ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 19
Текст из файла (страница 19)
результатi-й игры можно охарактеризовать случайной величиной Xi, которая имеетзакон распределенияXi–11PqpПусть S –– результат n игр, т.е. S = X 1 + X 2 + K + X n . Требуется найтиM ( S ), D ( S ) и s( S ).Решение. По свойству математических ожиданийM ( S ) = M ( X 1 + X 2 + K + X n=) M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + K + M ( X n ).Так как M ( X i )= (-1) × q + 1 × p= p – q, то M ( S )= n( p – q). В силунезависимости случайных величин XiD( S ) = D( X 1 + X 2 + K + X n=) D ( X 1 ) + D ( X 2 ) + K + D ( X n ).Так как M ( X i 2 )= (-1) 2 q + 12 × p= p + q= 1, то D( X i )= 1 – ( p – q) 2== (1 - p + q )(1 + p =– q) 2q × 2p= 4 pq. Поэтому D ( S )= 4npq и s( S )==D ( S )= 2 npq .Ответ. M ( S )= n( p – q); D ( S )= 4npq; s( S )= 2 npq .Задача 2.61.
Частица в начальный момент времени находится вначале координат на числовой оси. В каждую из последующих секундчастица перемещается на две единицы вправо с вероятностью p или наединицу влево с вероятностью q = 1 – р. Пусть S –– положение (координата)частицы через n секунд. Найдите M ( S ), D ( S ) и s( S ). (См. пример 2.61,величину p возьмите из исходных данных к задаче 2.18.1.)III.
Рассмотрим монотонную функцию от непрерывной случайнойвеличины Х. Предположим, что функция h ( x ) монотонна и непрерывнавместе со своей производной в области возможных значений случайнойвеличины Х. Пусть Х имеет непрерывную функцию плотности вероятностиf ( x ), а величина Н = h( Х ) имеет непрерывную функцию плотностивероятности g (h), которую предстоит найти.105x +DxДля малых Dх вероятность Р ( х < X < x + Dх)=ò f (t ) dt » f ( x) Dх.xСоответственно Р (h < H < h + Dh ) º g (h)Dh. Функция h ( x ) монотонна,поэтому каждый интервал ( х, х + Dх) отображается взаимно однозначно нанекоторый интервал (h, h + Dh) (см.
рис. 2.11.1).Рис. 2.11.1Значит, события х < X < x + Dх и h < H < h + Dh эквивалентны ивероятности этих событий равныР( х < X < x + Dх) = Р(h < H < h + Dh).(2.11.1)Поэтому f ( x)Dх » g (h)Dh. Последнее равенство в пределе при Dх ® 0становится точным равенствомf ( x)dх = g (h)dh.(2.11.2)Из дифференцируемости и монотонности функции h = h( х) следуетсуществование обратной функции х = х (h). Подставляя эту функцию и ееdx(h)дифференциал dx =dh в равенство (2.11.2), получимdhdx (h)f [ x(h)]dh = g (h)dh.(2.11.3)dhЗнак модуля взят потому, что в левой части равенства (2.11.3) стоитнеотрицательная величина, а производная функции х (h) может оказатьсяотрицательной.
Сравнивая левую и правую части равенства (2.11.3),приходим к выводу, чтоdx(h)g (h) = f [ x(h)],(2.11.4)dh106Пример 2.62. Прямая линия вращается в плоскости и ось еевращения находится в точке с координатами (0,1). Прямая приводится вовращение, которое останавливается под действием сил трения. Приостановке равновозможно любое положение прямой, т.е.
угол Х (рис.2.11.2) имеет равномерное распределение в отрезке [0, p]. Найти законраспределения точки пересечения прямой с осью абсцисс.Решение. Обозначим координату точки пересечения прямой с осьюабсцисс через Н. Очевидно, что Н является функцией от Х. Из рис. 2.11.2видно, что значения случайных величин Х и Н связаны соотношениемdx1h = ctg( x ) или x = arcсtg h . Откуда=.dh1 + h2Рис. 2.11.2Случайная величина Х равномерно распределена в отрезке [0, p] сплотностью вероятности f ( x ) = 1 / p при 0 £ х £ p и f ( x ) = 0 при11остальных х.
Из формулы (2.11.4) имеем g (h) = ×. Это плотностьp 1 + h2вероятности закона распределения Коши.11Ответ. g (h) = ×.p 1 + h2Задача 2.62. Через точку A(a, b) наугад проведена прямая. Всеположения прямой равновозможны. Найдите распределение точкипересечения этой прямой: а) с осью ОX; б) с осью ОY. (См. пример 2.62 иисходные данные.)Исходные данные к задаче 2.62.№ a b № a b № a b № a b № a b № a b1 2 4 6 3 6 11 4 7 16 4 10 21 5 6 26 8 22 2 5 7 3 7 12 4 8 17 4 3 22 6 2 27 8 33 2 6 8 3 8 13 2 7 18 5 2 23 6 3 28 8 4107453345910445614151422192055332425664529308164Пример 2.63.
В точке А(0,0,1) на вертикальной оси находитсяисточник корпускулярного излучения. (Траектории частиц, вылетающих източки А, –– прямые линии.) Полагаем интенсивность излучения по всемнаправлениям одинаковой. Требуется найти распределение расстояния отначала координат до точки попадания частицы в горизонтальнуюплоскость. Требуется найти также вероятность попадания частицы в кругна горизонтальной плоскости радиусом r = 1 с центром в началекоординат.Решение. Пусть r –– расстояние от начала координат до точкипопадания частицы в горизонтальную плоскость. Для угла X (см. рис.2.11.3) равновозможны все значения в отрезке [0, p / 2].Рис.
2.11.3ПоэтомувероятностислучайнаявеличинаXимеетфункциюплотностиì2 / p при x Î [0, p / 2],f ( x) = íî0 при остальных x.rЗаметим, что= tg X . Так как обратная функция имеет вид1x = x(r) arctg= r, то по формуле (2.11.4)21g (r) = ×.p 1 + r2Вероятность попадания частицы в круг на горизонтальной плоскостирадиусом r = 1 с центром в начале координат равна112 dr22æpö 1P (r < 1) =ò g (r) d r =ò = 2arctg r 10 = ç - 0 ÷ = .p 0 1+ rppè 4ø 20108121Ответ. g (r) = ×; .2p 1+ r 2Задача 2.63.
В точке А(0,0, a ) на вертикальной оси находитсяисточник корпускулярного излучения. (Траектории частиц, вылетающих източки А, –– прямые линии.) Полагая интенсивность излучения по всемнаправлениям одинаковой, найдите распределение расстояния от началакоординат до точки попадания частицы в горизонтальную плоскость.Найдите вероятность попадания частицы в кольцо на горизонтальнойплоскости с центром в начале координат и внутренним радиусом a ивнешним радиусом a 3 . (См. пример 2.63, a –– номер варианта.)Пример 2.64.
Пусть Х ~ N (0,1), а Н = аХ + b, где a и b –– некоторыепостоянные. Найти закон распределения случайной величины Н.h–bdx (h) 1Решение. Из равенства х =получаем, что= . Так какadhа2ì х ü1exp í - ý , то по формуле (2.11.4) имеемf ( x) =2pî 2þì ( h - b) 2 ü 11exp í g ( h) =ý .2s 2 þ a2pîЗначит Н ~ N (b, a 2 ) при х Î (-¥; ¥).Ответ. N (b, a 2 ).Задача 2.64. Случайная величина X имеет плотность вероятностиf ( x ).
Случайная величина H = aX + b. Найдите плотность вероятностислучайной величины H.x+2В 1–6 вариантах f ( x) =при x Î [–2,2] и f ( x ) = 0 при остальных81x; в 7–12 вариантах f ( x ) =(закон распределения Коши); в 13–18p(1 + x 2 )1(закон распределения арксинуса); в 19–24вариантах f ( x ) =p 1 - x22– xвариантах f ( x) = 0,5e -|x| ; в 25–30 вариантах f ( x) =при x Î [–2,2] и8f ( x ) = 0 при остальных x. (См. пример 2.64, величины a и b возьмите изисходных данных к задаче 2.62.)IV. Если функция h ( х ) немонотонна, то вместо исходного равенства(2.11.1) имеем равенство (см. рис.
2.11.4)109Р (h < H < h + Dh) = Р ( х1 < X < x1 + Dх1 или х2 < X < x2 + Dх2 или= K)= Р( х1 < X < x1 + Dх1 ) + Р( х2 < X < x2 + Dх2 ) + K .Каждое слагаемое в этом равенстве соответствует отдельномуинтервалу монотонности функции h ( х ) . Повторяя рассуждения пункта IIIдля каждого интервала монотонности, можно показать, чтоdx (h)dx (h)dx (h)g (h) = f [ x1 (h)] 1+ f [ x2 (h)] 2+ K + f [ xm (h)] m,(2.11.5)dhdhdhгде x1 (h), x2 (h),¼ –– функции, обратные к h ( х ) на соответствующихинтервалах монотонности.Рис.
2.11.4Пример 2.65. Случайная величина X имеет плотность вероятности1f ( x) =. Найти плотность вероятности случайной величиныp(1 + x 2 )H = X 2.Решение. Функция h = x 2 немонотонная. На интервале (-¥;0) онаубывает, а на интервале (0, ¥) возрастает. Обратные функции имеют видсоответственно x = - h и x = h . В соответствии с формулой (2.11.5) имеем1-1111+=g ( h) =при h ³ 0.p(1 + h) 2 h p(1 + h) 2 h p h (1 + h)1Ответ.
g (h) =при h ³ 0.p h (1 + h)Задача 2.65. Случайная величина X имеет плотность вероятностиf ( x ). Случайная величина H = j( x). Найдите плотность вероятности110x+2при x Î [–2,2] и8f ( x ) = 0 при остальных x, а j( x) =exp{- a | x |} . В 7–12 вариантах1f ( x) =при x Î (–1;1), и f ( x ) = 0 при остальных x (законp 1 - x23(a 2 - x 2 )2распределения арксинуса), j( x) = ax . В 13–18 вариантах f ( x ) =4a 3при x Î (-a; a ) и f ( x ) = 0 при остальных x, j( x) = x 2 . В 19–24 вариантах2– xf ( x) = 0,5e -|x| , а j( x) = ax 2 . В 25–30 вариантах f ( x) =при x Î [–2,2] и8f ( x ) = 0 при остальных x, j( x) = ax 2 . (См.
пример 2.69 и исходныеданные.)Исходные данные к задаче 2.65.№ a № a № a № a № a № a № a № a № a № a1 2 4 3 7 1 10 16 13 1 16 4 19 1 22 16 25 1 28 162 1 5 6 8 4 11 25 14 2 17 5 20 4 23 25 26 4 29 253 4 6 5 9 9 12 36 15 3 18 6 21 9 24 36 27 9 30 36случайной величины H. В 1–6 вариантах f ( x) =V. Рассмотрим смешанную случайную величину Х, функцияраспределения которой имеет точки разрыва х1 , х2 ,¼, хm со скачкамисоответственно р1 , р2 ,K рm . Это означает, что Х, помимо возможныхзначений нулевой вероятности, имеет значения х1 , х2 ,¼, хm с отличными отнуля вероятностями р1 , р2 ,K рm .В этом случае плотность распределения вероятностей в точкахх1 , х2 ,¼, хm обращается в бесконечность, т.е. формально не существует.
Этутрудность можно обойти, если воспользоваться дельта-функцией d( x ),которая понимается как производная (в обобщенном смысле) от функцииединичного скачка h( x) = 0 при х £ 0 и h( x) = 1 при х > 0 . Наглядно d( x)можно представить себе плотностью распределения «масс», при которой вточке х = 0 сосредоточена единичная масса, а масса во всех остальныхточках равна нулю. Поэтому¥ò j( х)d(=х)dxj(0)-¥для всех непрерывных функций.Функцию распределения смешанной случайной величины можноразложить на непрерывную и скачкообразную компоненты:mF ( x) = F% ( x ) + å pk h( x - xk ) ,k =1111где F% ( x) –– непрерывная функция, которая не убывает и изменяется от 0mmk =1k=1до 1 – å pk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
