ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 11
Текст из файла (страница 11)
пример 2.31.)Пример 2.32. В цехе шесть станков, которые работают независимодруг от друга. В течение рабочего дня (восемь часов) каждый станокпростаивает в сумме два часа. Какова доля времени, в течение которой вцехе работает не менее пяти станков?Решение.
Наблюдение над состоянием каждого станка можнорассматривать как независимый опыт, число которых n = 6. Вероятностьзастать станок работающим равна p = 6 / 8 = 3 / 4 (в соответствии сгеометрическим определением вероятности). Тогда вероятность застатьработающими не менее пяти станков равнаP6 (k ³ 5) P6 (5) =+ P6 (6) C65=(3 / 4)5 (1 / 4)1 + C66 (3 / 4) 6 (3= / 4) 0 243 / 512 » 0,47.Ответ. 243 / 512 » 0,47.Задача 2.32. На светофоре красный и зеленый свет горят по t сек., ажелтый –– 5 сек.
Автомобилю предстоит проехать n перекрестков, накоторых светофоры работают независимо друг от друга. Найдитевероятность того, что:а) все светофоры автомобиль проедет без остановки;59б) автомобиль будет ожидать у светофора не менее двух раз.(См. пример 2.32 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.32.№ t n № t n № t n № t n № t n №1 30 4 6 55 4 11 45 4 16 35 4 21 60 4 262 35 5 7 60 5 12 50 5 17 40 5 22 30 5 273 40 6 8 30 6 13 55 6 18 45 6 23 35 6 284 45 7 9 35 7 14 60 7 19 50 7 24 40 7 295 50 8 10 40 8 15 30 8 20 55 8 25 45 8 30t5055603035n456782.6.2.
Обобщенная формула БернуллиФормулу Бернулли (2.6.1) можно обобщить на случай независимыхопытов, каждый из которых имеет более двух возможных исходов.Пусть в результате опыта происходит одно из m попарнонесовместных событий A1 , A2 ,¼, Am с вероятностями р1 , р2 ,¼, рmсоответственно ( р1 + p2 + ¼+ pm = 1 ). Тогда вероятность того, что врезультате независимых опытов событие А1 наступит k1 раз, событие A2наступит k2 раза, …, событие Am наступит km раз, причемk1 + k2 + ¼ + km= n , равна:n!Pn (k1,k 2 ,¼, km=)p1k1 p2k2 × K × pkkm .(2.6.2)k1 !k2 !× K × k m !Пример 2.33. В крупной партии изделий 60% изделий первого сорта,30% –– второго, 10% –– третьего сорта.
Для проверки взяли наугад шестьизделий. Какова вероятность того, что среди них три изделия первогосорта, два изделия второго сорта и одно изделие третьего сорта?Решение. Так как партия изделий велика, то последовательный выбориз нее нескольких изделий практически не меняет пропорции в партии и,значит, не меняет вероятности выбора изделия данного сорта. Поэтомуможно в качестве математической модели взять схему независимыхопытов. Будем считать, что производится шесть независимых опытов, вкаждом из которых вероятность выбора изделия первого сорта равнар1 = 0,6 , второго –– 0,3, третьего –– 0,1.
В соответствии с формулой (2.6.2)6!(0,6)Р6 (3,2,1) == 3 (0,3) 2 (0,1) 0,11664 » 0,12.3! 2!1!Ответ. 0,11664 » 0,12.Задача 2.33.1. В урне находится m1 белых, m2 черных и m3 красныхшаров. Из урны повторным способом выбирают в нечетных вариантах60шесть шаров, в четных –– семь шаров. Какова вероятность того, что в k1раз будет выбран белый шар, в k2 –– черный шар и в k3 –– красный? (См.пример 2.33 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.33.1.№ m1 m2 m3 k 1k2k3№ m1 m2 m3 k 1k2k3135222216442331245323217342222335223118443331445332219353222545323120443322645323221443321745332122344133854322323344123954332124344223104533222544313211354231264343221235423227442222133433122824422314354241294423211535422230244133Задача 2.33.2.
В урне находится m1 белых шаров и m2 черных. Изурны наугад выбирают два шара, затем шары возвращают в урну,перемешивают и опыт повторяют. Предполагается проделать n такихопытов. Какова вероятность того, что в k1 раз будут выбраны оба белыхшара, в k2 раз –– оба черных шара и в k3 раз –– шары разного цвета? (См.пример 2.33; величины m1, m2, n, k1, k2, k3 возьмите из исходных данных кзадаче 2.33.1.)Пример 2.34. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равнаp = 0,2. Подбрасывают игральный кубик. Если выпадает m очков, то стрелокполучает право на m выстрелов.
Какова вероятность поражения цели?Решение. При m выстрелах вероятность поражений цели (вероятностьхотя бы одного попадания) равна 1 – (0,8)m . Так как вероятность выпадениякаждой грани равна 1/6, то полная вероятность поражения цели равна1P = [(1 - 0,8) + (1 – 0,82 ) + (1 – 0,83 ) + (1 – 0,84 ) + (1 – 0,85 ) + (1 – 0,86 )]=6= 0,508096 » 0,51.Ответ.
0,508096 » 0,51 .Задача 2.34. Вероятность поражения цели при одном выстреле равнаp. Монету подбрасывают n раз. Если герб выпадает m раз, то стрелок61получает право на m выстрелов. Какова вероятность поражения цели? (См.пример 2.34 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.34.ppppp№ n№ n№ n№ n№ n1 4 0,1 7 4 0,4 13 4 0,2 19 4 0,5 25 4 0,32 3 0,15 8 3 0,45 14 3 0,25 20 3 0,6 26 3 0,353 2 0,2 9 2 0,5 15 2 0,3 21 2 0,1 27 2 0,44 4 0,25 10 4 0,6 16 4 0,35 22 4 0,15 28 4 0,455 3 0,3 11 3 0,1 17 3 0,4 23 3 0,2 29 3 0,56 2 0,35 12 2 0,15 18 2 0,45 24 2 0,25 30 2 0,62.7.
Простейший (пуассоновский) поток событийПотоком событий называется последовательность событий,происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Например,телефонные вызовы, автомобили, подъезжающие к перекрестку, выходы изстроя некоторого устройства, покупатели, приходящие в магазин и т.д. Длянаглядности можно изображать моменты наступления событий точками наоси времени. События могут распределяться не только во времени, но и впространстве (например, опечатки в тексте, капли дождя на асфальте,пожары в городе и т.д.).Рис.
2.7.1На рис. 2.7.1 точками отмечены моменты поступления событий, ti ––момент поступления i-го события, Ti = ti - ti -1 , i = 1,2,3,K, случайныеинтервалы между последовательными моментами прихода событий.Потоки событий различаются распределениями величин Ti, характером ихзависимости или независимости, числом событий происходящих в данныймомент времени. Например, события могут происходить через равныепромежутки времени.
Такой поток называют регулярным илидетерминированным.Одним из самых интересных и в математическом плане и с точкизрения приложений является пуассоновский или простейший поток.Поток событий называется простейшим или пуассоновским, есливыполняются следующие условия:1. Появление того или иного числа событий на интервале временидлины t зависит только от длины этого интервала и не зависит от его62расположения на оси времени и от требований, приходящих вне этогоинтервала.Обозначим через Pk (t ) вероятность появления k событий наинтервале времени длины t.2.
Вероятность появления одного события за малый промежутоквремени Dt пропорциональна длине этого промежутка, т.е. P1 (D=t ) mDt ,где m –– некоторая постоянная.3. Вероятность появления двух или более событий за малыйпромежуток времени Dt есть величина более высокого порядка малости посравнению с Dt .Независимость вероятностей Pk (t ) от расположения отрезка длины tна числовой оси означает стационарность потока, а независимость отсобытий вне отрезка означает отсутствие последействия, т.е.независимость событий потока.Из условий 2 и 3 следует, что за малый промежуток времени Dtможет либо наступить одно событие, либо ни одного события не поступит.Остальными возможностями можно пренебречь.
В этом случае говорят,что поток событий ординарен, т.е. события происходят по одному, а негруппами. Формально свойства 2 и 3 означают, чтоP0 (Dt ) + P1 (Dt ) + о(Dt ) = 1,(2.7.1)илиP0 (Dt ) =1 – mDt + о( Dt ).Построим математическую модель простейшего потока. Преждевсего из определения простейшего потока выведем формулы длявероятностей Рi (t ).Чтобы не заниматься выводом формулы для каждой вероятностиотдельно, рассмотрим так называемую производящую функциюF(t , z ) P=0 (t ) + zP1 (t ) + z 2 P2 (t ) + K + z n Pn (t ) + K ,(2.7.2)для которой интересующие нас вероятности служат коэффициентами ееразложения в ряд по степеням z.Выберем 0 < z < 1, и будем считать, что каждое событие потоканезависимо от других может оказаться «красным» с вероятностью z. Такаяусловная раскраска событий позволяет придать функции F(t , z )вероятностный смысл, что упрощает дальнейшие рассуждения по выводудля нее дифференциального уравненияВыражение zP1 (t ) можно понимать как вероятность того, что завремя t поступило одно событие и оно оказалось «красным», z 2 P2 (t ) ––можно считать вероятностью того, что за время t поступило два события иони оба «красные».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
