Главная » Просмотр файлов » ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 22

Файл №1269688 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (В.Г. Крупин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов - Теория вероятностей, Мат.статистика, Случайные процессы (Сборник задач с решениями)) 22 страницаТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688) страница 222021-09-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Основание треугольникапостоянно и равно 2R, а высота треугольника равна ординате случайной1точки y. Поэтому площадь треугольника равна S = ·2 R· y = Ry. Высота2треугольника будет равна y, если случайная точка упадет на отрезок AB(см. рис. 2.12.6). Для получения плотности вероятности в точке yнеобходимо просуммировать плотность вероятности f ( x, y ) вдоль отрезкаAB:R2 - y 2f ( y) =òR2 - y2f ( x, y )dx=2- R -y2ò- R2 - y 22dx=pR 24 R2 - y2при y Î [0, R] .pR 2В итоге среднее значение площади треугольника равноR4 R2 - y2M (S ) = ò R y =dypR 20R4y R 2 - y 2 dy =òpR 0R22 ( R 2 - y 2 )3/2y22 1/22=(Ry)d(Ry)× =pR ò0pR3/ 2124R0=4R2.3pРис. 2.12.62Ответ.4R.3pЗадача 2.73.1.

Основанием треугольника служит отрезок от точки Aдо точки C. Третья вершина B ( x, y ) находится в области D. Считаяравновозможными все положения точки B в области D, найтиматематическое ожидание площади треугольника ABC.В вариантах 1–10: a –– номер варианта, A(0,0), C(a,0),D = {0 £ x; x £ a; 0 £ y; y £ x }.В вариантах 11–20: a –– номер варианта минус 10, A(0,0), C(a,0),D = {0 £ x; x £ a; 0 £ y; y £ x 2 }.В вариантах 21–31: a –– номер варианта минус 20, A(–a,0), C(a,0),ìa 2 - x2 üD = í0 £ y; y £ý.a þî(См.

пример 2.73.)Задача 2.73.2. Две вершины треугольника совпадают с точкамиA(0,0) и B(a,0). Положение третьей вершины C ( x, у ) равновозможно влюбой точке области D = {0 £ x £ a; 0 £ y; у £ ( x - a) 2 }. Найдите функциюплотности вероятности для площади треугольника и математическоеожидание этой площади (См.

пример 2.73; а –– номер варианта.)Задача 2.73.3. Одна вершина треугольника находится в точке А(0,0),вторая –– в точке В(а,0), а положение третьей вершины равновозможно вобласти, ограниченной линиями Y = 0 , Х = а и Y = ах . Найдитефункциюплотностивероятностидляплощадитреугольника,математическое ожидание этой площади и ее дисперсию. (См. пример 2.73;а –– номер варианта.)125Пример 2.74. Все положения случайной точки (X,Y) равновозможныв квадрате со стороной, равной единице.

Найдите функцию плотностивероятности случайной величины Z = XY и ее среднее значение.Решение. Так как все положения случайной точки (X,Y)равновозможны в квадрате со стороной, равной единице, то эта случайнаяточка имеет функцию плотности вероятности f ( x, y ) = 1 внутри квадрата иf ( x, y ) = 0 вне квадрата.Найдем сначала функцию распределения случайной величины Z. ПоопределениюF ( z ) = P (Z < z ) Р[( Х=, Y ) < z ]. Неравенство ( Х ,Y ) < zвыполняется, если случайная точка (Х,Y) окажется внутри квадрата нижегиперболы ху = z (см. рис. 2.12.7).

ПоэтомуF ( z ) = P( Z < z ) = 1 – Р( Z ³ z ) = Р[( Х , Y ) Î S ] =111z= 1 – òò =f ( x, y )dxdy 1 - ò dx ò =dy 1 - ò (1 - )dx = z (1 – ln z ) при 0 £ z £ 1.x(S )zz/xzРис. 2.12.7ì0 при z £ 0,ïОкончательно можно записать: F ( z ) = í z (1 – ln z ) при 0 < z £ 1,ï1 при 1 < z.îДифференцируя F(z) по z, получаем функцию плотности вероятностиì0 при z £ 0,ïf ( z ) = í- ln z при 0 < z £ 1,ï0 при 1 < z.î1М(Z) = М ( Z ) = ò z (- ln z ) dz = 1 / 4 .0126ì0 при z £ 0,ïОтвет.

f ( z ) = í- ln z при 0 < z £ 1, М ( Z ) = 1/ 4.ï0 при 1 < z.îЗадача 2.74.1. Случайная точка (X,Y) в квадрате D = {0 £ x £ a,0 £ y £ a} имеет функцию плотности вероятности f ( x, y ) = 4xy / a при( x, y ) Î D и f ( x, y ) = 0 вне D. Пусть Z = XY –– произведение координатточки. Найдите: функцию плотности вероятности случайной величины Z,М (Z ) и P (Z < a ). (См. пример 2.74, a –– номер варианта.)Задача 2.74.2.

Плотность вероятности случайной точки (X,Y) вквадрате [0,1]´[0,1] имеет вид f ( x, y )= 2(ax + by ) / (a + b). Найдитефункцию распределения случайной величины Z = XY , ее математическоеожидание М (Z ) и P[ Z < M (Z )]. (См.

пример 2.74 и исходные данные кзадаче 2.68.1.)Замечание. Если требуется найти лишь математическое ожиданиеслучайной величины Z = j( X , Y ) , то нет необходимости предварительнонаходить закон распределения Z. Если известна, например, f ( x, y ) ––функция плотности вероятности случайной точки (X,Y), то среднеезначение Z можно вычислить непосредственно по формуле:M ( Z ) = òò j( x, y ) f ( x, y ) dxdy,(2.12.5)Dгде D –– область возможных значений двумерной случайной величины (X,Y).Пример 2.75. Все положения случайной точки (X,Y) в областиD = {( x, y ) : x + y < 4, x > 0, y > 0} равновозможны.

Величина X равнастороне основания правильной четырехугольной пирамиды, а Y равняетсявысоте этой пирамиды. Найдите математическое ожидание объемапирамиды.Решение. Область D представляет из себя треугольник, площадькоторого равна восьми. Так как все положения случайной точки (X,Y) втреугольнике равновозможны, то функция плотности вероятности f ( x, y )внутри этого треугольника постоянна.

Поэтому f ( x, y ) = 1 / 8 во внутреннихточках треугольника и f ( x, y ) = 0 вне треугольника (см. рис. 2.12.8).127Рис. 2.12.8Объем пирамиды равен V = (1 / 3)YX 2 . Поэтому по формуле (2.12.5)имеем44- x42 111132222(4)M (V ) = òò=y x = dx dyxydxdyxxdx=» 0,71.3D824 ò0 ò048 ò04532Ответ. M (V ) =» 0,71.45Задача 2.75. Все положения случайной точки (X,Y) в области Dравновозможны.В нечетных вариантах область D = {( x, y ) : x 2 + y 2 £ a 2 ; x ³ 0; y ³ 0}.В четных вариантах область D = {( x, y ) : y £ x ; x £ a; y ³ 0}.Координаты X и Y этой случайной точки определяют размерыгеометрических фигур и тел.

Найдите математическое ожидание случайнойвеличины Z, если: в 1, 6, 11, 16, 21, 26 вариантах Z равна площадиповерхности цилиндра с радиусом основания X и высотой Y; во 2, 7, 12, 17,22, 27 вариантах Z равна объему конуса с радиусом основания X и высотойY; в 3, 8, 13, 18, 23, 28 вариантах Z равна площади ромба с диагоналями X иY; в 4, 9, 14, 19, 24, 29 вариантах Z равна объему цилиндра с радиусомоснования X и высотой Y; в 5, 10, 15, 30, 25, 30 вариантах Z равна площадиравнобедренного треугольника с основанием X и высотой Y.

(См. пример2.75, a –– номер варианта.)Пример 2.76. Равновозможны все положения случайной точки (X,Y)в круге радиуса R с центром в начале координат (иначе говоря, случайныйвектор { X , Y } распределен равномерно в указанном круге). Требуетсянайти плотность вероятности случайной величины Z = ( X + Y ) / X .128Решение.

Так как все положения случайной точке в кругеравновозможны, а площадь круга равна pR 2 , то плотность вероятности1случайной точки f ( x, y ) =внутри круга и f ( x, y ) = 0 вне круга.pR 2Найдем сначала функцию распределения случайной величины Z. Поопределениюæ X +YöF (z) =P( X < z ) P ç =< z ÷ .è XøX +YНеравенство< z при X > 0 преобразуется к виду X + Y < zXXили Y < ( z - 1) X , а при X < 0 получаем Y > ( z - 1) X . Это означает, что,неравенство выполняется в заштрихованной на рис.

2.12.9 и рис. 2.12.10области Dz .при z > 1при z < 1Рис. 2.12.9Рис. 2.12.10ПоэтомуF ( z ) = P( X < z)æ X +Yö=ç< z ÷ =òò f ( x,=y ) dxdy=Pè Xø Dz1dxdypR 2 òòDz1× 2SapR 2где Sa –– площадь кругового сектора с углом a.Заметим, что тангенс угла наклона прямой y = ( z - 1) x равен z - 1 .Поэтому при z > 1 угол a 0,5p += arctg( z - 1). При z < 1 тоже a = 0,5p ++ arctg( z - 1), так как в этом случае arctg( z - 1) < 0 . Поэтому площадьсектора1 æpöSa = R 2 ç + arctg( z - 1) ÷ .2 è2øИтак,11 2æ pö 1æpöF (z) =×2×R+arctg(z1)ç÷ç= + arctg( z - 1) ÷ .2pR2 è2ø pè 2øВ итоге получаем12911,×p 1 + ( z - 1)2т.е. стандартный закон распределения Коши, только сдвинутый на единицувправо (см. рис.

2.12.11).f ( z ) = F ¢=( z )Рис. 2.12.11Ответ.11×.p 1 + ( z - 1)2Задача 2.76. Равновозможны все положения случайной точки (X,Y) вкруге радиусом b с центром в начале координат. Требуется найтиплотность вероятности случайной величины Z = aY / X . (См. пример 2.76,b –– номер варианта, a возьмите из исходных данных к задаче 2.71.1.)Пример 2.77. Время безотказной работы каждого элемента имеетпоказательный закон распределения ( F ( x) = P( X < x) = 1 – e-l x , x ³ 0,l > 0, M ( X ) = 1 / l) . Cчитая, что элементы выходят из строя независимодруг от друга, найти среднее время безотказной работы («наработку наотказ») для каждой из систем:а)б)Решение. Обозначим время безотказной работы i-го элемента черезXi.

Система а) выходит из строя вместе с первым отказавшим элементом,поэтому время безотказной работы первой системы Y = min( X 1 , X 2 ).Заметим, что P ( X i > x) = 1 – P( X i < x) = 1 – =(1 – e-lx ) e-lx . Найдем функциюраспределения величины Y:130F ( y ) = P(Y < y ) = P(min( X 1 , X 2 ) < y ) = 1 – P(min( X 1 , X 2 ) > y ) =-ly -ly= 1 – P ( X 1 > y, X 2 > y ) 1 – P=( X 1 > у) Р( X 2 > у) 1 – e=e1 –=e -2 ly .Оказалось, что величина Y = min( X 1 , X 2 ) имеет показательный законраспределения с параметром 2l. Наработка на отказ для системы споследовательным соединением элементов равна¥¥00M (Y ) = ò ydF= ( y)ò y × 2lе-2 lydy= 1 / 2l,т.е. в два раза меньше наработки на отказ одного элемента.Система б) работает безотказно, пока в рабочем состоянии находитсяхотя бы один из двух элементов.

Поэтому ее время безотказной работыZ = max( X 1 , X 2 ). Найдем функцию распределения величины Z:F ( z ) = P( Z < z ) = P (max( X 1 , X 2 ) < z ) = P ( X 1 < z , X 2 < z ) =P ( X 1 < z ) P ( X 2 < z ) F ( z ) F=( z ) (1 – e -l=z ) 2 .Наработка на отказ для системы с параллельным соединениемэлементов (такое соединение при одновременно работающих элементахназывают нагруженным или «горячим» резервированием) равна¥M ( Z ) = ò zdF= ( z )0¥ò z (1 - 2e-lz+e=)¢dz-2 lz0¥ò z(2le-lz- 2le -2 lz )=dz3 / 2l.0Ответ.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее