ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 32
Текст из файла (страница 32)
По результатамнезависимых наблюдений Х 1 , Х 2 ,K, Х n найти наиболее правдоподобныезначения этих параметров.Решение. В соответствии с (3.1.4) функция правдоподобия имеет видnæ 1 ö nL( Х=m) 2 / 2s 21 , Х 2 ,¼, Х n , m, s )ç÷ Õ exp -( X i -=è s 2p ø i 1={}nì næ 1 ö22ü= çexpí - å ( X i - m) / 2s ý ,÷è s 2p=øî i1þа логарифмическая функция правдоподобия:n1 nln L( Х 1 , Х 2 ,¼, Х n , m, s ) – n=ln s – ln(2 p) – 2 å ( X i - m) 2 .22s i =1Необходимые условия экстремума дают систему двух уравнений:ì д ln L(m, s)1 n ¶ ( X i - m) 2 1 æ nöXnm==ååïi÷ = 0,¶m2s 2 i=1¶ms 2 èç i =1ïøínï ¶ ln L(m, s) = - n + 1( X i - m)2 = 0.3 åïî¶ss s i=11 n1 n2Решения этой системы имеют вид: m% = å X i = X , s%= i - X )2 .(Xån i =1n i=1Отметим, что обе оценки являются состоятельными, причем оценкадля m несмещенная, а для s 2 смещенная (сравните с формулой (3.1.3)).1 nОтвет.
m = X , s 2(X= i - X )2 .ån i=1Задача 3.3.1. Для нечетных вариантов. Случайная величина X имеетфункцию распределенияF ( x) = 1 – exp{– l( x – a)}, x ³ a, l > 0.Пусть Х 1 , Х 2 ,K, Х n –– результаты n независимых наблюдений случайнойвеличины.1) По результатам наблюдений построить оценки наибольшегоправдоподобия для параметров a и l.2) Полагая значение параметра a равным номеру варианта, найдитеоценку параметра l по методу моментов.Для четных вариантов.
Случайная величина X имеет функциюа +1а æ х0 öплотности вероятности f ( x ) =ç ÷ при х0 £ х и f ( x ) = 0 при х < х0х0 è х ø184( а > 0 и х0 > 0 ). Пусть Х 1 , Х 2 ,K, Х n –– результаты n независимыхнаблюдений случайной величины.1) По результатам наблюдений построить оценки наибольшегоправдоподобия для параметров a и x0.2) Полагая значение параметра x0 равным номеру варианта, найдитеоценку параметра a по методу моментов.(См. примеры 3.3.1–3.3.5.)Задача 3.3.2.
Случайная величина X имеет функцию плотностивероятностиì0 при x < 0,ïf ( x) = í l mm-1 -lxпри x ³ 0.ï (m - 1)! x eîПо результатам независимых наблюдений Х 1 , Х 2 ,K, Х n постройте оценкинаибольшего правдоподобия для параметра l. (См. примеры 3.3.1–3.3.5;значение m возьмите равным номеру варианта плюс единица.)Задача 3.3.3. Случайная величина X имеет функцию плотностивероятности f ( x ). По результатам независимых наблюдений Х 1 , Х 2 ,K, Х nпостройте оценки для параметра распределения.ì x2 ü2exp í- 2 ý , s > 0 приВ вариантах 1, 6, 11, 16, 21, 26: f ( x ) =ps 2î 2s þx ³ 0 ( одностороннее нормальное распределение).
Оцените параметр s.ì x2 ü42В вариантах 2, 7, 12, 17, 22, 27: f ( x ) =x exp í- 2 ý ,p (2s 2 )3/2î 2s þs > 0 при x ³ 0 (распределение Максвелла). Оцените параметр s.ì x2 üxВ вариантах 3, 8, 13, 18, 23, 28: f ( x) = 2 exp í- 2 ý , s > 0 приsî 2s þx ³ 0 (распределение Релея).
Оцените параметр s.ì (ln x - m)2 ü1В вариантах 4, 9, 14, 19, 24, 29: f ( x ) =exp íý,2s 2xs 2pîþs > 0 при x ³ 0 (логарифмически нормальное распределение). Оценитепараметр s.В вариантах 5, 10, 15, 29, 25, 30: f ( x ) = 2ax exp{-ax 2 }, a > 0 приx ³ 0 (распределение Вейбулла–Гнеденко). Оцените параметр a.(См. примеры 3.3.1–3.3.5.)Задача 3.3.4.
Дискретная случайная величина X имеет распределение:(в вариантах 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28)185P ( X = k ) 0,5=k (k + 1)a k -1 (1 - a)3 , a > 0 , k = 1,2,3,K ,(в вариантах 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29)k -1P ( X = k ) ka=(1 - a)2 , a > 0 , k = 1,2,3,K ,(в вариантах 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30)k 2 a k -1 (1 - a )3P( X = k ) =, a > 0 , k = 1,2,3,K .a +1По результатам независимых наблюдений Х 1 , Х 2 ,K, Х n постройтеоценку для параметра a. (См. примеры 3.3.1–3.3.5.)3.2. Доверительный интервал для вероятности событияПусть вероятность P ( A) = p неизвестна. Проделаем n независимыхопытов и определим k / n –– частоту события А в данной серии опытов.Если опытов достаточно много ( n ® ¥ ), то вероятность и частота событиясвязаны соотношением:æöçæ köe ÷÷.P ç - p < e ÷ = 2F ç(3.2.1)ç pq ÷è nøç÷è n øПо заданному уровню надежности g из таблицы функции Лапласа(см.
прил., табл. П2) можно найти такое tg, что 2F(=tg ) g. Правая частьравенства (3.2.1) будет равна g, еслиtg =e,pqnpq. При подстановке такого e в (3.2.1) получается равенствоnækpqkpq ö< p < + t=g(3.2.2)P ç - tg÷ g,nnnnèøК сожалению, в формуле (3.2.2) доверительные границы длявероятности p выражаются через саму эту неизвестную вероятность. Этозатруднение можно обойти, заметив, что pq £ 1 / 4. Тогда формулу (3.2.2)можно записать в виде1k1 öæk< p < + t=g(3.2.3)P ç - tg÷ g.n2 n2 nøènОценка pq величиной 1/4 приемлема, если есть уверенность, чтонеизвестная вероятность p близка к 1/2.
Но при значениях p близких к 0откуда e = t g186или 1 такая оценка слишком груба. Например, при p = 0,1 получаем всеголишь pq = 0,1 × 0,9 = 0,09 вместо 0,25. Можно точный доверительныйинтервал заменить приближенным, если учесть, что при большом числеkопытов » p . Тогда из (3.2.2) следует, чтоnækæ kökæ köö1- ÷ççç1 - ÷ ÷kknè nønènø÷çP- tg< p < + t=gg.(3.2.4)çn÷nnnç÷èøПример 3.4.
Для обследования большой партии изделий (несколькотысяч штук) наугад выбрано 160 изделий. Среди них оказалось 56 изделийнизкого сорта. Оценить долю изделий низкого сорта в этой партии снадежностью 0,95.Решение. Так как партия изделий крупная, то для упрощения можносчитать, что по мере выбора изделий состав партии заметно не изменяетсяи вероятность выбрать наугад изделие низкого сорта равна доленизкосортных изделий в этой партии. Тогда задача сводится к построениюдоверительного интервала для вероятности выбрать из этой партии изделиенизкого сорта. Частота изделий низкого сорта в выборке равнаk 56== 0,35. Из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл.
П2) следует,n 160что 2F(1,96) = 0,95. Поэтому0,35 × 0,650,35 × 0,65< p < 0,35 + 1,96160160или 0,27 < p < 0,42. Итак, по данной выборке можно с вероятностью 0,95утверждать, что во всей партии содержится от 27% до 42% изделийнизкого сорта.Ответ. От 27% до 42%.0,35 - 1,96Задача 3.4. В серии из n выстрелов по мишени было зафиксировано kпопаданий.
Постройте доверительный интервал для вероятности попаданияв цель при одном выстреле. Уровень надежности возьмите равным γ. (См.пример 3.8 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 3.4.№nkγ№nkγ№nkγ110075 0,95 11 10055 0,98 21 14490 0,96214454 0,98 12 144 100 0,96 22 400 120 0,95315030 0,96 13 40080 0,98 23 180 162 0,974256 128 0,99 14 20040 0,99 24 32064 0,9718756789109081 0,95 15 180 162 0,96 25 16952 0,9910080 0,96 16 10075 0,95 26 10036 0,9514436 0,95 17 14480 0,97 27 14470 0,9615096 0,97 18 40040 0,98 28 400 180 0,97324 108 0,99 19 30050 0,96 29 320 256 0,9812525 0,05 20 10064 0,05 30 36072 0,99Пример 3.5. Было проведено 400 испытаний механизма катапультирования.В этих испытания не зарегистрировано ни одного отказа. С надежностью0,95 оценить вероятность отказа механизма катапультирования.Решение.
В данной серии испытаний частота появления отказаk / 400 = 0. Поэтому непосредственно использовать формулу (3.2.4) нельзя.Заметим, что pq £ 1 / 4, так как p + q = 1. Функция Лапласа Ф(х) строговозрастает. Поэтому меньшему значению аргумента соответствует меньшеезначение функции. В расчете на худший вариант можно воспользоватьсяформулой (3.2.3). По таблице функции Лапласа (см.
прил., табл. П2)1находим, что 2F(1,65) = 0,95. Поэтому t g =1,65 и 0 < р < 1,65 ×= 0,041.2 400Еще раз подчеркнем, что доверительный интервал (3.2.3) построен врасчете на худший вариант, когда вероятность события близка к 1/2. Нобольшое число опытов ( n = 400 ) и нулевая частота события в нихпозволяют с уверенностью утверждать, что вероятность события близка кнулю.
Если несколько ухудшить статистику испытаний и посчитать что1 399один отказ все-таки наблюдался, то pq »×= 0,0025. Тогда по400 400формуле (3.2.4) получаем приближенный доверительный интервал1 3991 399××11400400400400-1,65< p<+ 1,65400400400400или 0 < р < 0,0066 .
Это приближенный доверительный интервал, но онопределенно более точен, чем грубая оценка по формуле (3.2.3).Ответ. р < 0,0066 .Задача 3.5.1. В серии из n испытаний технического устройства небыло зарегистрировано ни одного отказа. Постройте верхнююдоверительную границу для вероятности отказа при уровне надежности γ.(См. пример 3.5 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 3.5.1.№ n№ n№ n№ n№ nggggg1 100 0,9 7 100 0,95 13 900 0,95 19 625 0,95 25 576 0,952 196 0,95 8 196 0,97 14 100 0,96 20 900 0,90 26 625 0,9618834563245766259000,96 9 256 0,960,97 10 324 0,980,98 11 576 0,990,99 12 625 0,90151617181962563245760,970,980,990,90212223241001962563240,970,980,990,90272829309001001962560,970,980,990,90Задача 3.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
