ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 15
Текст из файла (страница 15)
M ( X=) 6, 4.Задача 2.44. Имеется N фишек, занумерованных числами 1, 2, 3, …,N. Наугад без возвращений извлекают n фишек.В нечетных вариантах: X –– наибольший номер в выборке.В четных вариантах: X –– наименьший номер в выборке.Найдите закон распределения случайной величины X и еематематическое ожидание. (См. пример 2.44 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.44.№ N n № N n № N n № N n № N n № N n1 8 4 6 9 5 11 10 7 16 10 6 21 11 8 26 12 82 8 5 7 9 5 12 10 5 17 11 6 22 11 8 27 12 93 9 6 8 9 4 13 10 6 18 11 6 23 12 7 28 12 94 8 4 9 9 4 14 10 7 19 12 7 24 12 7 29 13 95 8 5 10 9 6 15 10 5 20 12 7 25 12 8 30 13 10Пример 2.45.
Пусть в урне находится M белых шаров и R черных. Изурны наугад выбирают один шар. После установления его цвета в урнудобавляют k + 1 шар того же цвета (т.е. выбранный шар возвращают в урнуи к нему добавляют еще k шаров того же цвета). Затем выбирают из урнывторой шар и в урну возвращают k + 1 шар такого же цвета, что и второй81шар. Потом выбирают очередной шар и т.д. Всего производят выбор идобавление шаров n раз.Обозначим через X число белых шаров, выбранных из урны впроцессе этих n испытаний. Требуется найти закон распределенияслучайной величины X и ее математическое ожидание.Решение.
Заметим, что X принимает значения 0, 1, 2, 3, …, n.Вычислим P ( X = m).Рассудим следующим образом. После каждого опыта число шаров вурне возрастает на k. Первый шар выбирается из N = M + R шаров, выборвторого возможен из N + k шаров, третий шар можно выбрать из N + 2kшаров и т.д., для n-го шара имеется N + (n - 1)k возможностей выбора.Поэтому число всех возможных исходов этих n опытов по комбинаторномупринципу равноN ( N + k )( N + 2k ) ×¼× ( N + ( n - 1) k ).Если белый шар был выбран m раз, то первый их них выбирался из Mшаров, второй –– из M + k шаров, третий –– из M + 2k и т.д., m-й белыйшар можно было выбрать из M + (m - 1)k шаров.
По комбинаторномупринципуmбелыхшаровможнобыловыбратьM ( M + k )( M + 2k ) ×K × ( M + ( m - 1) k ) способами.Аналогично n – m черный шар можно было выбрать R( R + k ) ××( R + 2k ) × K × ( R + (n – m - 1) k ) способами. Тогда выбрать m белых и n – mчерных шаров в любой последовательности можно было M ( M + k ) ××( M + 2k ) × K × ( M + (m - 1)k ) R( R + k )( R + 2k ) × K × ( R + ( n – m - 1) k )способами.Различимых последовательностей в чередовании белых и черныхшаров существует Cnm , именно таким числом способов можно из n опытоввыбрать различных m и в них получить белые шары. ПоэтомуP ( X = m) =(2.8.6)M ( M + k )( M + 2k )K( M + ( m - 1) k ) R( R + k )( R + 2k )K ( R + ( n - m - 1) k )= Cnm.N ( N + k )( N + 2k )K ( N + (n - 1) k )Закон распределения случайной величины X со значениями 0, 1, 2, 3,…, n и вероятностями этих значений P ( X = m), определяемыми поформуле (2.8.6), называют законом распределения Полиа.Замечание.
Если в распределении Полиа k = 0 , то получимнезависимые опыты и формула (2.8.5) переходит в формулу Бернулли(2.6.1). Если же k = -1, то это означает, что выбранный шар в урну невозвращается и новых шаров в урну не добавляется. Мы попадаем вусловия бесповторного выбора. В этом случае формула (2.8.5) переходит вформулу (2.1.1).82Задача 2.45. Пусть в урне находится M белых шаров и R черных. Изурны наугад выбирают один шар. После установления его цвета в урнудобавляют k + 1 шар того же цвета (т.е.
выбранный шар возвращают в урнуи к нему добавляют еще k шаров того же цвета). Затем выбирают из урнывторой шар и в урну возвращают k + 1 шар такого же цвета, что и второйшар. Потом выбирают очередной шар и т.д. Всего производят выбор идобавление шаров n раз.а) Найдите закон распределения случайной величины X, равнойчислу белых шаров выбранных из урны в процессе этих n испытаний.Найдите M(X).б) Напишите закон распределения и найдите соответствующеематематическое ожидание для случаев k = 0 и k = -1.(См. пример 2.45 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.45.№ M R n k № M R n k № M R n k № M R n k1 3 2 4 1 9 4 2 4 1 17 4 2 3 2 25 5 2 3 12 2 3 4 1 10 2 4 4 1 18 2 4 3 2 26 2 5 3 13 3 2 5 1 11 4 2 5 1 19 4 2 4 2 27 6 2 3 14 2 3 5 1 12 2 4 5 1 20 2 4 4 2 28 2 6 3 25 3 2 3 1 13 4 3 3 1 21 4 2 5 2 29 6 2 4 26 2 3 3 1 14 3 4 3 1 22 2 4 5 2 30 2 6 4 27 4 2 3 1 15 4 3 4 1 23 3 1 3 1 31 3 2 4 18 2 4 3 1 16 3 4 4 1 24 1 3 3 1 32 2 3 4 1Рассмотрим серию опытов, которые производятся в неодинаковыхусловиях и поэтому вероятность появления события A меняется от опыта копыту.
Например, во время боя из-за сближения или удаления противникавероятность поражения цели при выстреле меняется от выстрела квыстрелу.Обозначим через pi –– вероятность появления события A в i-м опыте,а вероятность непоявления события через qi = 1 – pi . Требуется найтивероятность Pnm того, что в результате n опытов событие A появится m раз.Можно, как и при выводе формулы Бернулли (2.6.1), моделироватьрезультаты n опытов с помощью m букв A и n – m букв А .
Различимыхперестановок таких букв будет Cnm = Cnn -m . Именно таким числом способовможно из n мест выбрать m и поставить на них буквы A, а на остальные ––буквы А .Каждая перестановка этих букв соответствует определеннойпоследовательности появлений и непоявлений события A. К сожалению, внашем случае перестановки не равновозможны и суммировать их83вероятности трудоемко. Вместо утомительного перебора возможныхкомбинаций букв поступим следующим образом. Составим функциюnY n ( z ) (=q1 + p1 z )(q2 + p2 z )¼(qn + pn z ) =Õ (qi + pi z ),i =1где z –– некоторая действительная переменная.Если перемножить скобки, привести подобные и упорядочить их постепеням z, то получим многочлен по степеням z. Легко понять, что прикаждой степени zn будет коэффициент в виде произведения m букв p иn – m букв q с какими-то индексами, а после приведения подобныхполучится коэффициент, который будет равен сумме всех подобныхпроизведений, т.е.
равный Pnm .Пример 2.46. С разных расстояний производится четыре независимыхвыстрела по одной и той же цели. Вероятности попадания в цель при этихвыстрелах равны соответственно 0,1; 0,2; 0,4; 0,8. Найти распределениячисла попаданий и математическое ожидание этого числа.Решение. Обозначим число попаданий в цель через X . Запишемпроизводящую функциюY n ( z ) =(q1 + p1 z )(q2 + p2 z )¼(qn + pn z ) == (0,9 + 0,1z )(0,8 + 0,2z )(0,6 + 0,4z )(0,2 + 0,8z ) == 0,0864 + 0,4344z + 0,3784z 2 + 0,0944z 3 + 0,0064z 4 .Итак, случайная величина X имеет распределение:X01234P0,08640,43440,37840,09440,0064M ( X=) 1 × 0,4344 + 2 × 0,3784 + 3 × 0,0944 + 4 × 0,0064= 1,5.Заметим, что M ( X ) можно вычислить непосредственно (не находяпредварительно закона распределения).
Представим число попаданий ввиде X = J1 + J 2 + J 3 + J 4 , где Ji –– число попаданий при i-м выстреле.ТогдаM ( X ) = M ( J1 ) + M ( J 2 ) + M ( J 3 ) + M ( J 4 ).Но M ( J i ) = 0 × qi + 1 × pi = pi . Поэтому M ( X ) = p1 + p2 + p3 + p4 = 0,1 + 0,2 ++0,4 + 0,8 = 1,5.Ответ. M ( X ) = 1,5.Задача 2.46.
Вероятности попадания в цель при выстреле для трехстрелков равны соответственно p1, p2, p3. Написать закон распределениячисла попаданий в цель и найти математическое ожидание этого числа,если каждый стрелок сделал по одному выстрелу. (См. пример 2.46;значения p1, p2, p3 взять из условий задачи 2.19.1.)84Пример 2.47. На круговом экране локатора равновозможнопоявление пятна в каждой точке экрана.
Радиус экрана равен R. Найтизакон распределения расстояния от центра экрана до пятна. Найтиматематическое ожидание и дисперсию этого расстояния.Решение. Обозначим через Х расстояние от центра экрана до пятна.Это расстояние будет меньше х, если пятно попадет внутрь круга радиусаx. Вероятность этого по геометрическому определению вероятности равнаотношению площади круга радиуса х к площади всего экрана локатора.Поэтому функция распределения случайной величины Х имеет видp x 2 x2F ( x) = 0 при х £ 0 , F ( x) = P( Х < x) = 2 = 2 при 0 < х £ R и F ( x) = 1pRR2xпри R < х .
Тогда функция плотности вероятности f ( x) = 2 при 0 < х < R , аR2RR2x2RR22R ö 2xæ=М ( Х ) = ò x 2 dx =и D(Х) = D ( Х ) = ò ç x dx.÷ 2RR3318èø00Ответ. М ( Х ) = 2R / 3 ; D( Х ) = R 2 / 18.Задача 2.47. Зона ответственности локатора определяется в полярныхкоординатах неравенствами j1 £ j £ j2 и r1 £ r £ 100 . В случайной точкезоны ответственности может появиться цель. Расстояние ее от локатора ––случайная величина Х. Считая равновозможными все положения цели в зонеответственности, найдите функцию распределения случайной величины Х и еефункцию плотности вероятности.
Найдите математическое ожидание идисперсию этой случайной величины. (См. пример 2.47 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.47.№j1j2r1№j1j2r1№j1j2r110p/401103p/4 10210p3020p/2012p/4p1022p/4 3p/4 3030p0130p/4202303p/4 304p/4 3p/40140p/22024p/4p30503p/40150p/620250p/4406p/4p016p/4 3p/4 20260p/24070p/4101703p/4 20270p4080p/21018p/4p202803p/2 4090p10190p/430290p/25010p/4 3p/4 10200p/230300p/450Пример 2.48.
Случайная величина X имеет функцию распределенияì0 при x < 0;ï= x Î [0,6];F ( x ) = P ( X < x ) í x 2 / 36 приï1 при x > 6.îНайти M ( X ) , D ( X ) , P ( X < 4) , P (2 < X < 5) , P ( X > 3) .85Решение. Найдем сначала функцию плотности вероятностиì0 при x < 0;ïf ( x ) = F ¢( x ) í x / 18 = при x Î [0,6];ïî0 при x > 6.66xx2Тогда M ( X ) = ò x dx = 4 , M ( X ) = ò x 2 dx = 18.
Поэтому D( X ) = M ( X 2 ) 181800- [ M ( X )]2 = 2.С учетом определения и свойств функции распределения F ( x) имеемP ( X < 4) = F (4)= 4 / 9; P(2 < X < 5) = F (5)= –F= (2) 25 / 36 – 4 / 36 7 / 12;P ( X > 3) = 1 – P ( X < 3) = 1 - F (3)= 1= – 9 / 36 3 / 4.(В последнем случае учтено, что P ( X = 3) = 0 в силу непрерывностислучайной величины X.Ответ. M ( X ) = 4; D ( X ) = 2; P ( X < 4) = 4 / 9; P (2 < X < 5) = 7 / 12;P( X > 3) = 3 / 4.Задача 2.48.1.
Случайная величина X имеет функцию распределенияì0 при x < a;ïF ( x) = í х - a при x Î [a, a + 1];ï1 при x > a + 1.îНайдите M ( X ) , D ( X ) , P ( X < a + 1 / 9), P (a + 1 / 16 < X < a + 1 / 4),P ( X > 1 / 4). (См. пример 2.48; a –– номер варианта.)Задача 2.48.2. Случайная величина X имеет функцию распределенияì0 при x < 0;ïï 4(ax - x 2 )при x Î [0, a / 2];F ( x) = í2aïïî1 при x > a / 2.Найдите M ( X ) , P ( X < a / 4 ) , P ( a / 8 < X < a / 4 ) . (См. пример 2.48; a ––номер варианта).Задача 2.48.3. Случайная величина Х имеет распределение Парето са +1а æ х0 öплотностью вероятности f ( x ) = ç ÷ при х0 £ х и f ( x ) = 0 при х < х0 ,х0 è х ø( а > 0 и х0 > 0 ). Найдите M ( X ) и Р ( х0 £ х < х0 + а ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
