ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В условиях задачи 2.23 выбранные из двух урн шарыоказались одного цвета. Какова вероятность того, что это именно белыешары? (См. примеры 2.14, 2.20 и исходные данные к задаче 2.20.1.)Пример 2.21. Вероятность того, событие B произойдет в течениечаса, равна 0,9. Оказалось, что в течение первых 40 мин. событие B непроизошло. Какова вероятность того, что это событие появится воставшиеся 20 мин. времени?49Решение. В отношении события B могут быть два предположения:либо оно появится (B), либо оно не появится ( B ). Обозначим через A тотфакт, что событие B не появилось в течение первых 40 мин. Нас интересуетвероятность P( B / A). По формулам Байеса (2.5.1) получимP ( B) P( A / B)P( B / A) =.P( B) P( A / B ) + P( B ) P( A / B )В задаче по умолчанию предполагается, что событие B, если онопроисходит, то равновозможно его появление в любой момент данногочаса.
Поэтому по геометрическому определению вероятностиP ( A / B=) 20 / 60= 1 / 3, а P ( A / B=) 1. В итоге получаем, что0,9 × 1 / 3P( B / A) == 3 / 4.0,9 × 1 / 3 + 0,1 × 1Ответ. 3/4.Задача 2.21. В течение времени Т событие B может произойти свероятностью p. Оказалось, что в течение первых t мин. ( 0 < t < T ) событиене произошло. Какова вероятность того, что событие не произойдет воставшееся время? (См. пример 2.21 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.21.№ t p № t p № t p1 10 0,9 6 10 0,8 11 10 0,72 30 0,8 7 30 0,9 12 30 3/43 25 3/4 8 25 2,3 13 25 0,84 45 0,9 9 45 0,8 14 20 0,75 20 2/3 10 20 0,9 15 50 0,9№1617181920t1030502045p3/40,73/40,83/4№2122232425t1025301045p2/30,52/30,62/3№2627282930t2530455025p3/40,50,70,80,7Пример 2.22. В кошельке лежат четыре монеты.
Три монетыобычных, а у четвертой на той и другой стороне изображен герб. Наугадвзяли монету и подбросили три раза. Все три раза выпал герб. Каковавероятность того, что и при четвертом подбрасывании выпадет герб?Решение. Обозначим через B1 –– выбор монеты с одним гербом,через B2 –– выбор монеты с двумя гербами. Априорные вероятности этихсобытий равны: P ( B1 ) = 3 / 4 и P ( B2 ) = 1 / 4.Обозначим через A –– выпадение трех гербов подряд.
Апостериорныевероятности по формулам Байеса равны:3 / 4 × (1 / 2)331 / 4 ×18P ( B1 / A) ==,P(B/A)==.23 / 4 × (1 / 2)3 + 1 / 4 × 1 113 / 4 × (1 / 2)3 + 1 / 4 ×1 11Тогда по формуле полной вероятности (2.4.1):P(выпадения герба в четвертый раз) = 3 / 11 × 1 / 2 + 8 / 11 × 1 19=/ 22.50Ответ. 19/22.Задача 2.22. В каждой из трех одинаковых внешне урн находится nшаров. В первой урне k1 белых, а остальные черные, во второй урне k2белых, а остальные черные, в третьей урне все шары черные. Из взятойнаугад урны извлекли один за другим m шаров. Все они оказалисьчерными. Какова вероятность того, что следующий шар тоже будетчерным? (См. пример 2.22 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.22.№nmk1k2 №nmk1k2 №nmk1k216212116234216322282221282322282333102551382552383434622214624324 10355582341582442563216623216834526834578332176312278221862231882232883359824319833429834410 1024420835430 102462.6.
Повторные независимые испытания2.6.1. Формула БернуллиОпыты называются независимыми, если вероятность каждого исходалюбого опыта не изменяется от того, какие исходы имели другие опыты.Пусть производится n независимых опытов и известна P ( A) = p ––вероятность появления события А в каждом из опытов ( P ( A) = 1 – р = q ).Тогда вероятность того, что в n независимых опытах событие А появитсяровно k раз, равна по формуле БернуллиPn (k ) = Cnk p k q n-k .(2.6.1)Число k = k0 , при котором вероятность Pn (k ) принимает наибольшеезначение, называется наивероятнейшим числом появления события.Если (n + 1) р –– число дробное, то k0 равно целой части числа(n + 1) р . Если же (n + 1) р –– число целое, то k0 принимает два значения:k0 = (n + 1) р – 1 и k0 = (n + 1) р.Пример 2.23.1. Предположим, что 30% студентов нашего институтазанимаются спортом.
Какова вероятность того, что среди первых пятивстречных студентов окажется только один спортсмен? Какова вероятность51того, что среди них есть хотя бы один спортсмен? Каково наиболеевероятное число спортсменов среди них?Решение. Так как студентов в институте много (несколько тысяч), топо мере опроса нескольких из них пропорции в оставшейся частипрактически не изменяются. Поэтому можно считать опрос каждогостудента независимым опытом. Всего опытов производится n = 5, авероятность положительного ответа p = 0,3. По формуле Бернулли (2.6.1)имеем P5 (1) = C51 × 0,3 × (0,7) 4 = 0,36015. Вероятность хотя бы одногоправильного ответа проще вычислять, если перейти к противоположномусобытию: P5 (k ³ 1) 1 – P5 (0)= 1 – (0,7) 5 =1 – 0,16807 =0,83193.=Так как(n + 1) р = (5 + 1)0,3 = 1,8 (целая часть числа равна 1), то наиболее вероятноечисло спортсменов среди пяти опрошенных k0 = 1.Ответ.
0,36015; 0,83193; 1.Пример 2.23.2. На каждый вопрос предлагается три возможныхответа, из которых следует выбрать один правильный. Задано пятьвопросов. Какова вероятность того, что путем простого угадывания удастсяправильно ответить на четыре вопроса? Какова вероятность угадатьправильный ответ хотя бы на один вопрос?Решение. Выбор ответа на вопрос можно рассматривать какнезависимый опыт. Всего таких опытов производится n = 5, а вероятностьуспеха в каждом опыте равна р = 1 / 3. Тогда вероятность путем простогоугадывания правильно ответить на четыре вопроса равна P5 (4) == С54 (1 / 3)=4 (2 / 3)1 10 / 243 » 1 / 24.Вероятность угадать хотя бы один правильный ответ равнаP5 (k ³ 1) 1 – P5 (0) 1 – (2 /=3) 5 1 – 32 / 243=211/243= » 7 / 8.Ответ.
10 / 243 » 1 / 24; 211/243 » 7 / 8.№1234Задача 2.23. Из кошелька на стол высыпали n монет.а) Какова вероятность того, что k из них упали гербом вверх?б) Какова вероятность того, что не менее k из них упали гербом вверх?в) Каково наиболее вероятное число монет, упавших гербом вверх?(См. примеры 2.23.1, 2.23.2 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.23.n k № n k № n k № n k № n k № n k4 1 6 5 3 11 6 4 16 7 4 21 8 3 26 9 24 2 7 5 4 12 6 5 17 7 5 22 8 4 27 9 34 3 8 6 1 13 7 1 18 7 6 23 8 5 28 9 45 1 9 6 2 14 7 2 19 8 1 24 8 6 29 9 552=55210631573208225913096Пример 2.24.
Вероятность попадания в цель при выстреле равна 0,3.Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность поражения целибыла больше 0,9?Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как независимоеиспытание, и в каждом из них вероятность появления события (попаданияв цель) равна р = 0,3. Цель будет поражения, если в n выстрелах будет хотябы одно попадание, вероятность чего равнаPn (k ³ 1) =1 – Pn (0) > 0,9 Þ 1 - (0,7) n > 0,9 Þ (0,7) n < 0,1 Þ n ³ 7.Ответ. n ³ 7.Задача 2.24.1. Для игрока в баскетбол вероятность забросить мяч вкорзину со штрафного броска равна p. Сколько бросков надо предоставитьигроку, чтобы вероятность попадания в корзину хотя бы один раз былобольше P = 0,9 ? (См. пример 2.24, p = 0, n, n –– номер варианта, длядевятого варианта n = 35.
)Задача 2.24.2. В отделе технического контроля проверку каждойбольшой партии изделий производят следующим образом: отбираетсянаугад n изделий и если среди них окажется хотя бы одно бракованноеизделие, то партия направляется на пересортировку. Каков должен бытьобъем случайной выборки ( n = ? ), чтобы партии, содержащие более k%брака, были отвергнуты с вероятностью большей, чем P?В вариантах 1–9 величина k равна последней цифре номера варианта, аP = 0,9.Для вариантов 11–19 величина k равна последней цифре номераварианта, а P = 0,95.В вариантах 21–29 считайте P = 0,98, а величину k возьмите равнойпоследней цифре номера варианта.В вариантах 10, 20, 30 возьмите P = 0,99, а k равным первой цифреномера варианта.(См. пример 2.24.)Пример 2.25.
Монету подбрасывают до тех пор, пока герб невыпадет три раза. Какова вероятность того, что до этого цифра выпадетпять раз?Решение. Всего должно состояться восемь подбрасываний монеты.Чтобы опыт закончился именно на восьмом броске, необходимо привосьмом подбрасывании получить герб, вероятность чего равна 1/2, и до53этого при семи подбрасываниях герб должен выпасть ровно два раза,вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равнаP7 (2) = C72 (1 / 2) 2 (1 / 2)5 = 21 / 128.В силу независимости опытов искомая вероятность равна (21 / 128)(1 / 2) == 21 / 256 » 1 / 13.Ответ.
21 / 256 » 1 / 13.Задача 2.25. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равнаp. Стрельба производится до n попаданий. Какова вероятность того, чтопри этом будет m промахов? (См. пример 2.25 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.25.№ n m p № n m p № n m p № n m p № n m p1 2 3 0,3 7 5 4 0,4 13 4 5 0,4 19 5 5 0,2 25 6 3 0,42 3 3 0,4 8 3 5 0,2 14 4 5 0,2 20 5 5 0,4 26 7 2 0,23 4 3 0,2 9 3 6 0,4 15 5 2 0,4 21 6 2 0,3 27 7 3 0,34 5 3 0,5 10 3 7 0,3 16 5 2 0,6 22 6 3 0,2 28 5 6 0,45 5 2 0,3 11 4 3 0,3 17 5 3 0,3 23 6 4 0,6 29 7 4 0,36 5 4 0,6 12 4 4 0,2 18 5 4 0,3 24 6 2 0,5 30 7 5 0,4Пример 2.26. Из начала координат начинает движение точка. Накаждом шаге она с вероятностью p = 1 / 2 сдвигается на единицу вверх иливероятностью q = 1 – p = 1 / 2 сдвигается на единицу вправо.
Каковавероятность того, что после восьми шагов частица окажется в точке A (5;3)?Какова вероятность того, что за эти восемь шагов частица поднимется неменее, чем на пять единиц вверх?Решение. Каждый шаг частицы можно считать независимымиспытанием. Частица после восьми шагов окажется в точке A(5;3), если извосьми шагов три будут сделаны вверх (а остальные пять –– вправо),вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равнаP8 (3) = C83 (1 / =2)5 (1 / 2) 3 7 / 32 » 0,22.Частица поднимется не менее чем на пять единиц вверх, если неменее пяти шагов из восьми будут сделаны вверх. Вероятность этого равнаP8 (k ³ 5) P=8 (5) + P8 (6) + P3 (7) + P8 (8) = 93 / 256 » 0,36.Ответ. 93 / 256 » 0,36.Задача 2.26.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
