ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 27
Текст из файла (страница 27)
2.15.1.Рис. 2.15.1154Плотность распределения случайной величины j:¥¥ì r2 ü1 r1g 2 (j)= ò g (r, j) d r = ò 2 exp í - 2 ý d j =при jÎ [0,2p].2ps2s2pîþ00Это равномерное распределение на отрезке [0,2p]ì r2 üì r2 ürrОтвет. g (r, j)exp= í- 2 ý ; g (r)= 2 exp í- 2 ý , r ³ 0;s2 ps2î 2s þî 2s þg (j) 1 =/ 2p при jÎ [0,2p].Задача 2.88.1. Случайные величины X и Y независимы и имеютпоказательный закон распределения с функциями плотности вероятностисоответственноf1 ( x) =f 2 ( y ) l e -ly , y ³ 0.l e -lx , x ³ 0 и =Полагаем X и Y декартовыми координатами случайного вектора( X , Y ) в первом квадранте ( x ³ 0; y ³ 0). Производится переход кполярным координатам по формуламx = r cos j,=y r sin j.Найдите плотность распределения случайного вектора (r; j) инайдите плотность вероятности его координаты j.
Нарисуйте графикфункции плотности вероятности случайной величины j. (См. пример 2.88,l –– номер варианта.)Задача 2.88.2. Случайная точка ( X , Y ) имеет функцию плотностивероятности f ( x, y ) в круге D = {( x, y ) : x 2 + y 2 £ a 2 } и f ( x, y ) = 0 вне этогокруга. Найдите математическое ожидание расстояния от центра круга до3 æ 1 2öэтой случайной точки. В нечетных вариантах f ( x, y ) =x + y2 ÷ .12 çpa è aø3В четных вариантах f ( x, y ) =a2 - x2 - y 2 .32p aУ к а з а н и е .
Перейдите к полярным координатам. (См. пример2.88, a –– номер варианта.)Задача 2.88.3. Электрический ток в момент времени t определяетсяравенствомI (t ) = X cos wt + Y sin wt ,(15.6)где w –– частота, а X и Y –– случайные величины, причем все положенияслучайной точки ( X , Y ) в области D = {( x, y ) : x 2 + y 2 £ a 2 , x ³ 0, y ³ 0}равновозможны.Выражение (15.6) подвергается стандартному преобразованию:155I (t ) =æXcos w t +X 2 +Y2 ç22è X +YТогда можно считать (см. рис.
2.15.2), чтоösin w t ÷ .X 2 +Y2øXY= sin j , а=2222X +YX +YY= cos j, где j –– некоторый угол.Рис. 2.15.2ПоэтомуI (t ) = X 2 + Y 2 (sin j cos w t + cos j sin w t )=X 2 + Y 2 sin(wt + j).Величину Z = X 2 + Y 2 обычно трактуют как «амплитуду», а jсчитают «сдвигом по фазе». Найдите распределение случайного вектора(Z , j). (См.
пример 2.88. Величину w возьмите равной номеру варианта.)2.16. Правило «трех сигм»Пусть случайная величина X имеет закон распределения N (m; s2 ).Вероятность того, что эта случайная величина отклонится от своегоматематического ожидания не более, чем на три средних квадратическихотклонения равнаP(| X – m |< 3s) = 2F(3s / s) = 2F (3)= 0,997 » 1,т.е.
отклонения, большие 3s, имеют вероятность 0,003. Во многихприложениях такой вероятностью можно пренебречь и считать, что приединичном наблюдении нормально распределенной случайной величиныинтервалом практически возможных значений является интервал(m – 3s; m + 3s). Это утверждение обычно называют правилом «трех сигм».Заметим, что для любой случайной величины из неравенства Чебышеваследует, что1s2P (| X - m |< 3 s) ³ 1 - = 2 1 - » 0,9 .(3s)9Поэтому правилом «трех сигм» иногда пользуются не печалясь о том,что случайная величина вовсе не имеет нормального закона распределения.156Замечание. Последние годы все чаще предпочитают брать не 3s, а3,9s. Тогда получается более «симпатичная» вероятностьP (| Х – m |< 3,9s) = 2F (3,9s / s) = 2F(3,9)=0,999 » 1.(Величина 0,999 впечатляет больше, нежели 0,997!)Пример 2.89.1.
Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 30 раз.Можно ли считать, что монета было симметричной?Решение. Подбрасывание монеты можно считать независимым опытом,число которых n = 100 . Число появлений события в большой серии опытовимеет примерно нормальный закон распределения с параметрами m = nр иs2 = nрq . Если монета симметрична, то р = 0,5 , q = 1 – р = 0,5.
Тогдаm = 100 × 0,5 = 50 и s2 100= × 0,5 × 0,5 = 25 , s = 5 . Поэтому для симметричноймонеты практически возможными значениями числа выпадений гербаявляются значения от 35 до 65. Число 30 к ним не принадлежит.Ответ. При симметричной монете такой результат практическиневозможен.Пример 2.89.2. Некто утверждает, что он экстрасенс. Для проверки былпроделан следующий опыт. Взято пять карточек с рисунками простейшихгеометрических фигур. Испытатель выбирает карточку наугад, а испытуемый,находясь в соседней комнате, пытается определить, руководствуясьсверхчувственным восприятием, какая карточка выбрана экспериментатором.Карточки перемешиваются. Затем опыт повторяется. Так проделали 100 раз.Оказалось, что в 28 случаях испытуемый правильно назвал карточку.
Есть лиоснования считать, что имело место сверхчувственное восприятие?Решение. Естественно предположить, что 28 совпадений произошлислучайно. Вероятность угадать нужную карточку равна 1/5. Угадываниекаждой карточки можно считать независимым опытом. Так как опытовмного ( n = 100 ), то число совпадений имеет близкий к нормальному законраспределения с параметрами m= nр = 100 × 1 / 5= 20 и s2 nрq=== 100 × 1 / 5 × 4 / 5 = 16. Тогда s = 4 и, согласно правилу «трех сигм»,практически возможно угадать от 20 – 3 × 4 = 8 до 20 + 3 × 4 = 32 раз.
Число28 входит в интервал возможных значений при простом угадывании.Следовательно, полученные опытные данные не подтверждаютсверхчувственного восприятия.Замечание. Предположим, что экстрасенс все-таки настаивает насвоем сверхчуственном восприятии. Серию опытов повторили. Совпаденийоказалось 31. В этом случае всего опытов n= 200 , np= 40 ,3s= 200 × 0,2 × 0,8 » 17. Интервал практически возможных значений:(23;57).
Общее число совпадений равно 28 + 31 = 59.157Такое число совпадений при простом угадывании практическиневозможно. Это может послужить поводом для тщательной проверкиусловий эксперимента (подавляющее большинство так называемыхэкстрасенсов –– откровенные жулики). Или следует настоять на лабораторномобследовании экстрасенса (от чего экстрасенсы всячески уклоняются, ихстихия –– работа на публику).Задача 2.89.1. Монета подброшена n раз.
Герб выпал k раз. Можноли считать, что монета было симметричной? (См. примеры 2.89.1 и 2.89.2 иисходные данные.)Исходные данные к задаче 2.89.1.№ nk№ nk№ nk№ nk№ nk1 144 95 7 144 55 13 144 86 19 144 53 25 324 1452 256 100 8 256 105 14 256 150 20 256 145 26 400 1753 324 132 9 324 180 15 324 140 21 324 182 27 484 2724 400 232 10 400 175 16 400 228 22 400 180 28 900 4015 484 210 11 484 270 17 484 212 23 144 56 29 400 1686 900 402 12 900 491 18 900 489 24 256 110 30 256 112Задача2.89.2.Приизготовлениимассовойпродукции(шарикоподшипники, резисторы и т.д.) p% изделий оказываются высшегосорта.
Для текущего контроля за технологическим режимом время отвремени отбирают наугад n изделий и проверяют. Среди проверенныхоказалось k изделий высшего сорта. Есть ли основания считать, чтотехнологический режим разладился и требует вмешательства в него, илинекоторое отклонение от ожидаемого результата можно объяснитьслучайностями выбора? Сохранятся ли ваши выводы, если при повторномобследовании n издений среди них оказалось k – 2 первосортных изделия?(См. примеры 2.89.1, 2.89.2 и исходные данные; p –– в четных вариантахравно 90, в нечетных вариантах 80.)Исходные данные к задаче 2.89.2.№ nk№ nk№ nk№ nk№ nk1 100 72 7 100 69 13 144 105 19 144 104 25 144 1052 144 121 8 144 124 14 100 84 20 100 80 26 100 853 121 83 9 121 86 15 121 85 21 121 84 27 196 1414 100 82 10 100 83 16 144 123 22 144 126 28 144 1275 144 102 11 144 100 17 100 71 23 100 73 29 196 1396 121 98 12 121 103 18 121 100 24 121 100 30 144 1271582.17.
Производящие функции. Преобразование Лапласа.Характеристические функции2.17.1. Производящие функцииПусть дискретная случайная величина Х имеет закон распределенияР ( Х = i ) = pi , i = 0,1,2,¼, т.е. принимает только целые неотрицательныезначения. Такого типа закон распределения имеет, например, числотребований в очереди для систем массового обслуживания с ожиданием,число выходов из строя некоторого устройства за время эксплуатации,число телефонных звонков на телефон фирмы и т.д.Функция¥K ( z ) = å z k pk(2.17.1)k =0называется производящей функцией этого распределения.¥¥k =0k =0Заметим, что K ¢( z ) = å k z k -1 pk и K ¢(1) = å k pk = М ( X ).Напомним:1) Начальным моментом порядка k называется математическоеожидание k-й степени случайной величиныnk = M ( X k ).Само математическое ожидание является начальным моментомпервого порядка.2) Центральным моментом k-го порядка называется математическоеожидание k-й степени соответствующей центрированной случайнойвеличиныom k M ( X= )k M [ X= – M ( X )]k .Дисперсия является центральным моментом второго порядкаom 2 M ( X ) 2 M [ X= – M ( X )]2 D ( X=).=3) Асимметрией распределения называется отношение центральногомомента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклоненияслучайной величины: As = m3 / s3 .Если распределение симметрично, то As = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
