ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 30
Текст из файла (страница 30)
По свойству 2 это означает,что M (Y ) = 0. Так как вторая производная характеристической функции поz равнаd 2jY ( z )5n= - n ( (n - 1)(1 + cos5 z ) n -2 ( - sin 5 z ) 2 + (1 + cos5 z ) n -1 cos5 z × 5 ).2dz2при z = 0 равна -25n / 2 = (i)2 25n / 2 , то из свойства 2 следует, чтоM (Y 2 ) = 25n / 2. ПоэтомуD(Y ) = M (Y 2 ) – [ M (Y ) ]2 = 25n / 2.Ответ. jY ( z=) (1 + cos5 z )n / 2n , M (Y ) = 0 , D (Y ) = 25n / 2.Задача 2.94.
Производятся независимые опыты, в каждом из которыхP ( A) = p , а P ( A) = 1 – p = q. Пусть Ji –– индикатор появления события A вi-м опыте, т.е. Ji имеет закон распределения:Ji01PqpПусть требуется найти характеристическую функцию случайнойвеличины X, которая равна числу появлений события A в n независимыхопытах. Найдите характеристическую функцию случайной величины Ji.Используя ее свойства, найдите характеристическую функцию случайнойвеличины X (X можно представить в виде суммы индикаторов, т.е.X = J1 + J 2 + J 3 + ¼+ J n .
С помощью характеристической функции найдитеM ( X ) и D ( X ). (См. пример 2.94, n –– номер варианта плюс 3.)Пример 2.95. Требуется найти характеристическую функциюслучайной величины Y = X 12 + X 22 + ... + X n2 , где все Xi имеют законраспределения N (0,1) независимы в совокупности. С помощьюхарактеристической функции найти M (Y ) и D (Y ).Решение. Найдем сначала характеристическую функцию для X i2 . Всоответствии с формулой (2.17.7)¥221iX 2 zj( z ) Me=ò eix z e - x /2 dx==2p -¥¥¥11( iz -1/2) x 2- (1- 2 iz ) x 2 /2=edx=edx.òò2p -¥2p -¥dtПосле замены переменных 1 - 2iz x = t , dx =получаем1 - 2iz¥11- t 2 /2j( z )×=edt = (1 – 2iz )-1/2 ,ò1 - 2iz 2p -¥173¥так как1- t 2 /2eò dt = 1.
Из свойства 5 характеристических функций2p -¥следует,что случайная величинаY= X 12 + X 22 + ... + X n2имеетхарактеристическую функциюjY ( z ) = (1 – 2iz ) - n /2 .Для вычисления числовых характеристик случайной величины Yнайдем сначала перевую и вторую производные характеристическойфункции при z = 0 :j¢Y ( z ) in (1 -=2iz )n- -12z =0= in,n- -22jY¢¢ ( z ) =i n( n + 2)(1 - 2iz ) = z =0 i 2 ( n 2 + n).Это означает, что M (Y ) = n , D (Y ) = 2n .Ответ.
j Y (z ) = (1–2iz)-n/2, M (Y ) = n , D (Y ) = 2n2Задача 2.95.1. Случайная величина Х имеет нормальный законраспределения N (0, s2 ). Найдите характеристическую функцию этойслучайной величины. Найдите характеристическую функцию случайнойвеличины Y = X 12 + X 22 + ... + X n2 , где все Xi имеют закон распределенияN (0, s2 ) и независимы в совокупности. По характеристической функциислучайной величины Y найдите ее математическое ожидание и дисперсию.(См.
пример 2.95, s2 –– номер варианта плюс один.)Задача 2.95.2. Случайная величина Х имеет функцию плотностивероятности f ( x ) = l exp( n – lx) при x ³ n и f ( x ) = 0 при x < 0 . Найдитехарактеристическую функцию этой случайной величины.
С помощьюхарактеристической функции найдите M ( X ) и D ( X ). (См. пример 2.95, n ––номер варианта в нечетных вариантах и номер варианта со знаком минус вчетных вариантах.)Пример 2.96. Случайная величина Х имеет функцию плотностивероятностиlf ( x) =exp{-l | x |}, где l > 0.(2.17.21)2Требуется найти характеристическую функцию этой случайнойвеличины и ее M ( X ) и D ( X ).
Требуется также найти характеристическуюфункцию случайной величины Y = X 12 + X 22 + ... + X n2 , где величины Xiнезависимы и имеют распределение (2.17.21).Решение. Найдем сначала характеристическую функцию:174j X ( z ) M (e¥iX 2 z¥l)= ò eixz e -l| x| dx=2 -¥ö læ 1ixz -l x ¥ öee+0 ÷=÷çø 2èiz-løixz(так как | e |£ 1, то равенство можно продолжить следующим образом)ö lælæ 1l21 ö læ 11 ö= ç- 0÷ + ç 0 +.÷= ç÷=2èl+izi z - l ø 2 è l + i z l - i z ø l2 + z 2ø 2è0læ 1ixz lxç = e e2èl+iz=ll= ò ei x z elx dx + ò eixz e -lx dx2 -¥200-¥2l 2 z6l 2 z 2 - 2l 4Тогда j X=( z ) - 2, jX ( z) =.
Откуда j X (0)= =0 M ( X ),(l + z 2 ) 2(l 2 + z 2 ) 3-22j X (0) = w i =2 2 i =2 M ( X 2 ) , поэтому D( X ) = 2 / l 2 .llХарактеристическая функция случайной величины Y = X 12 + X 22 ++. .. + X n2 имеет вид:næ l2 ö[j X ( z=)] =ç 22 ÷èl +z øl2Ответ. j X ( z ) = 2, M (X ) = 0,l + z2n-næz2 öç1 + 2 ÷ .è l øD( X ) = 2 / l 2 ,-næz2 öj Y ( z=) ç1 + 2 ÷ .è l øЗадача 2.96. Случайная величина Х имеет функцию плотностивероятностиlf ( x) =exp{-l | x - a |}, где l > 0, a Î (-¥, ¥).(2.17.22)2Найдите характеристическую функцию этой случайной величины, ееM ( X ) и D ( X ) . Найдите также характеристическую функцию случайнойвеличины Y = X 1 + X 2 + K + X n , где величины Xi независимы и имеютраспределение (17.22).
(См. пример 2.96, a –– номер варианта.)1753. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА3.1. Точечные оценки3.1.1. Свойства оценокПусть случайная величина имеет неизвестную характеристику а.Такой характеристикой может быть, например, закон распределения,математическое ожидание, дисперсия, параметр закона распределения,вероятность определенного значения случайной величины и т.д.Пронаблюдаем случайную величину n раз и получим выборку из еевозможных значений Х 1 , Х 2 ,K, Х n .
В выборке скрыта информация обинтересующей нас характеристике. Для получения этой информациинеобходимо подвергнуть результаты наблюдений соответствующейобработке.Существует два подхода к решению этой задачи. Можно по результатамнаблюдений вычислить приближенное значение характеристики, а можноуказать целый интервал ее значений, согласующихся с опытными данными.
Впервом случае говорят о точечной оценке, во втором –– об интервальной.Определение.Функциярезультатовнаблюденийа% = а% ( Х 1 , Х 2 ,¼, Х n ) , значения которой близки к неизвестному значениюхарактеристики а, называется точечной оценкой этой характеристики.Для одной и той же характеристики можно предложить разныеточечные оценки. Необходимо иметь критерии сравнения оценок, длясуждения об их качестве. Оценка а% ( Х 1 , Х 2 ,¼, Х n ) , как функция случайныхрезультатов наблюдений Х 1 , Х 2 ,K, Х n , сама является случайнойвеличиной. Значения а%, найденные по разным сериям наблюдений, могутотличаться от истинного значения характеристики а в ту или другуюсторону. Естественно потребовать, чтобы оценка систематически незавышала и не занижала оцениваемое значение, а с ростом числанаблюдений становилась более точной.
Формализация названныхтребований приводит к следующим понятиям.Определение.Оценканазываетсянесмещенной,еслиеематематическое ожидание равно оцениваемой величине: М (а% ) = а. Впротивном случае оценку называют смещенной.Определение. Оценка называется состоятельной, если при увеличениичисла наблюдений она сходится по вероятности к оцениваемой величине,т.е. для любого сколь угодно малого e > 0n ®¥Р(| а% ( Х 1 , Х 2 ,K, Х n ) - a | < e ) ¾¾¾®1.175Если известно, что оценка а% несмещенная, то для ее состоятельностидостаточно, чтобыn ®¥D(а% ( Х 1 , Х 2 ,K, Х n )) ¾¾¾® 0.Последнее условие удобно для проверки.В качестве меры разброса значений оценки а% относительно а можнорассматривать величину М (а% - а)2 .
Из двух оценок предпочтительней та,для которой эта величина меньше. Если оценка имеет наименьшую меруразброса среди всех оценок характеристики, построенных по nнаблюдениям, то оценку называют эффективной.Следует отметить, что несмещенность и состоятельность являютсяжелательными свойствами оценок, но не всегда разумно требовать наличияэтих свойств у оценки. Например, может оказаться предпочтительнейоценка хотя и обладающая небольшим смещением, но имеющаязначительно меньший разброс значений, нежели несмещенная оценка.Более того, есть характеристики, для которых нет одновременнонесмещенных и состоятельных оценок.3.1.2.
Оценки для математического ожидания и дисперсииПусть случайная величина имеет неизвестные математическоеожидание и дисперсию, причем D ( X ) < ¥. Если Х 1 , Х 2 ,K, Х n ––результаты n независимых наблюдений случайной величины, то в качествеоценки для математического ожидания можно предложить среднееарифметическое наблюдаемых значенийnХ = å Х i / n.(3.1.1)i =1Несмещенность такой оценки следует из равенствæ nö nç å X i ÷ å M ( X i ) nM ( X )М ( Х ) = М ç i =1 = ÷ i=1 =M ( X ).=nnç n ÷ç÷èøВ силу независимости наблюденийæ1 nö 1 nn D( X ) D ( X )D( Х ) = D ç å X.=i ÷=D( X i ) = 2(3.1.2)2 ånnè n i =1 ø n i =1D ( X ) n®¥При условии D ( X ) < ¥ имеем D ( X ) =¾¾¾® 0, что означаетnсостоятельность оценки X .Доказано, что для математического ожидания нормальнораспределенной случайной величины оценка Х еще и эффективна.176Оценкаматематическогоожиданияпосредствомсреднегоарифметического наблюдаемых значений наводит на мысль предложить вкачестве оценки для дисперсии величину1 nD% = å ( X i - X )2 .n i =1Преобразуем величину D% , обозначая для краткости М(Х) через m:2n1D% = å éë X i - m - ( X - m) ùû =n i =1nn12n( X - m) 22= å ( X i - m) - ( X - m)å ( X i - m) +=n i=1nni =11 n= å ( X i - m) 2 - ( X - m) 2 .n i=11В силу (3.1.2) имеем M ( Х - m) 2 D= ( X ) = D ( X ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
