ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для этого сначала вычислимвероятности, приходящиеся на каждый интервал в соответствии с гипотезой:206æ -10 - 5 öæ -20 - 5 öр1 = Р(–20 < X < –10) F ç =– Fç÷÷=10,610,6èøèø= -F (1,42) + F (2,36) = –0,422 + 0,491 = 0,069;æ0-5öæ -10 - 5 ö– Fçр2 = Р(–10 < X < 0) F ç==÷ -0,1808 + 0, 4222 = 0,241.÷è 10,6 øè 10,6 øАналогично: р3 = Р(0 < X < 10) = 0,362; р4 = Р (10 < X < 20) = 0,242;Р5 = Р(20 < X < 30) = 0,069.Вычисление c 2 удобно вести, оформляя запись в виде таблицы.(ni - npi )22ni - npi(ni - npi )pinpininpi1,9627,045,213,80,069190,7838,44–6,248,20,241420,021,96–1,472,40,362711,2660,847,848,20,241560,233,24–1,823,80,069122S =cв = 4,25.Итак, мера расхождения между гипотезой и опытными даннымиравна cв2 = 4,25.Построим критическую область для уровня значимости b = 0,05.Число степеней свободы для c 2 равно двум. Так как число интерваловравно пяти, а на величины ni наложены три связи: Sni = 200; Х = 5;s 2 = 111,6.
В итоге r = 5 – 3 = 2. Для заданного уровня значимости b и числастепеней свободы r = 2 находим из таблицы распределения c 2 (см. прил.,табл. П4) критическое значение cb2 = 5,99.Критическая область для проверки гипотезы имеет вид [5,99; +¥).Значение cв2 = 4,25 в критическую область не входит. Вывод: гипотезаопытным данным не противоречит.
Меру расхождения cв2 = 4,25 можнообъяснить случайностями выборки.Ответ. Гипотеза опытным данным не противоречит.Задача 3.12. Для данного статистического ряда.1. Постройте гистограмму.2. По виду гистограммы подберите выравнивающую кривую(многоугольник распределения), т.е. выдвинете гипотезу о типе законараспределения случайной величины.
Подберите параметры законараспределения (равные их оценкам на основе опытных данных). Постройтесглаживающую кривую в той же системе координат.2073. С помощью критерия согласия «хи-квадрат» проверьте,согласуется ли данная гипотеза с опытными данными при уровнезначимости b = 0,05.(См. пример 3.12 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 3.12.Вар. 1 Интервалы–25 ÷ –15 –15 ÷ –5 –5 ÷ 55 ÷ 1515 ÷ 25Число набл.131736259Вар. 2 Интервалы–22 ÷ –12 –12 ÷ –2 –2 ÷ 88 ÷ 1818 ÷ 28Число набл.1539904313Вар. 3Вар. 4Вар. 5Вар. 6Вар. 7Вар. 8Вар.
9Вар. 10Вар. 11Вар. 12Вар. 13Вар. 14Вар. 15Вар. 16Вар. 17Вар. 18Вар. 19Вар. 20ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.ИнтервалыЧисло набл.–20 ÷ –10 –10 ÷ 014554÷66÷81225– 20 ÷ –10 –10 ÷ 0923–10 ÷ –6 – 6 ÷ – 21020– 20 ÷ – 10 – 10 ÷ 01025– 10 ÷ – 6 – 6 ÷ – 21221– 20 ÷ – 10 – 10 ÷ 01223– 10 ÷ – 6 – 6 ÷ – 21219–4÷–2–2÷01119–8÷–4–4÷01022–2÷22÷61020–4÷00÷41119–2÷00÷212210÷22÷41219–4÷–2–2÷01022–5÷–3– 3 ÷ –11119–6÷–2–2÷212220÷22÷413212080 ÷ 10688 ÷ 10290 ÷ 1039–2÷2390 ÷ 1033–2÷2330 ÷ 1033–2÷2360÷2390÷4376 ÷ 10394÷8392÷4334÷6370÷237–1÷1392÷6304÷63010 ÷ 204310 ÷ 121910 ÷ 20172÷62210 ÷ 20192÷62310 ÷ 20172÷6232÷4214÷82010 ÷ 14228 ÷ 12214÷6236÷8212÷4201÷3216 ÷ 10266÷82520 ÷ 302012 ÷ 141520 ÷ 30126 ÷ 10920 ÷ 30136 ÷ 101120 ÷ 30156 ÷ 10104÷6108 ÷ 121114 ÷ 18912 ÷ 16106÷8118 ÷ 10114÷6113÷51010 ÷ 14108 ÷ 1011Вар.
21 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 22 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 23 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 24 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 25 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 26 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 27 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 28 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 29 ИнтервалыЧисло набл.Вар. 30 ИнтервалыЧисло набл.–5÷–314–4÷–223–4÷0210÷222–5÷–320– 10 ÷ – 618–6÷–223–8÷–424– 10 ÷ – 612–2÷019–3÷–120–2÷0450÷4462÷445–3÷–146–6÷–245–2÷241–4÷040–6÷–2200÷246–1 ÷ 1300÷2604÷8624÷662–1÷164–2÷2702÷6650÷465–2÷2352÷4741÷3242÷4538 ÷ 12546÷8531÷3542÷6536 ÷ 10554÷8542÷6224÷6383÷5124÷61912 ÷ 16178 ÷ 10183÷5166 ÷ 101410 ÷ 14168 ÷ 12176 ÷ 10116÷823Пример 3.13. В виде статистического ряда приведены сгруппированныеданные о времени безотказной работы 400 приборов.Времяот 500 доот 1000 доот 1500 добезотказнойот 0 до 500100015002000работы в часахЧисло257784916приборовСогласуются ли эти данные с предположением, что времябезотказнойработыприбораимеетфункциюраспределенияF ( x=) 1 – exp(– x / 500) ? Уровень значимости взять, например, равным 0,02.Решение.
Вычислим вероятности, приходящиеся в соответствии сгипотезой на интервалы:р1 = Р(0 < x < 500) F= (500) – =F (0) 1 – е –1 – 1 + е 0 1 –1= / е » 0,6324;р2 = Р(500 < x < 1000) 1 – е –2 - 1=+ е –1 0,3676 – 0,1351=» 0,2325;–3–2р3 = Р (1000 < x < 1500) 1 – е - 1=+ е0,1351 – 0,0499=» 0,0852;р4 = Р(1500 < x < 2000) 1 – е –4 - 1=+ е –3 0,0499 – 0,0182=» 0,0317.Вычислим c 2 .(ni - npi )22ni - npi(ni - npi )pinpininpi2570,6324252,964,0416,320,060,060,232593–152252,4220949160,08520,031734,0812,6814,923,32222,611,026,530,972S =cв = 9,88.Число степеней свободы равно трем, так как на четыре величины niналожена только одна связь Sni = n.
Для трех степеней свободы и уровнязначимости b = 0,02 находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см.прил., табл. П4) критическое значение cb2 = 9,84. Значение cв2 = 9,88 входитв критическую область. Вывод: гипотеза противоречит опытным данным.Гипотезу отвергаем и вероятность того, что мы при этом ошибаемся, равна0,02.Ответ. Гипотеза опытным данным противоречит.Задача 3.13.1. Для изучения потока посетителей в систему массовогообслуживания (например, магазин, сбербанк и т.д.) был произведенхронометраж интервалов между приходами посетителей Результатыизмерений были представлены в виде статистического ряда.Интервалы в(0;2)(2;4)(4;6)(6;8)минутахЧисло наблюденийn1n2n3n4Согласуются ли эти результаты с предположением о том, чтонаблюдался простейший поток событий.
(В простейшем потоке интервалымежду моментами появления событий независимы и имеют показательныйзаконраспределения:F ( x=) 1 – exp{-lx}, x ³ 0, l > 0. )Уровеньзначимости возьмите равным 0,05. (См. пример 3.13 и исходные данные.)У к а з а н и е . Считая представителем каждого интервала егосередину, найдите сначала оценку l на основе результатов наблюдений.Исходные данные к задаче 3.13.1.№№n1n1n2n3n4n2n3n41353917916554229116170481913175492792171675122101645621931819668261018252251141919373259194712605201363718918351241262119669241116541231172216652239158402111823164422410163432599241685021112569934111025177472511157412210112616949201218153261012272101951601761314157052482523261091028293025721218098815433372712109Задача 3.13.2.
В результате n наблюдений случайной величины Xоказалось, что в интервалы ( x0 ; x0 + 2), ( x0 + 2; x0 + 4), ( x0 + 4; x0 + 6),( x0 + 6; x0 + 8), ( x0 + 8; x0 + 10) попало соответственно k1, k2, k3, k4, k5наблюдений. При уровне значимости b согласуются ли эти результаты смнением, что наблюдаемая случайная величина имеет распределениеа +1а æ х0 öПарето с плотностью вероятности f ( x ) = ç ÷ при x0 £ x и f ( x ) = 0х0 è х øпри x < x0 ( a > 0 и x0 > 0 ).
(См. пример 3.13 и исходные данные; x0 ––номер варианта.)У к а з а н и е . Найдите оценку параметра a по методу моментов.Исходные данные к задаче 3.13.2.№ k1 k2 k3 k4 k5 № k1 k2 k3 k4 k5 № k1 k2 k3 k4 k51 34 17 7 9 3 11 47 18 10 8 7 21 134 43 13 9 12 47 25 14 9 5 12 42 30 24 19 15 22 136 39 15 9 13 51 29 15 9 6 13 79 37 19 15 10 23 71 42 29 12 64 41 20 17 12 0 14 217 41 24 11 7 24 126 29 15 9 15 61 24 17 10 8 15 118 45 16 11 10 25 102 40 23 11 46 55 24 14 10 7 16 96 47 28 19 10 26 98 43 31 17 117 47 22 17 12 2 17 61 40 27 22 10 27 128 89 61 34 288 39 26 24 18 13 18 54 29 25 22 20 28 132 46 12 10 09 75 33 19 13 10 19 45 25 18 9 3 29 96 47 28 19 1010 44 22 10 8 6 20 134 42 14 10 0 30 96 47 29 17 11Пример 3.14. Монету подбросили 50 раз. Герб выпал 32 раза.
Спомощью критерия «хи-квадрат» проверить, согласуются ли эти результатыс предположением, что подбрасывали симметричную монету.Решение. Выдвинем гипотезу, что монета была симметричной. Этоозначает, что вероятность выпадения герба при каждом броске равна 1/2. Вописанном опыте герб выпал 32 раза и 18 раз выпала цифра. Вычисляемcв2 .nipinpini - npi(ni - npi )32180,50,525257–749492112(ni - npi )2npi1,961,96S =cв2 = 3,92.Число степеней свободы для c 2 равно r = 2 – 1 = 1, так как слагаемыхдва, а связь на величины ni наложена одна: n1 + n 2 = 50 . Для числастепеней свободы r = 1 и уровня значимости, например, равного b = 0,05находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4), чтоР (c 2 ³ 3,84) = 0,05. Это означает, что при уровне значимости b = 0,05критическую область для величины c 2 составляют значения [3,84; +¥).Вычисленное значение cв2 = 3,92 попадает в критическую область, гипотезаотвергается.
Вероятность того, что мы при таком выводе ошибаемся, равна0,05.Ответ. Предположение о симметричности монеты не согласуется сопытными данными.Задача 3.14. Результаты подбрасывания игрального кубикапредставлены в виде статистического ряда:Грань кубика«1»«2»«3»«4»«5»«6»Число выпаденийν1ν2ν3ν4ν5ν6граниМожно ли считать (при уровне значимости 0,05), что подбрасывалиоднородный и симметричный кубик? (Cм. пример 3.14 и исходныеданные.)Исходные данные к задаче 3.14.№k1k2k3k4k5k6№k1k2k3k4k5k617 30 11 25 15 22 16 21 20 13 17 30 19118 27 23 12 27 13 17 11 21 14 25 19 30226 14 19 11 21 29 18 23 17 21 19 27 13316 28 13 25 20 18 19 20 21 11 31 14 23429 16 21 15 12 27 20 19 24 20 28 17 12517 30 19 21 20 13 21 11 25 25 15 17 30625 19 30 11 21 14 22 23 12 12 27 18 27719 27 13 23 17 21 23 19 11 11 21 26 14831 14 23 20 21 11 24 13 25 25 20 16 28910 28 17 12 19 24 20 25 21 15 15 12 29 1611 25 15 22 17 30 11 26 19 21 21 20 17 3012 18 27 23 12 27 13 27 30 11 11 21 25 1913 26 14 19 11 21 29 28 13 23 23 17 19 2714 16 28 13 25 20 18 29 23 20 20 21 31 1415 29 16 21 15 12 27 30 12 19 19 24 28 17212Пример 3.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
