ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Сколько цифр в первой тысяче не содержат в своейзаписи цифры 5?13Решение. Для записи любой из цифр 000, 001, 002, …, 999необходимо трижды выбрать повторным способом одну из десяти цифр,поэтому и получается всего 103 чисел. Если цифру 5 исключить, то выборможно производить только из девяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Поэтомувсего получится 93 =729 чисел в первой тысяче, в записи которых нетцифры 5.Ответ. 729.Задача 1.5. Сколько чисел в первом миллионе содержат хотя быодну цифру Вашего варианта? (См. пример 1.5.)В комбинаторных расчетах часто используется так называемая«формула включений и исключений» (вывод формулы можно найти в [4]).Пусть имеется N предметов, каждый из которых обладает некоторымнабором из свойств a1 , a 2 ,¼, a n .
В том числе имеются предметы, укоторых вообще нет перечисленных свойств, или только одно из этихсвойств, или два и т. д. Обозначим через N (ai , a j ,¼, a k ) число предметов,обладающих свойствами ai , a j ,¼, a k (остальные свойства этих предметовнас не интересуют). Отсутствие свойства a k будем обозначать через a k .Например, N (a1 , a 2 , a 3 ) означает число предметов, у которых естьсвойства a1 и a3 , но нет свойства a 2 .
ТогдаN (a1 , a 2 ,¼, a n ) = N – N (a1 ) – N (a 2 ) – ¼ – N (a n ) ++ N (a1 , a 2 ) + N (a1 , a3 ) + ¼+ N (a1 , a n ) + ¼+ N (a n -1 , a n ) –(1.7)– N (a1 , a 2 , a3 ) – ¼ – N (a n -2 , a n -1 , a n ) + ¼+ (-1) n N (a1 , a 2 ,¼, a n ).Пример 1.6. Сколько шестизначных чисел содержат в записи ровнотри различных цифры?Решение. Заметим, что всего шестизначных чисел имеется 9×105, таккак первая цифра может быть любой (исключая нуль), а остальные пятьмогут быть выбраны 105 способами.Выбрать три ненулевых цифры можно C93 = 84 способами.
Извыбранных трех цифр можно составить 36 шестизначных чисел, из двух ––26, а из одной –– 16 =1 шестизначное число. По формуле (1.7) получаем, чтосуществует 36 - C32 × 26 + C31 ×16 = 540 шестизначных чисел, в записи которыхесть только три заданные цифры. Поэтому общее число шестизначныхчисел, в записи которых имеются три отличные от нуля цифры, равно84 × 540 = 45360.Учтем теперь возможность использования нуля. К нулю нужнодобавить две цифры, что можно сделать C92 = 36 способами.
Если,14например, были выбраны цифры 0, 2, 5, то первой цифрой должна быть 2или 5. К этой первой цифре в соответствии с формулой (1.7) можнодобавить 35 - C21 × 25 + 1 = 180 комбинаций остальных пяти цифр. Тогдавсего шестизначных чисел, состоящих из 0, 2, 5 будет 2 × 180 = 360 . Всегоже шестизначных чисел, записанных тремя цифрами, среди которыхвстречается нуль, ровно 36 × 360 = 12 960. Всего чисел, удовлетворяющихусловиям задачи, имеется 45 360 + 12 960 = 58 320.Ответ.
58320.Задача 1.6. Сколько n-значных чисел содержат в записи ровно kразличных цифр? (См пример 1.6 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 1.6.№ n k № n k № n k № n k № n k № n k1 5 2 6 8 4 11 9 6 16 11 4 21 10 3 26 9 72 6 4 7 7 3 12 7 5 17 10 2 22 9 5 27 10 53 5 3 8 8 2 13 8 5 18 9 3 23 10 2 28 11 54 6 2 9 7 4 14 8 6 19 11 3 24 9 6 29 10 65 7 2 10 8 3 15 9 2 20 9 4 25 10 4 30 11 6Пример 1.7. В саду есть цветы десяти наименований (розы, флоксы,ромашки и т. д.).а) Сколькими способами можно составить букет из пяти цветков (непринимая во внимание совместимость растений и художественныесоображения)?б) Сколькими способами можно составить букет из пяти различных цветков?в) Сколькими способами можно составить букет из пяти цветков так,чтобы в букете непременно было хотя бы по одному цветку двухопределенных наименованийРешение.
а) Если запрета на повторение цветков нет, то мы имеемдело с повторным выбором и нас интересует только состав. Поэтому по14!формуле (1.5) получаем C105 +5-1 = C145 ==2002 способа.5!9!б) Если цветы должны быть разными, то способ выборабесповторный и букет можно составить C105 = 504 способами.в) Отберем по одному цветку каждого из двух названныхнаименований.
Три остальных цветка можно выбрать из 10 возможныхC103 +3-1 = 220 способами.Ответ. а) 2002; б) 504; в) 220.15Задача 1.7. Продаются воздушные шарики n различных цветов(красные, синие, зеленые и т.д.).а) Сколькими способами можно приобрести k шариков?б) Сколькими способами можно приобрести k шариков различныхцветов?в) Сколькими способами можно приобрести k шариков так чтобысреди купленных было не менее двух красных и одного синего шарика?(См.
пример 1.7 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 1.7.№ n k № n k № n k № n k № n k № n1 6 4 6 8 4 11 9 6 16 11 4 21 12 6 26 142 7 5 7 8 5 12 10 4 17 11 5 22 12 7 27 143 7 4 8 8 6 13 10 5 18 11 6 23 13 4 28 144 6 5 9 9 4 14 10 6 19 12 4 24 13 5 29 155 8 4 10 9 5 15 10 7 20 12 5 25 13 6 30 15k45645Пример 1.8. Имеется n1 яблок, n2 груш и n3 персиков. Сколькимиспособами можно их разложить по двум корзинам? Сколькими способамиможно это сделать, если в каждой корзине должно быть хотя бы по одномуфрукту всех названных видов (полагаем, что фруктов каждогонаименования два или больше)?Решение. Ясно, что яблоки можно разложить n1 + 1 способом (впервую корзину можно не положить яблок совсем, положить одно яблоко,два яблока, …, все яблоки).
Те же рассуждения в отношении груш иперсиков дают соответственно n2 + 1 и n3 + 1 комбинаций. Покомбинаторному принципу всего будет (n1 + 1)(n2 + 1)( n3 + 1) способов.При ответе на второй вопрос учтем, что следует по одному яблокусразу положить в каждую из корзин, а остальные n1 - 2 яблокараскладывать произвольным образом (в первую корзину либо не добавляемяблок, либо добавляем одно, либо –– два, …, либо –– все n1 - 2 яблока).Все это можно сделать n1 - 2 + 1 = n1 - 1 способами.
Те же рассуждениянасчет других фруктов и комбинаторный принцип дают следующийрезультат: (n1 - 1)(n2 - 1)(n3 - 1).Ответ. (n1 + 1)(n2 + 1)( n3 + 1) ; (n1 - 1)(n2 - 1)( n3 - 1).Задача 1.8. Имеется n1 предметов первого вида, n2 предметоввторого вида, n3 третьего и n4 четвертого вида. Сколькими способамиможно распределить эти предметы между двумя людьми (не исключаяслучая, когда одному из них нечего не достается)? Сколькими способамиможно распределить эти предметы так, чтобы каждому досталось не менее16двух предметов каждого вида (полагаем, что предметов каждого вида неменее четырех)? (См. пример 1.8 и исходные данные.)№12345678910Исходные данные к задаче 1.8.n 1 n 2 n3 n 4 № n 1 n25678 11 797986 12 6 108796 13 576 10 75 14 659687 15 9 1010 985 16 896785 17 98796 10 18 10 511 89 10 19 865867 20 69n3612897778105n48567861061212№21222324252627282930n1768116105976n29576129710810n312111097810769n45121285119895Пример 1.9. Требуется найти число натуральных делителейнатурального числа N.Решение.
Разложим N на простые множители:N = p1n1 p2n2 ×¼× pknk ,(1.8)где p1 , p2 ,¼, pk–– различные простые числа. (Например, 84672 == 26 × 33 × 7 2. )Заметим, что при разделении числа N на любые два множителя N1 иN2 простые сомножители распределятся между N1 и N2. Если сомножительp j , j = 1, 2,¼, k , в число N1 входит mj, то разложение (1.8) примет вид:N = ( p1m1 p2m2 × K × pkmk )( p1n1 - m1 p2n2 - m2 × K × pknk - mk ),Так что разложение N на два сомножителя сводится к разделению каждогоиз чисел n1 , n2 ,K , nk на две части, а это можно сделать(n1 + 1)( n2 + 1) × K × ( nk + 1) способами.Ответ. (n1 + 1)(n2 + 1) × K × ( nk + 1).Задача 1.9. Найдите число натуральных делителей натуральногочисла N.
(См. пример 1.9 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 1.9.NNNNN№№№№№108030245292360023761713192514401008247512604752281420269001764742534656048391521277203528431230804320410162228288075624005544840051117232927002352148561606300612182430172. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ2.1. Классическое определение вероятностиКлассическое определение вероятности. Если исходы опытаравновозможны, то вероятностью события A называется отношение числаисходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех возможныхисходов опыта, т.е.mP( A) = ,nгде m –– число исходов опыта, благоприятствующих событию, а n –– числовсех возможных исходов.Свойства вероятностей.1.
Вероятность любого события –– есть число, заключенное междунулем и единицей, т.е. 0 £ P ( A) £ 1 . Вероятность невозможного событияравна 0, а вероятность достоверного события равна 1.2. Если события A и B несовместны, то P ( A + B ) P=( A) + P( B).3. Вероятность любого события A в сумме с вероятностью противоположного события A равна единице: P ( A) + P( A) = 1.Если вероятность интересующего нас события A по каким-либопричинам вычислить трудно, то можно попытаться вычислить вероятностьпротивоположного события, а затем с помощью свойства 3 вычислитьискомую вероятность события A.Пример 2.1.
Брошены две игральные кости. Найти вероятностиследующих событий:A –– на обеих костях выпало одинаковое число очков;B –– сумма числа очков не меньше 11;C –– число очков на первой кости больше, чем на второй;D –– сумма очков четная;E –– сумма числа очков больше трех.Решение. Число очков, благоприятствующих каждому из названныхсобытий, легко подсчитать, если все возможные исходы опыта перечислитьв виде табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
