ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть X ––число выпавших «пятерок», а Y –– число нечетных очков. Найдите закон148распределения случайного вектора { X , Y } , его математическое ожидание идисперсионную матрицу. Найдите коэффициент корреляции rXY .Решение. Если кубики однородны и симметричны, то вероятностьвыпадения каждой грани равна 1/6. Запишем сначала закон распределенияслучайного вектора { X , Y } . Каждая из компонент вектора можетпринимать только значения 0, 1 и 2. Поэтому закон распределения можнопредставить в виде таблицы:XP (Y = y )012Y01/4001/411/31/601/221/91/91/361/4P ( X = x)25/3610/361/361В клетках таблицы записаны вероятности P ( X = x и Y = y ). Например,1 1 1 1 1P ( X = 1 =и Y = 1)× + × =, так как с вероятностью 1/6 на первом6 2 2 6 6кубике появится «5», а на втором кубике с вероятностью 3 / 6 = 1 / 2выпадет четное число, либо наоборот, на первом кубике –– четное число, а2 2 1на втором –– «5».
Или, например, P ( X = 0=и Y= 2)× =, так как на6 6 9каждом кубике должна выпасть нечетная цифра, но не «5». Вычислимчисловые характеристики случайного вектора:M ( X ) = 0 × 25 / 36 + 1 × 10 / 36 + 2 × 1 /=36 1 / 3 .Заметим, что X имеет биномиальное распределение. Поэтому математическоеожидание можно было подсчитать проще: 2 × 1 / 6 = 1 / 3 –– произведениечисла опытов на вероятность появления события в одном опыте.Аналогично, M (Y ) = 0 × 1 / 4 + 1 × 1 / 2 + 2 × 1 /= 4 1.
Для вычисления дисперсийвычислим предварительно математические ожидания квадратов величин:M ( X 2 ) = 0 2 × 25 / 36 + 12 ×10 / 36 + 22 ×1 / 36= 7 / 18;M (Y 2 ) = 0 2 × 1 / 4 + 12 × 1 / 2 + 22 ×1 / 4 = 1,5.= – 1 / 9 5 / 18,Тогда D( X ) = M ( X 2 ) – [ M=( X ) ]2 7 / 18D(Y ) = M (Y 2 ) =– [ M (Y )]=2 1,5 – 1 1 / 2 .oocov( X ,Y ) = M ( X =Y ) (0 - 1 / 3)(0 - 1)1 / 4 + (0 - 1 / 3)(1 - 1)1 / 3 ++ (1 - 1 / 3)(1 - 1)1 / 6 + + (0 - 1 / 3)(2 - 1)1 / 9 + (1 - 1 / 3)(2 - 1)1 / 9 ++ (2 - 1 / 3)(2 - 1)1 / 36 = 1 / 6.149æ 5 / 18 1 / 6 öДисперсионная матрица случайного вектора имеет вид ç÷.1/61/2èøКоэффициент корреляции равенcov( X ,Y )1/ 61rXY ===» 0,45.D( X ) D(Y )5 / 18 1 / 25Ответ.
1 / 5 » 0, 45.Задача 2.85. Вероятность того, что на лотерейный билет выпадеткрупный выигрыш, равна p1, а вероятность мелкого выигрыша равна p2.Приобретено три лотерейных билета. Пусть X –– число выигрышныхбилетов среди этих трех, Y –– число крупных выигрышей, Z –– числомелких выигрышей.В вариантах, номер которых делится на три с остатком один, найти:а) закон распределения вектора ( X , Y ) ; б) коэффициент корреляции rxy.В вариантах, номер которых делится на три с остатком два, найти: а)закон распределения вектора ( X , Z ) ; б) коэффициент корреляции rxz.В вариантах, номер которых делится на три без остатка, найти: а)закон распределения вектора (Y , Z ) ; б) коэффициент корреляции ryz.(См.
пример 2.85 и исходные данные.)У к а з а н и е . Для вычисления вероятностей пар возможных значенийслучайных величин использовать формулу (2.6.2).Исходные данные к задаче 2.85.№p1p2№p1p2№p1p2№p1p20,01 0,09 17 0,005 0,08 25 0,02 0,071 0,01 0,05 92 0,01 0,04 10 0,005 0,05 18 0,005 0,09 26 0,02 0,083 0,01 0,06 11 0,005 0,04 19 0,02 0,05 27 0,02 0,094 0,01 0,03 12 0,005 0,06 20 0,02 0,04 28 0,03 0,105 0,01 0,02 13 0,005 0,03 21 0,02 0,06 29 0,03 0,126 0,01 0,10 14 0,005 0,02 22 0,02 0,10 30 0,03 0,087 0,01 0,07 15 0,005 0,10 23 0,02 0,12 31 0,03 0,128 0,01 0,08 16 0,005 0,07 24 0,02 0,10 32 0,03 0,08Замечание. Рассмотрим индикатор события A:ì1, если событие A появилось;IA = íî0, если событие A не появилось.Известно,чтоM ( I=P=( A)=pD ( I A ) p (1 - =p ) pq.СилуA)зависимости между событиями A и B можно оценить по величинекоэффициента корреляции индикаторов этих событий.
По формуле (2.14.1)имеем150M (I A I B ) - M ( I A )M ( I B )P( AB) - P( A) P ( B )=.(2.14.6)D( I A ) D( I B )P ( A) P( A ) P( B) P( B )Коэффициент rAB принимает значения в [-1;1], но есть некоторыеособенности в трактовке значений коэффициента.Если rAB = 0 , то события независимы и наоборот (вспомните, дляслучайных величин факт равенства коэффициента корреляции нулю неозначал независимость случайных величин). Положительные значениякоэффициента корреляции говорят о том, что появление одного событияувеличивает вероятность появления другого.
Например, из рис. 2.14.6видно, что отношение площади области B к площади прямоугольникаменьше, чем отношение площади области AB к площади области A.Поэтому факт появления события A увеличивает вероятность появлениясобытия B.rAB =Рис. 2.14.6Чем ближе к плюс единице значение rAB , тем в большей степенипроявляется это увеличение.
При rAB = +1 появление одного событиявсегда влечет появление другого. Если же rAB < 0 , то появление одногособытия уменьшает вероятность появления другого. Например, из рис.2.14.7 видно, что отношение площади области B к площадипрямоугольника больше, чем отношение площади области AB к площадиобласти A. Поэтому факт появления события A уменьшает вероятностьпоявления события B. Значение rAB = -1 свидетельствует о том, чтопоявление одного события исключает появление другого.Рис. 2.14.7Пример 2.86. В одной урне четыре белых и два черных шара, а вовторой два белых и три черных. Обозначим через A и B выбор белого шарасоответственно из первой и второй урны. Ясно, что P ( A) = 2 / 3 , а151P( B) = 2 / 5 и события независимы.
Пусть при выборе из первой урныбелого шара, его перекладывают во вторую урну и только потом выбираютиз нее шар. Оценить силу зависимости между событиями A и B.Решение. Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемсяформулой (2.14.6):(2 / 3)(1 / 2) - (2 / 3)(2 / 5)1=» 0,29.rAB =(2 / 3)(1 / 3)(2 / 5)(3 / 5)12Заметим, что в случае добавлении не одного, а двух белых шаров вовторую урну этот коэффициент равен(2 / 3)(4 / 7) - (2 / 3)(2 / 5)rAB =» 0,49.(2 / 3)(1 / 3)(2 / 5)(3 / 5)1Ответ.» 0,29.12Задача 2.86. В первой урне n1 белых и n2 черных шара, а во второйурне их соответственно m1 и m2. Из первой урны извлекают наугад двашара и перекладывают их во вторую урну. После этого из второй урныизвлекают один шар.Пусть Ai означает, что среди перемещенных во вторую урну шаровровно i белых ( i = 0,1, 2 ). Обозначим через B факт выбора белого шара извторой урны.
Найдите коэффициенты корреляции между каждым изсобытий Ai и событием B. (См. пример 2.86; величины n1, n2, m1 и m2возьмите из исходных данных к задаче 2.14.)2.15. Функциональные преобразования двухмерных случайных величинПусть ( X , Y ) и (U ,V ) –– двумерные случайные величины, причемU = j1=( X , Y ), V j2 ( X , Y ),(2.15.1)где функции j1 и j2 непрерывно дифференцируемы и отображение (2.15.1)взаимно однозначно, т.е.
существуют функции y1 и y2 такие, чтоX = y1 (U ,V ) и Y = y 2 (U ,V ).Если f ( x, y ) –– функция плотности вероятности случайного вектора( X , Y ) , а g (u , v) –– функция плотности вероятности случайного вектора(U ,V ) , тоg (u, v) = f [ y1 (u , v), y2 (u , v)] | I |,(2.15.2)¶y1 ¶y1¶u¶vгде I =.¶y 2 ¶y 2¶u¶v152Пример 2.87. Случайный вектор ( X , Y ) имеет плотность вероятностиì2exp( -2 x - y ) при x ³ 0, y ³ 0;f ( x, y ) = íî0 при остальных ( x, y ).Найти плотность вероятности случайного вектора (U ,V ) , еслиU = X – Y и V = X + Y.(2.15.3)Решение. Найдем обратное к (2.15.3) преобразование:x = y1 (u , v ) = 0,5 (u + v), y =y2 (u, v) =0,5(v – u ).Заметим, что из условия неотрицательности x и y следует:v ³ - u , v ³ u , v ³ 0. Так как¶y1 ¶y10,5 0,5¶u¶vI=== 1 / 2,¶y 2 ¶y 2 -0,5 0,5¶u¶vто функция плотности вероятности случайного вектора (U ,V ) , всоответствии с формулой (2.15.2), имеет видg (u, v) = 2exp[ -2 × 0,5(u + v) – 0,5(v - u )] × 1/ 2 =exp[ -0,5(u + 3v)].Ответ.
g (u , v ) = exp[-0,5(u + 3v )] при v ³ -u , v ³ u , v ³ 0 и g (u , v ) = 0при остальных (u , v ).Задача 2.87. Случайный вектор ( X , Y ) имеет плотность вероятностиì ab exp(-ax - by ) при x ³ 0, y ³ 0, a > 0, b > 0;f ( x, y ) = íî0 при остальных ( x, y ).Найти плотность вероятности случайного вектора (U ,V ) , еслиU= exp( X / c) и V = cX + Y . (См.
пример 2.87 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.87.№ a b c № a b c № a b c № a b c № a b c1 1 2 1 7 3 1 1 13 1 2 3 19 3 2 3 25 1 4 12 2 1 2 8 3 2 2 14 2 2 3 20 2 3 3 26 1 1 43 1 2 2 9 2 3 2 15 3 3 1 21 4 1 1 27 1 2 44 2 2 1 10 3 2 1 16 3 3 2 22 4 2 1 28 2 1 45 2 2 2 11 2 2 3 17 3 1 3 23 4 1 2 29 1 2 46 2 3 1 12 1 3 2 18 1 3 3 24 4 2 2 30 3 1 4Пример 2.88.
Случайные величины X и Y независимы и имеютнормальные законы распределения с нулевыми средними значениями иодинаковыми дисперсиями s2:153ì x2 üì y2 ü11exp í- 2 ý ;exp í- 2 ý.f2 ( y) =s 2ps 2pî 2s þî 2s þПусть X и Y декартовы координаты случайного вектора ( X , Y ) .Производится переход к полярным координатам по формуламx = r cos j, y = r sin j.(2.15.4)Требуется найти функцию плотности вероятности случайноговектора (r; j) и функции плотности вероятности компонент этого вектораr и j.Решение. Так как X и Y независимы, то плотность вероятностислучайного вектора ( X , Y ) имеет видf1 ( x) =ì x2 + y 2 ü1f ( x, y ) =exp íý.
.22 ps22sîþЯкобиан преобразования (2.15.4) равен¶x¶xcos j- r sin j¶r¶jI ===r,¶y¶ysin jr cos j¶r¶jпо формуле (2.15.2) получаемì r2 ürexp(2.15.5)g (r, j)= f [ x(r, j); y (r, j)]=| I |í- 2 ý.2ps 22sîþПлотность вероятности (2.15.5) позволяет вычислить маргинальныеплотности вероятности. Плотность распределения величины rp /2ì r2 ü p/2ì r2 ürrg1 (r) ò g (r=, j) d jexp= í- 2 ý ò d jexp=í - 2 ý , r ³ 0.s22 ps2î 2s þ 0î 2s þ0Это распределение известно как распределение Релея (Rayleighdistribution). График его плотности вероятности для нескольких значенийпараметра s приведен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
