ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 28
Текст из файла (страница 28)
На рис. 2.17.1 слева (вкачестве примера закона равпределения с положительной асимметрией)изображен многоугольник распределения для биномиального законараспределения при n = 6 и P ( A) = p = 1 / 3 . В правой части рис. 2.17.1приведен пример закона распределения с отрицательной асимметрией(биномиальный закон при n = 6 и P ( A) = p = 3 / 4 ).159Рис.
2.17.14) Для нормального закона распределения m 4 / s4 = 3 . Безразмерныйm4коэффициент Ek = 4 - 3 называется эксцессом. Этот коэффициентsхарактеризует «островерхость» распределения в сравнении с нормальнымзаконом распределения. Например, если говорить о функциях плотностивероятности, то при Ek > 0 график функции плотности вероятности болееостроверхий, чем график кривой нормального распределения (см.
левуючасть рис 2.17.2). При Ek < 0 график плотности вероятности имеет болееплоскую вершину, нежели нормальная кривая при тех же математическоможидании и дисперсии (см. правую часть рис. 2.17.2).Рис. 2.17.2.Через производящую функцию можно выразить и другие начальныеи центральные моменты случайной величины. Выразим черезпроизводящую функцию, например, дисперсию. Так как¥K ¢¢( z ) = å k ( k - 1) z k - 2 pk ,k =0то160¥¥k =0k =0K ¢¢(1) = å k 2 pk - å k pk = M ( X 2 ) – M ( X ) и M ( X 2 ) = K ¢¢(1) + K ¢(1).
(2.17.2)Сформируем в правой части последнего равенства дисперсию. Дляэтого прибавим и отнимем квадрат математического ожидания:K ¢¢(1) = M ( X 2 ) – [ M ( X )]2 + [ M ( X )]2 – M ( X ).Величина M ( X 2 ) – [ M ( X )]2 равна дисперсии. ПоэтомуD( X ) = K ¢¢(1) – [ K ¢(1)]2 + K ¢(1).Аналогично( Z=)z1K ¢¢¢=¥å k (k - 1)(k - 2) z=k 0¥¥3kk 0k 0==k -3(2.17.3)p=kz 1=¥å k p - 3å k 2 pk + 2å kpk .=k 0=Итак, при z = 1 имеемK ¢¢¢(1) = M ( X 3 ) - 3M ( X 2 ) + 2M ( X ),откудаM ( X 3 ) = K ¢¢¢(1) + 3M ( X 2 ) - 2 M ( X ),а с учетом (2.17.2)M ( X 3 ) = K ¢¢¢(1) + 3[ K ¢¢(1) + K ¢(1)] - 2 K ¢(1)= K ¢¢¢(1) + 3K ¢¢(1) + K ¢(1).(2.17.4)Пусть M ( X ) = m. Рассмотрим модифицированную производящуюфункцию¥1 ¥K% ( z ) = m å z k pk = å z k -m pk .z k= 0k= 0С помощью этой функции можно вычислять сразу центральныемоменты случайной величины. Например,K% ¢( z )K% ¢¢( z )¥k - m -1pkz =1 = å ( k - m)=zk =0¥z =1=¥z =1å (k - m)=pk==k 0= å (k - m)(k - m - 1) z k -m-2 pkk =0¥z =1¥¥k 0k 0= pkå kpk - må=¥= å (k - m) pk - å (k - m) pk = D( X );2k =0K% ¢¢¢( z )k =0¥z =1= å (k - m)(k - m - 1)(k - m - 2) z k -m-3 pkk =0¥z =1¥¥=k 0=k 0== å (k - m)3 pk - 3å (k - m)2 pk + å (k - m) pk =k =0¥¥oo= å (k - m) pk - 3å (k - m) pk =M ( X ) - 3M ( X 2 ),k =032k =01613m - m = 0;откудаoM ( X 3 ) = K% ¢¢¢( z )o2z =1 + 3M ( X= )K% ¢¢¢(1) + 3K% ¢¢(1).(2.17.5)Пример 2.90.1.
Пусть Х имеет пуассоновский закон распределения:l k -lР ( Х = k ) = e , где l > 0 , а k = 0,1, 2,3,¼ .k!Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и коэффициентасимметрии этой случайной величины.Решение. Производящая функция пуассоновского распределенияимеет вид¥l k -l k(lz ) k-lК ( z ) = å e= z e =å= e -l e lz el ( z -1) .k!k =0 k !k =0Заметим, что К ¢( z ) = l e l ( z -1) и К ¢¢( z ) = l 2 el ( z -1) . ПоэтомуМ (X ) = =K ¢(1) l и, в соответствии с (2.17.3),D( X ) = K ¢¢( z ) – [ K ¢(1)]2 + =K ¢(1) l 2 – l 2 + l = l.Для вычисления коэффициента асимметрии составим модифицированнуюпроизводящую функцию.
Так как М ( X ) = l , то1K% ( z ) = l el ( z -1) = z -lel ( z -1) = el ( z -1) - l ln z .zТогдаlöæK% ¢( z ) = ç l - ÷ el ( z -1)-l ln z ;zøè2æl æl ö ö l ( z -1)-l ln z%l;K ¢¢( z ) z =1 = ç z + ç l - = ÷ ÷ ez =1çz è÷zøèø¥2é 2llælö ælö ùê- 2 + 3 2 ç l - ÷ + ç l - = ÷ úz =1 = ez èzø èz ø úûêë zz =1Поэтому по формуле (2.17.5) имеемK% ¢¢¢( z )l ( z -1)-l ln zoM ( X 3 ) = K% ¢¢¢(1) + 3= K% ¢¢(1) -2l + 3l = l.ml1В итоге As = 33 == .s l ll1Ответ. М ( X ) = l, D ( X ) = l, As =.lПример 2.90.2.
Пусть Х имеет закон распределения162-2l.X0123L4kL2p q 3p q 4p q 5p q(k + 1) p qPpLL(Это частный случай отрицательного биномиального распределения илираспределения Паскаля с параметрами 2 и p). Требуется найти M ( X ) ,D ( X ) и коэффициент асимметрии As.Решение. Составим производящую функциюК ( z ) = p 2 + 2 p 2 qz + 3 p 2 q 2 z 2 + 4 p 2 q3 z 3 + K p 2 (1=+ 2qz + 3q 2 z 2 + 4q 3 z 3 + K).Для вычисления суммы ряда в скобке рассмотрим сумму рядаS ( x) = 1 + 2 x + 3x 2 + 4 x 3 +K,(2.17.6)который абсолютно сходится при | x |< 1 . Легко видеть, что нас интересуетS (qz ).
Проинтегрируем почленно ряд (2.17.6) внутри его областисходимости:xxx23234S(t)dt=(1+2t+3t+4t+...)=dtx+x+x+x+...=.ò0ò01- xВ последней строке мы воспользовались формулой суммыбесконечной убывающей прогрессии:bb + bq + bq 2 + bq 3 + K =.1- q22æxö¢Отсюда S ( x) = ç ò S (t ) dt=÷è0ø22æ x ö¢=÷çè1- x ø2 3242k11, а S (qz ) =.
Откуда2(1 - x)(1 - qz )2p2К ( z) =.(2.17.7)(1 - qz )2Воспользуемся теперь производящей функцией (2.17.7) длявычисления числовых характеристик случайной величины X:2 p 2q2q2 p 2q¢К ¢( z ) =,К(1)M ( X );===(2.17.8)(1 - q )3p(1 - qz )36 p 2q 26 p 2 q 2 6 p 2 q 2 6q 2¢¢К ¢¢( z ) =,К(1)== 4 = 4 = 2 M ( X 2 ) – M ( X ),4(1 - qz )(1 - q )ppоткуда следует, что6q 2 2 q 6q 2 + 2 pq=+=(2.17.9)M ( X 2 ) = К ¢¢(1) + К ¢(1).p2pp2По формуле (2.17.3)2D ( X ) = K ¢¢(1) – [ K ¢(1)] + K ¢(1)26q 2 æ 2q ö 2q=+p 2 çè p ÷øp1632q 2 + 2 pq=p2==2q ( q + p ) 2q= 2 , s(X) = 2q / p.p2pДалее24 p 2 q 324 p 2 q 3 24 p 2 q3 24 q3¢¢¢,K(Z)=== 3 .z =1(1 - qz )5(1 - q )5p5pПо формуле (2.17.4) вычисляем24 q 36q 2 2q 24 q 3 + 18 p q 2 + 2 q p 23¢¢¢¢¢¢=+3 2 +=.M ( X ) = K (1) + 3K (1) + K (1)p3ppp3Так какK ¢¢¢( Z ) =oM ( X 3 ) = M [ X – M ( X )]3 =M { X 3 - 3M ( X 2 ) M ( X ) + 3M ( X )[ M ( X )]2 --[ M ( X )]3} M ( X= 3 ) - 3M ( X 2 ) M ( X ) + 2[ M ( X )]3 ,то с учетом (2.17.8) и (2.17.9) имеемm3o3M ( X =)3æ 2q ö24 q3 + 18 pq 2 + 2 qp 26q 2 + 2 pq 2q= 3-3×+ 2ç ÷ =2pppè p ø2q(2q 2 + 3 pq + p 2 ) 2q(2 - p).==p3p3Учитывая это получаем значение коэффициента асимметрииm3 2q (2 - p ) p 3 2 - p 1 + qAs = 3 = 3==.sp 2q 2q2q2q1+ q2q2qОтвет.
M ( X ) = ; D ( X ) = 2 ; As =.pp2qЗадача 2.90.1. В вариантах 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27:случайная величина Х имеет геометрический закон распределения:k, где p + q 1, k =Р( Х =k ) pq=0,1,2,3,=¼(Х –– это, например, число независимых опытов до первого появлениясобытия, если вероятность появления события в одном опыте равна p,причем опыт, в котором событие появилось, не считается).В вариантах 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28: случайнаявеличина Х имеет геометрический закон распределения:, где p + q 1, k =Р( Х =k ) p k q=0,1, 2,3,=¼(Х –– это, например, число независимых опытов до первого непоявлениясобытия, если вероятность появления события в одном опыте равна p,причем опыт, в котором событие появилось, не считается).В вариантах 9, 10, 19, 20, 29, 30: случайная величина Х имеет законраспределения:k –1, где p + q 1, ===¼Р( Х =k ) pqk 1,2,3,164(Х –– это, например, число независимых опытов до первого появлениясобытия, если вероятность появления события в одном опыте равна p,причем опыт, в котором событие появилось, считается).Найдите M ( X ), D ( X ) и коэффициент асимметрии As.(См.
примеры 2.94, 2.95; p = 0,1n , где n –– последняя цифра номераварианта, а в вариантах 10, 20, 30 n –– первая цифра номера варианта.) (См.примеры 2.90.1, 2.90.2.)Задача 2.90.2. Случайная величина Х имеет закон распределения:(k + 2) p k q 2, где p + q 1, k =Р( Х =k)=0,1,2,3,=¼.(2 - p )С помощью производящей функции найдите M ( X ) и D ( X ) .¥2-xУ к а з а н и е . Воспользуйтесь тем, что å (k + 2) x k =при | x |< 1 .2(1x)k =0(См. примеры 2.94 и 2.95, p = 0,1n , где n –– последняя цифра номераварианта, а в вариантах 10, 20, 30 n –– первая цифра номера варианта.) (См.примеры 2.90.1 и 2.90.2.)2.17.2.
Преобразование ЛапласаДля непрерывной и неотрицательной случайной величины рольпроизводящей функции может играть преобразование Лапласа.Пусть Х –– непрерывная, неотрицательная случайная величина сфункцией распределения F ( x) . Тогда¥òe- sxj( s ) M (e =)- sx¥dF ( x=)0òe- sxf ( x) =dx(2.17.10)0называется преобразованием Лапласа для этого распределения. (Фактическироль величины z в формуле (2.17.1) играет величина e- s .
Преимуществотакого выбора состоит в том, что ea +b = ea eb .)Отметим, что j¢(=s )¥¥- ò x e dF ( x) и j¢¢( s ) = ò x 2e- sx dF ( x) . Поэтому- sx00-j¢(0)¥ò xdF= ( x)= ), а j¢¢(0)M (X0¥ò x dF= ( x)2М ( Х=2 ) и0D( X ) = М ( Х =) – [ М ( X )]2 j¢¢(0) – [j¢(0)]2 .(2.17.11)Производная любого порядка от преобразования Лапласа связана сначальными моментами случайной величины соотношением)j( n =(0) (-1)n M ( X n ).(2.17.12)2165Говорят, что случайная величина X имеет гамма-распределение спараметрами a > 0 и l > 0 , если ее функция плотности вероятности имеетвидì l a a-1 -l xпри x ³ 0,x eï(2.17.13)f ( x ) = í G (a)ï0при x < 0,îгде G(a ) –– так называемая гамма-функция Эйлера, которая при целыхположительных a принимает значения G(a ) = (a – 1)! .Пример 2.91.
Случайная величина X имеет функцию плотностивероятностиl 3 2 -lxf ( x) =x e при x ³ 0 и f ( x ) = 0 при x < 02(гамма-распределение с параметрами a = 3 и l). Требуется найти M ( X ),D ( X ) и коэффициент асимметрии As.Решение. Соответствующее преобразование Лапласа имеет вид¥¥l 3 - sx 2 -lxl 3 2 - ( s +l ) xj( s )e x e = dxx e = dx=2 ò02 ò0(интегрируем по частям)= u =x 2 , =du =2 xdx=, dv e -( l+ s ) x dx, v -e- ( l+ s ) x / (l + s ) =¥ö2l 3 æ x 2 - ( s +l ) x ¥- ( s +l ) x= çe+xedx÷=02 è s+ls + l ò0ø(первое слагаемое в скобке равно нулю, так как e- ( s +l ) x с увеличением xубывает быстрее, чем растет x2)¥l3=x e -( s +l ) x dx =òs+l 0(интегрируем еще раз по частям)= u =x, =du dx= , dv= e- ( l+ s ) x dx, v -e - (l+ s ) x / (l + s ) =¥¥öl3 æl3x -( s +l ) x ¥1- ( s +l ) x=e+edx ÷ =e - ( s +l ) x dx =ç2 òò0s+lè s+ls+l 0ø ( s + l) 0¥1 - ( s +l ) x öl3l3 æ- ( s +l ) x=e=dxe÷2 ò2 ç(s + l) 0( s + l) è s + løВычислим начальные моменты распределения:3-3 l 3j( s ) =,-j(0)= = M ( X );4l( s + l)166¥0l3=.( s + l )312 l 3,j¢¢( s ) =( s + l) 5поэтомуj¢¢(0) =12= M ( X 2 ),2l212 æ 3 öD ( X ) = 2 - ç =÷l èløДалее3,l2а s( x ) =3.l6060 l 3j¢¢¢=( s) ,-j¢¢¢(0) = 3 = M ( X 3 ).6l( s + l)Вычислим центральный момент третьего порядка:m3oM ( X )3= M [ X – M=( X )]3 M {=X 3 – 3 X 2 M ( X ) + 3 X [ M ( X )]2 - [ M ( X )]3} == M ( X 3 ) – 3M ( X 2 ) M ( X ) + 3M ( X )[ M ( X )]2 – [ M ( X )]3 =3= M ( X ) – 3M ( X ) M ( X ) + 2 [ M ( X=)]323Поэтому6012 36æ3ö- 3 2 × + 2ç ÷ = 3 .3ll lèlø lAs = m3 / s3 =(6 / l 3 ) : ( 3 × 1 / l )3 = 2 3 / 3.33Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
