12 = 2 / 9.Ответ. D ( XY ) = 2 / 9.Задача 2.70. Случайные X и Y независимы и равномернораспределены соответственно на отрезках [0, a ] и [0, b]. Найдитедисперсию произведения этих величин. (См. пример 2.70, величины a и bвозьмите из исходных данных к задаче 2.62.)2.12.2.
Распределение системы двух дискретных случайных величинРаспределение системы двух дискретных случайных ( X , Y ) величинможно задать в виде таблицы, в которой перечислены пары возможныхзначений ( x, y ) и их вероятности:XYy1у2у3Lуmnх1х2х3Lхnp11p12p13Lp1mp21p22p23Lp2mp31p32p33Lp3mLLLLLpn1pn2pn3Lpnmp(х1)p(х2)p(х3)Lp(хn)mp ( хi ) = å pijj =1В этой таблице рij = P ( X=этомå pij = 1 ,i, jР ( X = хi ) =xi =, Ymå piji =1Р (Y = у j ) = å pij . Если X и Yj =1i= 1независимы, то рij = р( хi ) р( у j ).120р(у1)р(у2)р(у3)Lр(уm)у= j ), i 1,2,¼, n, =j 1, 2,¼, m. Приnиp( у j ) = å pijПример 2.71. Закон распределения дискретного случайного векторазадан в виде таблицы:Xp( у j )–102Y00,20,10,10,410,10,30,20,6P ( X = x)0,30,40,3Требуется найти распределение случайных величин Z = XY иW = | X 2 - Y 2 |.Решение.
Найдем возможные значения случайной величины Z:Z = -1 × 0 = 0 с вероятностью 0,2;Z = -1 × 1= -1 с вероятностью 0,1;Z = 0 × 0 = 0 с вероятностью 0,1;Z = 0 × 1 = 0 с вероятностью 0,3;Z = 2 × 0 = 0 с вероятностью 0,1;Z = 2 × 1 = 2 с вероятностью 0,2.Закон распределения случайной величины Z запишем в виде рядараспределенияZ–102P0,10,70,2Случайная величина W принимает значения:W = | (-1) 2 - 02 | = 1 с вероятностью 0,2;W = | (-1) 2 - 12 | = 0 с вероятностью 0,1;W = | 02 - 02 | = 0 с вероятностью 0,1;W = | 02 - 12 | = 1 с вероятностью 0,3;W = | 22 - 02 | = 4 с вероятностью 0,1;W = | 22 - 12 | = 3 с вероятностью 0,2,и имеет ряд распределенияW0134P0,20,50,20,1Ответ.Z–102P0,10,70,2WP00,210,530,240,1Задача 2.71.
Случайный вектор дискретного типа распределен позакону, определяемому таблицей:121Xx1x2x3x4p(уj)Yy1p11p12p130,05p(y1)y2p21p220,020,03p(y2)p(хi)p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)Найдите законы распределения случайных величинU = | X - Y | , V = Y 2 - X 2.В нечетных вариантах: x1 = -1; x2 = 0; x3 = 1; x4 = 2; y1 = -1;четных вариантах: x1 = -2; x2 = -1; x3 = 0; x4 = 1; y1 = -2; y2 =пример 2.71 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.71.№ p11 p12 p13 p21 p22 № p11 p12 p13 p21 p22 № p11 p12 p131 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 11 0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 21 0,1 0,2 0,32 0,2 0,1 0,3 0,1 0,1 12 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 22 0,2 0,3 0,13 0,1 0,3 0,1 0,1 0,2 13 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 23 0,3 0,1 0,14 0,3 0,1 0,1 0,2 0,1 14 0,1 0,2 0,3 0,1 0,1 24 0,1 0,1 0,15 0,1 0,1 0,2 0,1 0,3 15 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 25 0,1 0,1 0,26 0,1 0,2 0,3 0,1 0,1 16 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 26 0,3 0,1 0,17 0,2 0,3 0,1 0,1 0,1 17 0,2 0,1 0,3 0,1 0,1 27 0,1 0,1 0,18 0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 18 0,1 0,3 0,1 0,1 0,2 28 0,1 0,1 0,29 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 19 0,3 0,1 0,1 0,2 0,1 29 0,1 0,2 0,310 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 20 0,1 0,1 0,2 0,1 0,3 30 0,1 0,1 0,1Z = XY ,y2 = 1.
В2. (См.p210,10,10,10,20,30,10,20,30,10,1p220,10,10,20,30,10,20,30,10,10,12.12.3. Распределение функции двух случайных величинРассмотрим функцию двух случайных величин Z = j( X , Y ), где( X , Y ) –– система двух случайных величин (случайный вектор вплоскости). Пусть случайная точка ( X , Y ) имеет функцию плотностивероятности f ( x, y ). Найдем функцию распределения G ( z ) случайнойвеличины Z.Для каждого z обозначим через W ( z ) область на плоскости, вкоторой выполняется неравенство j( X ,Y ) < z.
Чтобы это неравенствовыполнилось, случайная точка должна попасть в область W ( z ) . Поопределению= X , Y ) ÎW ( z )] = òò f ( x, у) dxdу .G ( z ) = Р( Z < z ) Р[= j( X , Y ) < z ] P[(w( z )122Тогда плотность распределения случайной величины Z равнаg ( z ) = G¢( z ).Пример 2.72. В квадрат со стороной a наугад брошена точка. Пусть Y–– расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата. Считая всеположения точки в квадрате равновозможными, найдите функциюплотности вероятности величины Y, M (Y ) и D (Y ).Решение.
Пусть Y –– расстояние от точки до ближайшей стороныквадрата. Для определенности будем считать, что точка попала втреугольник AOD (см. рис. 2.12.5).Рис. 2.12.5Для всех точек этого треугольника AD –– ближайшая сторонаквадрата. Так как площадь треугольника AOD равна a 2 / 4 , то плотностьвероятности случайной точки в этом треугольнике f ( x, y ) = 4 / a 2 . Внетреугольника f ( x, y ) = 0. Расстояние от точки до основания будет равно y,если точка упадет на отрезок MN. Поскольку OK = KN = a / 2 – y , топлотность вероятности случайной величины Y получим, еслипроинтегрируем плотность вероятности f ( x, y ) в пределах от –(a / 2 – y )до (a / 2 – y ) (т.е.
от точки M до точки N):a /2 - yf ( y) ==ò- ( a /2- y )f ( x, y )dx4(a - 2 y=)a24 8yпри y Î [0; a / 2]a a2a /2æ48y öady = . Для2 ÷6øò y çè a - aи f ( y ) = 0 при остальных y. Поэтому M (Y ) =0a /2вычисления дисперсии найдем сначала M (Y ) =2ò0123a2æ 4 8y ö.y ç - 2 ÷ dy =24èa a ø22a2 æ a öa.-ç ÷ =Откуда D (Y ) = = M (Y =) – [ M (Y )]24 è 6 ø 72Ответ.
M (Y ) = a / 6 ; D (Y ) = a / 72.22Задача 2.72. В равнобедренный треугольник с основанием a ивысотой h наугад брошена точка. Пусть Y –– расстояние от этой точки дооснования треугольника. Считая все положения случайной точки втреугольнике равновозможными, найдите функцию плотности вероятностивеличины Y, M (Y ) и D (Y ) . (См. пример 2.72; a –– номер варианта.)Пример 2.73. Две вершины треугольника совпадают с концамидиаметра круга радиуса R, а третья вершина располагается в случайнойточке ( x, y ) в верхней половине круга. Полагая равновозможными всеположения третьей вершины в верхней половине круга, найдите функциюплотности вероятности для площади треугольника и математическоеожидание этой площади.Решение. Так как все положения точки ( x, y ) в полукругеравновозможны, а площадь полукруга равна pR 2 / 2, то плотность2вероятности случайной точки ( x, y ) имеет вид: f ( x, y ) =во всехpR 2точках полукруга, и f ( x, y ) = 0 вне полукруга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
