ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2.1.1. В каждой клетке таблицы первая цифра указывает числоочков на первой кости, вторая –– на второй кости.Таблица 2.1.11121314151122232425213233343531424344454181525354555162636465661 62 63 64 65 66Если кости симметричны и однородны, то все перечисленные исходыопыта равновозможны. Тогда P ( A)= 6 / 36= 1 / 6 (благоприятствуютисходы: 11, 22, 33, 44, 55, 66), P ( B ) = 3 / 36 = 1 / 12 (благоприятствуют триисхода: 56, 65, 66) Непосредственный подсчет числа благоприятствующихисходов дает P (C ) = 15 / 36 = 5 / 12, P ( D ) = 18 / 36 = 1 / 2, P ( E ) = 33 / 36 == 11 / 12.Ответ. P ( A) = 1 / 6, P ( B) = 1 / 12, P (C ) = 5 / 12, P ( D ) = 1 / 2,P ( E ) = 11 / 12.Задача 2.1.1.
Брошены две игральные кости. Для вариантов 1–10найти вероятности следующих событий:A –– сумма числа очков не превосходит N;B –– произведение числа очков превосходит N;C –– произведение числа очков делится на N.(См. пример 2.1, N равно последней цифре номера варианта плюс 2).Для вариантов 11–20 найти вероятности следующих событий:A –– сумма числа очков не меньше N;B –– произведение числа очков меньше N;C –– сумма числа очков делится на N.(См.
пример 2.1, N равно последней цифре номера варианта плюс 3).Для вариантов 21–30 найти вероятности следующих событий:A –– сумма числа очков равна N;B –– произведение числа очков больше N;C –– сумма числа очков делится на N.(См. пример 2.1, N последняя цифра номера варианта плюс 4).Задача 2.1.2. Из чисел 1,2,3,K,n наугад взяли одно число, затемвторое.Какова вероятность того, что первое число меньше второго?Какова вероятность того, что оба числа больше n/2?Найдите вероятность того, что будут выбраны равные числа.Какова вероятность того, что сумма этих чисел окажется меньше n?Какова вероятность того, что первое число окажется на 2 большевторого?Какова вероятность того, что первое число окажется меньше 3, авторое больше (n - 3) ?Решите задачу в случае бесповторного и в случае повторного выбора.(См.
пример 2.1, n –– номер варианта плюс 3).19Пример 2.2. а) В урне содержится N шаров, из них R красного цвета.Наугад выбрано n шаров. Какова вероятность того, что r из них окажутсякрасного цвета? Какова вероятность того, что среди выбранных шаров хотябы один будет красным?б) Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых трибракованных, наугад извлекаются три изделия для контроля.
Найтивероятности следующих событий:A –– среди выбранных изделий ровно два бракованных;B –– выбраны только бракованные изделия;C –– среди выбранных изделий содержится хотя бы одно бракованное.Решение. а) Если шары тщательно перемешаны и выбираютсянаугад, то равновозможен выбор любых n шаров. Поэтому применимоклассическое определение вероятности. Поскольку выбор бесповторный инас интересует только состав, то выбрать любые n шаров можно СNnспособами. Сформировать выборку требуемого состава можно, если из Rкрасных шаров выбрать любые r шаров (это можно сделать СRr способами)и к ним добавить (n – r ) любых не красных шаров (это можно сделатьСNn--rR способами).По комбинаторному принципу число благоприятствующих исходовравно СRr СNn--rR . Искомая вероятность равнаСRr C Nn --rR.(2.1.1)Pn,r =C NnПусть Ai означает наличие в выборке i красных шаров.
Выбор хотябы одного красного шара равносилен появлению хотя бы одного изнесовместных событий Ai или A2 или … или An. Поэтому вероятностьвыбора хотя бы одного красного шара равнаCNn - RPn,1 + Pn ,2 + K + Pn ,n 1 =– Pn ,0 1 =– n .CNб) Выбрать любых три изделия из 10 можно С103 способами. Поэтомуимеем С103 = 120 равновозможных исходов.Событию A благоприятствуют те исходы, при которых из семигодных изделий выбирается одно (это можно сделать С71 = 7 способами) ииз трех бракованных –– два (это можно сделать С32 = 3 способами). Покомбинаторному принципу число благоприятствующих событию A исходовравно С71С32 = 7 × 3 = 21 .
Поэтому P ( A) = 21 / 120= 7 / 40 » 1 / 6, т.е. примерноодин шанс из шести.Событию B благоприятствует всего один исход и его вероятностьP ( B ) = 1 / 120.20Вероятность события C проще вычислить, определив сначалавероятность события С , которое состоит в том, что выбраны все годныеизделия. Выбрать три годных изделия из семи можно С73 = 35 способами.Поэтому P (С ) = 35 / 120 иP (C ) = 1 – P(С=) 1 – 35= / 120 17 / 24 » 2 / 3.C Nn - RСRr C Nn --rRОтвет.
а), 1- n ;CNC Nnб) P ( A) = 7 / 40 » 1 / 16, P ( B ) = 1 / 120, P (C ) = 17 / 24 » 2 / 3.Задача 2.2.1. Из N изделий М имеют скрытый дефект. Наугадвыбрано n изделий. Найдите вероятности следующих событий:A –– среди выбранных m изделий имеют скрытый дефект;B –– среди выбранных есть хотя бы одно изделие со скрытымдефектом;C –– среди выбранных не более двух изделий со скрытым дефектом.(См. пример 2.2 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.2.1.nm № N Mnm № N Mnm№ N M42 11 12 432 21 95421 10 352 12 12 442 22 95432 10 332 13 12 443 23 11 3323 10 442 14 12 532 24 11 3424 10 443 15 12 542 25 11 3435 10 432 16 9332 26 11 4326 12 342 17 9432 27 11 4427 12 343 18 9442 28 11 4438 12 352 19 9443 29 14 3329 12 353 20 9532 30 14 34210 12 4Задача 2.2.2.
В урне содержится 2n шаров, из которых два черных, аостальные белые. Наугад выбирается n шаров. Найдите вероятностиследующих событий:A –– в числе выбранных оказались оба черных шара;B –– ни один из черных шаров не выбран;C –– среди выбранных шаров только один черный шар.Найдите значения этих вероятностей при n ® ¥ . (См. пример 2.2,n = k + 2 , где k –– номер варианта.)Задача 2.2.3. В урне содержится n1 белых и n2 черных шаров.
Изурны наугад выбирают два шара. Что вероятнее –– вынуть два белых шара21или вынуть один белый и один черный шар?данные.)Исходные данные к задаче 2.2.3.№ n1 n2 № n1 n2 № n1 n2 № n11 4 2 6 6 3 11 7 3 16 82 4 3 7 6 4 12 7 4 17 83 5 2 8 6 5 13 7 5 18 84 5 3 9 6 6 14 7 6 19 95 6 2 10 7 2 15 8 2 20 9(См. пример 2.2 и исходныеn235623№ n1 n221 9 422 9 523 9 624 9 725 10 2№2627282930n 1 n210 310 410 510 610 7Задача 2.2.4. В урне m1 белых, m2 синих и m3 красных шаров. Наугадвыбирают 6 шаров. Найдите вероятности следующих событий: A –– средивыбранных только белые шары; B –– среди выбранных нет красных шаров;C –– среди выбранных поровну шаров всех цветов; D –– среди выбранныхтолько один красный шар.
(См. пример 2.2 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.2.4.№ m1 m2 m3 № m1 m2 m3 № m1 m2 m3 № m1 m2 m3 № m1 m2 m31 8 3 4 7 7 3 5 13 9 4 3 19 8 5 3 25 9 5 22 8 4 3 8 7 5 3 14 9 3 3 20 8 2 6 26 9 5 43 8 2 5 9 7 4 4 15 9 3 5 21 8 6 2 27 9 4 54 6 5 2 10 8 2 3 16 9 5 3 22 9 3 4 28 9 3 65 7 2 6 11 9 4 2 17 8 4 4 23 9 2 5 29 9 6 36 7 6 2 12 9 3 4 18 8 3 5 24 9 4 3 30 9 2 7Задача 2.2.5. Из N билетов с номерами от 1 до N один за другим (безвозвращения) берут два билета. Найдите вероятности следующих событий:A –– оба номера билетов четные;B –– оба номера нечетные;C –– номер первого билета четный, а второго нечетный;D –– номер одного четный, а другого нечетный:E –– номер второго билета четный.(См.
пример 2.2, N –– номер варианта плюс 5.)Задача 2.2.6. В урне содержатся шары с номерами 1,2,3,K, n. Наугадбез возвращения выбирают k шаров. Какова вероятность того, что будутвыбраны только шары с номерами больше k? Какова вероятность того, чтодля каждого из первых k шаров номер шара совпадет с его номером попорядку извлечения? (См. пример 2.2 и исходные данные.)22№12345Исходные данные к задаче 2.2.6.n k № n k № n k7 3 6 10 3 11 11 48 3 7 10 4 12 12 38 4 8 10 5 13 12 49 3 9 11 3 14 12 59 4 10 11 5 15 12 6№1617181920n1313131314k34563№2122232425n1414141515k45634№2627282930n1515161616k56345Пример 2.3.
При раздаче тщательно перемешанных карт (в колоде 36карт) игрок получает шесть карт. Какова вероятность того, что игрокполучит два туза, два короля и две дамы любой масти?Решение. Шесть карт данному игроку можно сдать С366 способами,так как выбор бесповторный и нас интересует только состав выбора. Выбратьдва туза, два короля и две дамы можно С42С42С42 = 63 = 216 способами.Поэтому искомая вероятность равна P = 216 / С366 = 9 / 2618 » 0,003 .Ответ. 9 / 2618 » 0,003 .Задача 2.3. В урне смешаны N1 шаров белого цвета, N2 шаровчерного цвета, N3 –– синего и N4 –– красного.
Наугад выбрано n шаров.Какова вероятность того, что среди выбранных ровно n1 белых, n2 черных,n3 синих и n4 красных шаров ( n = n1 + n2 + n3 + n4 )? (См. пример 2.3 иисходные данные.)Исходные данные к задаче 2.3.№ N1 N2 N3 N4 n1 n2 n3 n4 № N1 N2 N3 N4 n1 n2 n3 n41 2 4 1 3 1 2 1 2 16 3 4 2 3 2 2 1 22 2 4 1 3 1 3 1 2 17 4 3 2 3 2 1 1 23 2 2 4 3 1 1 2 2 18 2 4 2 3 2 3 1 24 2 2 4 3 1 2 1 2 19 2 4 2 3 1 1 2 25 2 2 4 3 1 2 2 2 20 2 4 2 3 1 2 1 26 2 4 2 3 1 2 2 2 21 4 2 3 2 2 1 1 17 2 4 2 3 2 2 1 2 22 4 2 3 2 3 1 1 28 2 4 2 3 2 1 2 1 23 4 3 3 2 2 1 2 19 2 4 2 3 1 3 1 2 24 4 2 3 3 2 1 1 210 2 4 2 3 1 2 1 2 25 4 3 3 2 3 2 1 211 3 1 4 2 2 1 2 1 26 4 4 3 2 2 2 1 112 3 1 4 2 2 1 3 1 27 2 3 3 5 1 2 1 213 3 1 4 2 2 1 2 2 28 3 2 3 5 1 2 2 214 2 4 2 3 1 2 2 2 29 3 5 2 4 2 1 1 115 2 4 2 3 1 3 1 2 30 3 3 2 5 2 1 1 323Пример 2.4.
В течение недели независимо друг от друга происходятчетыре события. Найдите вероятности следующих событий:A –– все четыре события произойдут в разные дни недели;B –– все четыре события произойдут в один день;C –– все эти события произойдут в последние три дня недели;D –– хотя бы в один день недели произойдут два или более из этихсобытий.Решение. Дни недели можно представить в виде ящиков, а события ввиде шариков. Тогда распределение событий по дням недели можносчитать раскладкой шариков по ящикам.Так как каждый из четырех шариков можно поместить в любой изсеми ящиков, то существует 7 4 = 2401 равновозможный способ разложитьчетыре шарика по семи ящикам.
Из них событию A благоприятствуют7 × 6 × 5 × 4 = 840 способов, так как для каждого последующего шарика840остается на один пустой ящик меньше. Поэтому P ( A) =» 0,35.2401Событию B благоприятствует всего семь способов. Поэтому71P(B) = 4 =» 0,003.7343Все четыре события могут произойти в последние три дня недели 3434способами. Поэтому P (C ) = 4 » 0,038.7Событие D противоположно событию A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
