ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Основание треугольникапостоянно и равно 2R, а высота треугольника равна ординате случайной1точки y. Поэтому площадь треугольника равна S = ·2 R· y = Ry. Высота2треугольника будет равна y, если случайная точка упадет на отрезок AB(см. рис. 2.12.6). Для получения плотности вероятности в точке yнеобходимо просуммировать плотность вероятности f ( x, y ) вдоль отрезкаAB:R2 - y 2f ( y) =òR2 - y2f ( x, y )dx=2- R -y2ò- R2 - y 22dx=pR 24 R2 - y2при y Î [0, R] .pR 2В итоге среднее значение площади треугольника равноR4 R2 - y2M (S ) = ò R y =dypR 20R4y R 2 - y 2 dy =òpR 0R22 ( R 2 - y 2 )3/2y22 1/22=(Ry)d(Ry)× =pR ò0pR3/ 2124R0=4R2.3pРис. 2.12.62Ответ.4R.3pЗадача 2.73.1.
Основанием треугольника служит отрезок от точки Aдо точки C. Третья вершина B ( x, y ) находится в области D. Считаяравновозможными все положения точки B в области D, найтиматематическое ожидание площади треугольника ABC.В вариантах 1–10: a –– номер варианта, A(0,0), C(a,0),D = {0 £ x; x £ a; 0 £ y; y £ x }.В вариантах 11–20: a –– номер варианта минус 10, A(0,0), C(a,0),D = {0 £ x; x £ a; 0 £ y; y £ x 2 }.В вариантах 21–31: a –– номер варианта минус 20, A(–a,0), C(a,0),ìa 2 - x2 üD = í0 £ y; y £ý.a þî(См.
пример 2.73.)Задача 2.73.2. Две вершины треугольника совпадают с точкамиA(0,0) и B(a,0). Положение третьей вершины C ( x, у ) равновозможно влюбой точке области D = {0 £ x £ a; 0 £ y; у £ ( x - a) 2 }. Найдите функциюплотности вероятности для площади треугольника и математическоеожидание этой площади (См.
пример 2.73; а –– номер варианта.)Задача 2.73.3. Одна вершина треугольника находится в точке А(0,0),вторая –– в точке В(а,0), а положение третьей вершины равновозможно вобласти, ограниченной линиями Y = 0 , Х = а и Y = ах . Найдитефункциюплотностивероятностидляплощадитреугольника,математическое ожидание этой площади и ее дисперсию. (См. пример 2.73;а –– номер варианта.)125Пример 2.74. Все положения случайной точки (X,Y) равновозможныв квадрате со стороной, равной единице.
Найдите функцию плотностивероятности случайной величины Z = XY и ее среднее значение.Решение. Так как все положения случайной точки (X,Y)равновозможны в квадрате со стороной, равной единице, то эта случайнаяточка имеет функцию плотности вероятности f ( x, y ) = 1 внутри квадрата иf ( x, y ) = 0 вне квадрата.Найдем сначала функцию распределения случайной величины Z. ПоопределениюF ( z ) = P (Z < z ) Р[( Х=, Y ) < z ]. Неравенство ( Х ,Y ) < zвыполняется, если случайная точка (Х,Y) окажется внутри квадрата нижегиперболы ху = z (см. рис. 2.12.7).
ПоэтомуF ( z ) = P( Z < z ) = 1 – Р( Z ³ z ) = Р[( Х , Y ) Î S ] =111z= 1 – òò =f ( x, y )dxdy 1 - ò dx ò =dy 1 - ò (1 - )dx = z (1 – ln z ) при 0 £ z £ 1.x(S )zz/xzРис. 2.12.7ì0 при z £ 0,ïОкончательно можно записать: F ( z ) = í z (1 – ln z ) при 0 < z £ 1,ï1 при 1 < z.îДифференцируя F(z) по z, получаем функцию плотности вероятностиì0 при z £ 0,ïf ( z ) = í- ln z при 0 < z £ 1,ï0 при 1 < z.î1М(Z) = М ( Z ) = ò z (- ln z ) dz = 1 / 4 .0126ì0 при z £ 0,ïОтвет.
f ( z ) = í- ln z при 0 < z £ 1, М ( Z ) = 1/ 4.ï0 при 1 < z.îЗадача 2.74.1. Случайная точка (X,Y) в квадрате D = {0 £ x £ a,0 £ y £ a} имеет функцию плотности вероятности f ( x, y ) = 4xy / a при( x, y ) Î D и f ( x, y ) = 0 вне D. Пусть Z = XY –– произведение координатточки. Найдите: функцию плотности вероятности случайной величины Z,М (Z ) и P (Z < a ). (См. пример 2.74, a –– номер варианта.)Задача 2.74.2.
Плотность вероятности случайной точки (X,Y) вквадрате [0,1]´[0,1] имеет вид f ( x, y )= 2(ax + by ) / (a + b). Найдитефункцию распределения случайной величины Z = XY , ее математическоеожидание М (Z ) и P[ Z < M (Z )]. (См.
пример 2.74 и исходные данные кзадаче 2.68.1.)Замечание. Если требуется найти лишь математическое ожиданиеслучайной величины Z = j( X , Y ) , то нет необходимости предварительнонаходить закон распределения Z. Если известна, например, f ( x, y ) ––функция плотности вероятности случайной точки (X,Y), то среднеезначение Z можно вычислить непосредственно по формуле:M ( Z ) = òò j( x, y ) f ( x, y ) dxdy,(2.12.5)Dгде D –– область возможных значений двумерной случайной величины (X,Y).Пример 2.75. Все положения случайной точки (X,Y) в областиD = {( x, y ) : x + y < 4, x > 0, y > 0} равновозможны.
Величина X равнастороне основания правильной четырехугольной пирамиды, а Y равняетсявысоте этой пирамиды. Найдите математическое ожидание объемапирамиды.Решение. Область D представляет из себя треугольник, площадькоторого равна восьми. Так как все положения случайной точки (X,Y) втреугольнике равновозможны, то функция плотности вероятности f ( x, y )внутри этого треугольника постоянна.
Поэтому f ( x, y ) = 1 / 8 во внутреннихточках треугольника и f ( x, y ) = 0 вне треугольника (см. рис. 2.12.8).127Рис. 2.12.8Объем пирамиды равен V = (1 / 3)YX 2 . Поэтому по формуле (2.12.5)имеем44- x42 111132222(4)M (V ) = òò=y x = dx dyxydxdyxxdx=» 0,71.3D824 ò0 ò048 ò04532Ответ. M (V ) =» 0,71.45Задача 2.75. Все положения случайной точки (X,Y) в области Dравновозможны.В нечетных вариантах область D = {( x, y ) : x 2 + y 2 £ a 2 ; x ³ 0; y ³ 0}.В четных вариантах область D = {( x, y ) : y £ x ; x £ a; y ³ 0}.Координаты X и Y этой случайной точки определяют размерыгеометрических фигур и тел.
Найдите математическое ожидание случайнойвеличины Z, если: в 1, 6, 11, 16, 21, 26 вариантах Z равна площадиповерхности цилиндра с радиусом основания X и высотой Y; во 2, 7, 12, 17,22, 27 вариантах Z равна объему конуса с радиусом основания X и высотойY; в 3, 8, 13, 18, 23, 28 вариантах Z равна площади ромба с диагоналями X иY; в 4, 9, 14, 19, 24, 29 вариантах Z равна объему цилиндра с радиусомоснования X и высотой Y; в 5, 10, 15, 30, 25, 30 вариантах Z равна площадиравнобедренного треугольника с основанием X и высотой Y.
(См. пример2.75, a –– номер варианта.)Пример 2.76. Равновозможны все положения случайной точки (X,Y)в круге радиуса R с центром в начале координат (иначе говоря, случайныйвектор { X , Y } распределен равномерно в указанном круге). Требуетсянайти плотность вероятности случайной величины Z = ( X + Y ) / X .128Решение.
Так как все положения случайной точке в кругеравновозможны, а площадь круга равна pR 2 , то плотность вероятности1случайной точки f ( x, y ) =внутри круга и f ( x, y ) = 0 вне круга.pR 2Найдем сначала функцию распределения случайной величины Z. Поопределениюæ X +YöF (z) =P( X < z ) P ç =< z ÷ .è XøX +YНеравенство< z при X > 0 преобразуется к виду X + Y < zXXили Y < ( z - 1) X , а при X < 0 получаем Y > ( z - 1) X . Это означает, что,неравенство выполняется в заштрихованной на рис.
2.12.9 и рис. 2.12.10области Dz .при z > 1при z < 1Рис. 2.12.9Рис. 2.12.10ПоэтомуF ( z ) = P( X < z)æ X +Yö=ç< z ÷ =òò f ( x,=y ) dxdy=Pè Xø Dz1dxdypR 2 òòDz1× 2SapR 2где Sa –– площадь кругового сектора с углом a.Заметим, что тангенс угла наклона прямой y = ( z - 1) x равен z - 1 .Поэтому при z > 1 угол a 0,5p += arctg( z - 1). При z < 1 тоже a = 0,5p ++ arctg( z - 1), так как в этом случае arctg( z - 1) < 0 . Поэтому площадьсектора1 æpöSa = R 2 ç + arctg( z - 1) ÷ .2 è2øИтак,11 2æ pö 1æpöF (z) =×2×R+arctg(z1)ç÷ç= + arctg( z - 1) ÷ .2pR2 è2ø pè 2øВ итоге получаем12911,×p 1 + ( z - 1)2т.е. стандартный закон распределения Коши, только сдвинутый на единицувправо (см. рис.
2.12.11).f ( z ) = F ¢=( z )Рис. 2.12.11Ответ.11×.p 1 + ( z - 1)2Задача 2.76. Равновозможны все положения случайной точки (X,Y) вкруге радиусом b с центром в начале координат. Требуется найтиплотность вероятности случайной величины Z = aY / X . (См. пример 2.76,b –– номер варианта, a возьмите из исходных данных к задаче 2.71.1.)Пример 2.77. Время безотказной работы каждого элемента имеетпоказательный закон распределения ( F ( x) = P( X < x) = 1 – e-l x , x ³ 0,l > 0, M ( X ) = 1 / l) . Cчитая, что элементы выходят из строя независимодруг от друга, найти среднее время безотказной работы («наработку наотказ») для каждой из систем:а)б)Решение. Обозначим время безотказной работы i-го элемента черезXi.
Система а) выходит из строя вместе с первым отказавшим элементом,поэтому время безотказной работы первой системы Y = min( X 1 , X 2 ).Заметим, что P ( X i > x) = 1 – P( X i < x) = 1 – =(1 – e-lx ) e-lx . Найдем функциюраспределения величины Y:130F ( y ) = P(Y < y ) = P(min( X 1 , X 2 ) < y ) = 1 – P(min( X 1 , X 2 ) > y ) =-ly -ly= 1 – P ( X 1 > y, X 2 > y ) 1 – P=( X 1 > у) Р( X 2 > у) 1 – e=e1 –=e -2 ly .Оказалось, что величина Y = min( X 1 , X 2 ) имеет показательный законраспределения с параметром 2l. Наработка на отказ для системы споследовательным соединением элементов равна¥¥00M (Y ) = ò ydF= ( y)ò y × 2lе-2 lydy= 1 / 2l,т.е. в два раза меньше наработки на отказ одного элемента.Система б) работает безотказно, пока в рабочем состоянии находитсяхотя бы один из двух элементов.
Поэтому ее время безотказной работыZ = max( X 1 , X 2 ). Найдем функцию распределения величины Z:F ( z ) = P( Z < z ) = P (max( X 1 , X 2 ) < z ) = P ( X 1 < z , X 2 < z ) =P ( X 1 < z ) P ( X 2 < z ) F ( z ) F=( z ) (1 – e -l=z ) 2 .Наработка на отказ для системы с параллельным соединениемэлементов (такое соединение при одновременно работающих элементахназывают нагруженным или «горячим» резервированием) равна¥M ( Z ) = ò zdF= ( z )0¥ò z (1 - 2e-lz+e=)¢dz-2 lz0¥ò z(2le-lz- 2le -2 lz )=dz3 / 2l.0Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
