ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 23
Текст из файла (страница 23)
а) 1/2l; б) 3/2l.Задача 2.77.1. Случайные величины X k , k = 1, 2,¼, n, распределеныравномерно на отрезке [0,a]. Найдите функцию распределения и функциюплотности вероятности случайной величины Y = max{{ X 1 , X 2 ,¼, X n },1£ k £ nсчитая величины Xk независимыми. Вычислите математическое ожидание идисперсию случайной величины Y. Вычислите вероятность P (Y ³ a / 2).(См. пример 2.77 и исходные данные.)Исходные данные к задачам 2.77.1.№ n a № n a № n a № n a № n a № n a1 2 2 6 2 7 11 3 2 16 3 7 21 4 2 26 4 72 2 3 7 2 8 12 3 3 17 3 8 22 4 3 27 4 83 2 4 8 2 9 13 3 4 18 3 9 23 4 4 28 4 94 2 5 9 2 10 14 3 5 19 3 10 24 4 5 29 4 105 2 6 10 3 1 15 3 6 20 4 1 25 4 6 30 5 1Задача 2.77.2.
Случайные величины Хk, k = 1, 2,¼, n, распределеныравномерно на отрезке [0,a]. Найдите функцию распределения и функциюплотности вероятности случайной величины Z = min{{ X 1 , X 2 ,K, X n },1£ k £ nсчитая величины Хk независимыми. Вычислите математическое ожидание и131дисперсию случайной величины Z.
Вычислите вероятность P (Z £ a / 2).(См. пример 2.77 и исходные данные к задаче 2.77.1.)Пример 2.78. Пусть X 1 , X 2 ,K, X n –– последовательность независимыхслучайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределениев интервале (0,1). Пусть Z = min{n : X 1 + X 2 + K + X n ³ 1}. Требуется найтиM ( Z ).Решение. По условию каждая из случайных величин равномернораспределена в интервале (0,1), т.е. имеет функцию распределенияì0 при x < 0;ïF ( x) =P ( X < x )=í x при 0 £ x < 1;ï1 при 1 £ x.îСоответствующая функция плотности вероятности f ( x) = 1 при x Î (0,1) иf ( x ) = 0 при остальных x.
Понятно, что Z принимает значения 2, 3, 4, … .Поэтому¥M ( Z ) = å=kP ( Z= k=) 2 P ( Z2) + 3P=( Z3) + 4 P=( Z4) + 5P=( Zk= 2= P( Z = 2) + P( Z = 3) + P( Z = 4) + P( Z = 5) + K+ P( Z = 2) + P( Z = 3) + P( Z = 4) + P( Z = 5) + K+ P ( Z= 3) + P (=Z 4) + P (=Z 5) + K+ P( Z= 4) + P(=Z 5) + K+ P( Z= 5) + K5) + K =¥= 1 + P( Z ³ 2) + P( Z ³ 3) + P( Z ³ 4) + P( Z ³ 5) + K = 1 + å P ( Z ³ k ) .k= 2ВведемЗаметим, чтообозначениеP ( X 1 + X 2 + K + X n < y )= qk ( y ),0 < y £ 1.P( Z ³ k )= P( X 1 + X 2 + K + X k -1 < 1) = qk (1) .Легко видеть, что q1 ( y ) = P (X 1 < y ) = y. Тогда полная вероятность того,yчто X 1 + X 2 < y равна q2 ( y ) =ò0yyy2f (u )q1 ( y - u ) du = ò1 × ( y - u ) du =. Тогда20y1y321×(yu)du=.
Продолжая рассуждатьò02 ò03!подобным образом, получим рекуррентное соотношение для величин qk ( y ) :q3 ( y ) =f (u )q2 ( y - u ) du =yqk ( y ) = ò f (u )qk -1 ( y - u ) du0132yò=q0k -1( y - u ) du .(2.12.6)y4По формуле (2.12.6) q4 ( y ) =,4!y5q5 ( y ) =5!и т.д. По методуy k -1математической индукции предполагаем, что qk -1 ( y ) =, откуда(k - 1)!yyk( y - u )k -1qk ( y ) = òdu = .(k1)!k!0В итоге получаем, что¥¥1 1 1M ( Z ) = 1 + å P ( Z ³ k =) 1 + å= qk (1) 1 + 1 + + + + ..=. e.2! 3! 4!k =2k =1Ответ. e » 2,7.Задача 2.78. Пусть X 1 , X 2 ,¼, X n –– последовательность независимыхслучайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределениев интервале (0,a).Пусть в нечетных вариантах Z = min{n : X 1 + X 2 + K + X n ³ 2a}.
Вчетных вариантах Z = min{n : X 1 + X 2 + K + X n ³ 3a}.Найдите M ( Z ). (См. пример 2.78, a –– номер варианта.)2.13. Центральная предельная теоремаФормулировка центральной предельной теоремы (для одинаковораспределенных слагаемых).Пусть X 1 , X 2 ,¼, X n –– последовательность независимых одинаковораспределенных случайных величин. Если дисперсии случайных величинконечны и отличны от нуля, то при достаточно больших n законраспределения суммыX 1 + X 2 + ¼+ X nсколь угодно близок к нормальному закону распределения.В условиях теоремы имеет место предельное соотношениеæ nöxç å Х i - nm÷21i =1< x ÷ ¾¾¾®Pçe- t /2 dxn ®¥ò2p -¥ç s n÷ç÷èø2где m = M ( Х i ), D( Х i ) = s .Пример 2.79.
Стрелок в десятку попадает с вероятностью 0,4, вдевятку –– с вероятностью 0,3, в восьмерку –– с вероятностью 0,2, в133семерку –– с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что при 25выстрелах стрелок наберет от 220 до 240 очков?Решение. Пусть при i-м выстреле стрелок выбивает Xi очков.Величины Xi независимы и имеют одно и то же распределениеX78910P0,10,20,30,4Заметим, что M ( X i ) = 7 × 0,1 + 8 × 0, 2 + 9 × 0,3 + 10 × 0,4 = 9, а D ( X i ) == (7 - 9) 2 × 0,1 + (8 - 9) 2 × 0,2 + (9 - 9) 2 × 0,3 + (10 - 9) 2 × 0,4 = 1.25Сумма очков Y = å X i , будучи суммой большого числа независимыхi =1одинаково распределенных слагаемых с ограниченными дисперсиями,имеет закон распределения близкий к нормальному с параметрами25M (Y ) = M=(å= X i )i =125å М (X )i =1i25 × 9 = 225и25D (Y ) = D=(å= Xi)i =125å D( X )i =1i25 × 1 = 25.В итоге Y ~ N (225;25).
Поэтому по формуле (2.9.2)æ 240 - 225 öæ 220 - 225 öP (220 < Y < 240) F ç =÷ - Fç÷=55èøèø= F(3) + F(1)= 0, 4986 + 0,3413=0,8399 » 0,84.Ответ. 0,8399 » 0,84.Задача 2.79. Игральный кубик подбрасывают n раз. Оценитьвероятность того, что суммарное число очков превзойдет 3n + 10. (См.пример 2.79, n –– номер варианта плюс 50.)Пример 2.80. Регулировка прибора занимает время от 4 до 10 мин.Регулировщику предстоит отрегулировать 50 приборов. Считая длякаждого прибора равновозможными все значения времени регулировки вуказанных пределах, оценить вероятность того, что регулировщиксправится с работой за шесть часов.Решение.
Пусть Xi –– время регулировки i-го прибора, аY = X 1 + X 2 + X 3 + ¼+ X 50 –– время выполнения работы рабочим.Требуется найти Р (Y < 360). Величина Y является суммой большого числаодинаково распределенных независимых случайных величин, каждая изкоторых ограничена. По центральной предельной теореме Y имеет законраспределения близкий к нормальному закону распределения. Найдем134параметры этого закона, т.е.
математическое ожидание и дисперсиювеличины Y. Так как случайные величины Xi независимы, тоМ (Y ) = М ( X 1 ) + M ( X 2 ) + ¼ + М ( X 50 )иD (Y ) = D ( X 1 ) + D ( X 2 ) + ¼ + D ( X 50 ).Вычислим М ( X i ) и D ( X i ). По условию все значения случайнойвеличины Xi равновозможны в отрезке [4,10].
Поэтому функция плотностивероятности этой случайной величины в указанном отрезке постоянна.Чтобы площадь, заключенная между графиком функции плотностивероятности и осью абсцисс, равнялась единице, следует положитьf ( x ) = 1 / 6 при х Î [4,10] и f ( x ) = 0 при остальных х. С учетом этогоимеем10М ( X i ) = ò х ×1 / 6dx = 7, D(=X i )410ò ( х - 7)2× 1 / 6dx = 3.4Поэтому М (Y ) = 50 × 7 = 350, D (Y ) = 50 × 3 = 150, s(Y ) » 12, 25.Итак, Y ~ N (350;150).
Для вычисления искомой вероятностивоспользуемся формулой (2.9.2) и таблицей функции Лапласа (см. прил.,табл. П2):æ 360 - 350 öæ 200 - 350 öP (Y < 360) Р (200=< Y < 360) F ç =- Fç÷÷=è 12,25 øè 12,25 ø= F(0,82) + F (12,24)=0,294 + 0,5 » 0,8.Ответ. 0,794 » 0,8.Задача 2.80.1. Регулировка каждого механизма занимает время от aдо b минут. Считая все значения времени регулировки в этом интервалеравновозможными, оценить вероятность того, что для регулировки nмеханизмов рабочему хватит m часов. (См. пример 2.80 и исходныеданные.)Исходные данные к задаче 2.80.1.№ abnm № abnm № abnm128 60 5 11 26 100 7 21 39 60 522 10 50 6 12 37 50 4 22 48 60 7339 50 6 13 37 70 6 23 48 70 6,5448 40 4 14 37 35 3 24 39 55 6528 50 4 15 46 100 8 25 4 10 60 7628 70 6 16 46 35 3 26 59 50 674 10 70 8 17 15 60 3 27 59 70 8826 50 3 18 35 50 3 28 4 10 70 8928 80 6,5 19 37 80 6,5 29 19 50 410 2 12 50 6 20 35 45 3 30 19 70 6135Задача 2.80.2.
Время службы (в часах) каждого предохранителяслучайно и имеет плотность вероятности f ( x ) = 1 – exp{-lx}, x ³ 0.Перегоревший предохранитель практически мгновенно заменяется новым.Оценить вероятность того, что запаса n предохранителей хватит на m часовработы ( l = 0,01 в вариантах 1–10; l = 0,02 в вариантах 11–19; l = 0,03 ввариантах 20–23; l = 0,04 в вариантах 24–30).
(См. пример 2.80 и исходныеданные.)Исходные данные к задаче 2.80.2.m № nm № nm № nm № nm№ n1 25 3000 7 55 6000 13 40 2500 19 70 3500 25 35 10002 30 3000 8 60 6000 14 45 2500 20 30 1000 26 40 10003 35 4000 9 65 7000 15 50 2500 21 45 1500 27 50 13004 40 4000 10 70 7000 16 55 3000 22 65 1750 28 55 15005 45 5000 11 25 1500 17 60 3000 23 75 2000 29 60 15006 50 5000 12 30 1500 18 65 3500 24 25 700 30 70 750Пример 2.81. Жетон для игрального автомата стоит 10 рублей. Прииспользовании одного жетона (в отдельной игре) вероятность не получитьничего равна 0,8, вероятность получить 20 рублей равна 0,15, вероятностьполучения 50 рублей равна 0,04 и вероятность получения 100 рублей равна0,01.
Игрок купил жетонов на 1000 рублей. Какова вероятность того, чтоигрок не окажется в проигрыше?Решение. Игрок купил 1000 :10 = 100 жетонов. Результат каждой игры(использование одного жетона) является случайной величиной Xi с закономраспределенияXi–10104090P0,80,150,040,01Выигрыш указан с учетом стоимости жетона.Результат 100 игр обозначим через Y = X 1 + X 2 + K + X 100 . ВеличинаY является суммой большого числа одинаково распределенныхнезависимых случайных величин, каждая из которых ограничена.
Поцентральной предельной теореме Y имеет закон распределения близкий кнормальному закону распределения. Найдем параметры этого закона, т.е.математическое ожидание и дисперсию величины Y. Так как случайныевеличины Xi независимы, тоМ (Y ) = М ( X 1 ) + М ( X 2 ) + ¼+=М ( X 100 ) и D(Y ) D( X 1 ) + D( X 2 ) + ¼+ D( X 100 ).Так какМ ( X i ) = -10 × 0,8 + 10 × 0,15 + 40 × 0,04 + 90 × 0,01=-2,а D( X i ) = (-10 + 2) 2 × 0,8 + (10 + 2) 2 × 0,15 + (40 + 2) 2 × 0,04 + (90 + 2) 2 × 0,01= 228,то М (Y ) = -2 × 100=-200, D(Y ) = s2 (Y )= 228 ×100 = 22800, s(Y ) » 151.136Итак, Y имеет примерно нормальный закон распределенияN (-200; 22800). Игрок не окажется в проигрыше, если Y ³ 0. По формуле(2.9.2) имеемæ 9000 - (-200) öæ 0 - (-200) öP (Y ³ 0) P(0 £ Y £=9000) F ç =÷ - Fç÷=151151èøèø= F (61) - F (1,32) 0,5 – =0,4066 » 0,09.Ответ.
» 0,09.Задача 2.81. Лотерейный билет стоит 20 рублей. С вероятностью p1билет окажется без выигрыша, с вероятностью p2 на билет выпадетвыигрыш ценой 100 рублей и с вероятностью p3 билет выиграет выигрышценой 200 рублей. Какова вероятность остаться в проигрыше, еслиприобрести n билетов? (См.
пример 2.81 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.81.n № p1 p2 p3n № p 1 p2 p3n№ p 1 p2 p 31 0,9 0,08 0,02 20 11 0,9 0,06 0,04 25 21 0,9 0,08 0,02 452 0,9 0,07 0,03 60 12 0,9 0,09 0,01 40 22 0,9 0,07 0,03 303 0,9 0,06 0,04 20 13 0,9 0,08 0,02 35 23 0,9 0,06 0,04 454 0,9 0,09 0,01 50 14 0,9 0,07 0,03 40 24 0,9 0,09 0,01 355 0,9 0,08 0,02 30 15 0,9 0,06 0,04 35 25 0,9 0,08 0,02 506 0,9 0,07 0,03 50 16 0,9 0,09 0,01 20 26 0,9 0,07 0,03 257 0,9 0,06 0,04 30 17 0,9 0,08 0,02 40 27 0,9 0,06 0,04 508 0,9 0,09 0,01 45 18 0,9 0,07 0,03 35 28 0,9 0,09 0,01 309 0,9 0,08 0,02 25 19 0,9 0,06 0,04 40 29 0,9 0,08 0,02 6010 0,9 0,07 0,03 45 20 0,9 0,09 0,01 25 30 0,9 0,07 0,03 20Пусть k / n –– частота появлений события в n независимых опытах, вкаждом из которых вероятность появления события равна р ( 0 < р < 1 ).Тогда при достаточно больших n (порядка десятков, сотен и т.д.) длялюбого 0 < a имеют место следующая формулаæöç a ÷÷,P (| k / n – р |< a) » 2F ç(2.13.1)ç pq ÷ç÷è n øгде Ф –– функция Лапласа.Пример 2.82.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
