ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для непрерывной случайнойвеличины вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю.Сходная ситуация в геометрии. Геометрическая точка не имеет размера, асостоящий из точек интервал имеет отличную от нуля длину. Так и длянепрерывной случайной величины: одно отдельно взятое значение имеетнулевую вероятность, хотя и является возможным значением, и толькоинтервалы значений имеют отличную от нуля вероятность.График функции распределения одной из непрерывных случайныхвеличин изображен на рис. 2.8.2.Рис. 2.8.269Функцию распределения можно задать и для непрерывной и длядискретной случайной величины.
Для дискретной случайной величиныфункция распределения представляет собой, как это следует изопределения, функцию накопленных вероятностей:F ( x) = SР( Х = хi ),где суммирование распространяется на все значения индекса i, длякоторых хi < x.Если дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:хkLLрkLLто ее функция распределения имеет вид ступенчатой функции, причемскачки функции равны вероятностям соответствующих значений Х (рис.2.8.3).ХРх1р1х2р2х3р3Рис. 2.8.3Функция распределения непрерывной случайной величинынепрерывна, для дискретной случайной величины она представляет собойступенчатую функцию. Можно привести примеры таких случайныхвеличин, функция распределения которых вместе с участкаминепрерывного роста в некоторых точках имеет разрывы.
Такие величиныназывают смешанными случайными величинами. Примером смешаннойслучайной величины может служить время ожидания у светофора. Пусть,например, равновозможно прибытие автомобиля к перекрестку в любоймомент цикла работы светофора (рис. 2.8.4). Найдем функциюраспределения времени ожидания автомобиля.Рис. 2.8.470Обозначим время ожидания у светофора через Х.
Этонеотрицательная случайная величина. Вероятность того, что времяожидания будет меньше х, равна вероятности прибыть к светофору вмомент времени из интервала (А,В). Поэтому F ( x) = P( Х < x ) = ( x + 30) / 70при 0 < х < 40 и F ( x) = 1 при х ³ 40 . Функция распределения времениожидания изображена на рис. 2.8.5. Из графика функции распределениявидно, что нулевое время ожидания, имея вероятность 3/7, соответствуетточке скачка функции, равного этой величине.Рис.
2.8.52.8.3. Функция плотности вероятностиxЕсли функция распределения представима в виде F ( x) =òf ( x)dx ,-¥где функция f ( x) ³ 0, то подынтегральную функцию f ( x) называютфункцией плотности вероятности. Если функция распределениядифференцируема, то функцией плотности вероятности f ( x) называетсяпервая производная от функции распределения F ( x) , т.е. f ( x) = F ¢( x).Заметим, чтоР ( a < X < b)F (b) =– F (a )bbaaò F=¢( x) dx ò f=( x) dx.Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величиныв интервал (a, b) численно равна площади криволинейной трапеции,которая опирается на этот интервал и ограничена сверху кривой f ( x) (рис.2.8.6).71Рис. 2.8.6Свойства функции плотности вероятности.1.
f ( x ) ³ 0.¥2.òf ( x)dx = Р(-¥ < X < ¥) = 1.-¥Последнее условие называется условием нормировки. Геометрическиэто условие означает, что площадь, заключенная между осью абсцисс играфиком функции плотности вероятности, равна единице.По функции плотности вероятности f ( x) можно найти функциюраспределения случайной величины:xF ( x) = Р( Х < х) = Р( -¥ < X < x ) =òf ( x) dx. .-¥2.8.4. Числовые характеристики случайных величинЧисла, назначение которых указывать основные особенностислучайных величин, называются числовыми характеристиками.Определение.
Математическим ожиданием (или средним значением)дискретной случайной величины Х называется числоМ ( X ) = å хi pi ,(2.8.2)iравное сумме произведений возможных значений хi на соответствующиеим вероятности pi. Если дискретная случайная величина имеет бесконечномного значений, то требуется абсолютная сходимость ряда (2.8.2). Еслиряд (2.8.2) не сходится абсолютно, то математическое ожидание такойслучайной величины не существует.Математическим ожиданием непрерывной случайной величины,имеющей функцию плотности вероятности f ( x) , называется число72+¥М (X ) =ò xf ( x)dx ,(2.8.3)-¥если интеграл абсолютно сходится. Если интеграл (2.8.3) не сходитсяабсолютно, то говорят, что математическое ожидание не существует.Свойства математического ожидания.1.
Математическое ожидание постоянной равно самой этойпостоянной, т.е. М (C ) = С × 1 = С.2. Математическое ожидание суммы любого конечного числаслучайных величин равно сумме их математических ожиданий.3. Математическое ожидание произведения любого конечного числавзаимно независимых случайных величин равно произведению ихматематических ожиданий.Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знакматематического ожидания.Определение. Дисперсией случайной величины X называетсяматематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от еематематического ожидания:D( X ) = M [ X - M ( X )]2 .(2.8.4)Для вычисления дисперсии иногда удобно использовать другую формулу:D( X ) = M [ X 2 ] - [ M ( X )]2 ,(2.8.5)т.е.
дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайнойвеличины минус квадрат ее математического ожидания:Свойства дисперсии.1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D (C ) = 0.2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии свозведением в квадрат, т.е. D(CX ) = C 2 D( X ), где C –– постоянная величина.Определение.
Центрированной случайной величиной называетсяотклонение случайной величины от ее математического ожидания:oX = X – M ( X ).Центрированные случайные величины удобно использовать впреобразованиях, так какoM ( X ) = M ( X – M ( X )) = M ( X ) – M ( X ) = 0;oM ( X )2 = M [ X – M ( X )]2 = D( X ).3. Если случайные величины Х и Y независимы, тоD( X ± Y ) D=( X ) + D (Y ).734. Если случайные величины Х и Y независимы, тоD( XY ) = D( X ) D (Y ) + D( X )[ M (Y )]2 + D (Y )[M ( X )]2.Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Этолишает наглядности дисперсию как числовую характеристику. Поэтому дляхарактеристики разброса значений случайной величины используют среднееквадратическое отклонение, которое равно положительному значению корняквадратного из дисперсии: s( X )= D ( X ) .
Среднее квадратическоеотклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.Пример 2.36. Некто носит на связке пять ключей. При отмыканиизамка он последовательно испытывает ключи, пока не подберет нужный.Полагая выбор ключей бесповторным, написать закон распределения числаиспытанных ключей. Вычислите математическое ожидание этой случайнойвеличины.Решение. Обозначим через X –– число испытанных ключей.
Так каквыбор ключей бесповторный, то X может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5.Случайная величина X примет значение x1 = 1, если с первой попыткибудет выбран нужный ключ, вероятность чего равна 1/5 в силуравновозможности выбора любого из ключей. Значение x2 = 2 случайнаявеличина примет, если при первой попытке ключ будет выбран ошибочно(вероятность чего равна 4/5) и при второй попытке будет выбран нужныйключ из оставшихся четырех(вероятность этого равна 1/4). Поэтому:P( X = 2) (4 / 5)(1=/ 4) 1 / 5; =P( X = 3) (4 / 5)(3 / 4)(1=/ 3) 1/ 5;=P ( X = 4) (4 / 5)(3 / 4)(2 / 3)(1/= 2) 1 / 5;=P( X = 5) (4 / 5)(3 / 4)(2 / 3)(1 / =2)·1 1 / 5.=Случайная величина X имеет закон распределенияX12345P1/51/51/51/51/5Среднее число попыток равноM ( X ) = 1·1 / 5 + 2·1 / 5 + 3·1 / 5 + 4·1 / 5 + 5·1 / 5 = 3.Ответ. 3.Задача 2.36.
В урне n белых и k черных шаров. Шары вынимают изурны по одному без возвращения, пока не выберут черный шар. Пусть X ––число вынутых шаров. Напишите закон распределения для случайнойвеличины X и найдите ее математическое ожидание. (См. пример 2.36 иисходные данные.)Исходные данные к задаче 2.36.№ n k № n k № n k № n k № n k № n k7412345445352342267891056466314231112131415666554565216171819204444445678212223242544555910678262728293055666910789Пример 2.37. В ящике в полном беспорядке лежат пять пар туфель.Туфли по одной (без возвращения) вынимают из ящика, пока средивыбранных не обнаружится какая-либо пара. Сколько в среднем туфельпридется извлечь из ящика?Решение. Обозначим через X –– число извлеченных туфель.Случайна величина X принимает только значения 2, 3, 4, 5, 6. (Чтобысформировать пару, нужно извлечь минимум две туфли, а среди шеституфель хотя бы одна пара непременно найдется.) Найдем вероятности этихзначений:P( X = 2) = 1 / 9, так как после выбора первой туфли в пару к нейгодится только одна из девяти оставшихся;8 2 2P( X = 3)=× =, так как вторая должна быть не парной к первой,9 8 9вероятность чего равна 8/9, а третья должна быть парной либо к первой,либо ко второй, вероятность чего равна 2/8;8 6 3 18P ( X = 4)= × × = , так как вторая должна быть не парной к9 8 7 63первой, вероятность чего 8/9, третья –– не парной к первым двум,вероятность чего 6/8, а четвертая должна быть одной тефлей из трех ужеразукомплектованных пар, вероятность чего 3/7;8 6 4 4 16P ( X = 5)= × × × = , так как вторая должна быть не парной к9 8 7 6 63первой, вероятность чего 8/9, третья –– не парной к первым двум,вероятность чего 6/8, четвертая –– не парной к первым трем, вероятностьчего равна 4/7, а пятая должна быть одной туфлей из четырех ужеразукомплектованных пар, вероятность чего 4/6;8 6 4 2 8P ( X = 6)= × × × = , так как для этого необходимо, чтобы9 8 7 6 63каждая из пяти первых туфель выбиралась из еще не тронутой пары.Итак, случайная величина имеет закон распределения:X23456P7/63 14/63 18/63 16/63 8/63M ( X )= 2·7 / 63 + 3·14 / 63 + 4·18 / 63 + 5·16 / 63 + 6·8 / 63 = 256 / 63 » 4.Ответ.
M ( X )= 256 / 63 » 4.75Задача 2.37. В урне содержатся шары n различных цветов, причемшаров каждого цвета содержится k штук. Шары выбирают из урны поодному, пока среди выбранных не окажется двух шаров одного цвета.Пусть X –– число извлеченных при этом шаров. Найдите законраспределения X и M ( X ). (См. пример 2.37 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.37.№ n k № n k № n k № n k № n k № n k1 4 2 6 4 5 11 4 3 16 3 3 21 3 5 26 3 42 4 3 7 3 3 12 3 5 17 3 4 22 3 6 27 5 33 3 5 8 3 4 13 3 6 18 5 3 23 4 4 28 6 24 3 6 9 5 3 14 4 4 19 6 2 24 4 2 29 4 55 4 4 10 6 2 15 4 2 20 4 5 25 4 3 30 3 3Пример 2.38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
