ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 7
Текст из файла (страница 7)
пример 2.12 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.12.2.n k № n k № n k № n5 4 6 6 6 11 7 7 16 85 5 7 7 3 12 8 3 17 86 3 8 7 4 13 8 4 18 96 4 9 7 5 14 8 5 19 96 5 10 7 6 15 8 6 20 9k78345№ n21 922 923 924 925 10k67893№2627282930n1010101010k45678Пример 2.13.1.
Имеется система соединенных между собойэлементов (скажем, участок электрической цепи, поточная линия и т.д., см.рис. 2.3.2). Вероятность безотказной работы каждого элемента в течениезаданного времени (надежность) равна 0,8. Элементы выходят из строянезависимо друг от друга. Какова надежность системы?Рис. 2.3.2Решение. Пусть событие А состоит в безотказной работе системы втечение заданного времени, а Аi означает безотказную работу i-го элементав течение того же времени. Безотказная работа системы равносильнабезотказнойработехотыбыодногоэлемента.Поэтому=А A1 + А2 + А3 + А4 .
События Аi совместны. Вместо вычислениявероятности Р ( A)= = Р( А1 + A2 + А3 + А4 ) по формуле вероятности суммысовместных событий вычислим вероятность противоположного событияА . Выход из строя системы эквивалентен выходу из строя всех элементов втечение заданного времени, т.е.
А = А1 А2 А3 А4 . Так как элементы выходят изстроя независимо друг от друга, тоР( А) = Р( А1 ) Р=( А2 ) Р( А=3 ) Р( А4 ) (0, 2) 4 0,0016.ТогдаР ( A) = 1 – Р ( A)= 1 – 0,0016=0,9984 » 1.Ответ. 0,9984 » 1.38Пример 2.13.2. Имеется система соединенных между собой элементов(электрическая цепь, поточная линия и т.д., см. рис. 2.3.3). Вероятностьбезотказной работы (надежность) каждого элемента равна 0,9.
Элементывыходят из строя независимо друг от друга. Какова надежность системы?Рис. 2.3.3Решение. Пусть событие А состоит в безотказной работе системы, аАi –– означает безотказную работу i-го элемента. Событие А произойдет,если одновременно произойдут события А1, А2, А3 и А4. Поэтому А = А1 А2 А3 А4 ,а так как события независимы, тоР( A) = Р( А1 ) Р=( А2 ) Р ( А3 ) Р ( А4 ) (0,9)4 » 0,66.Ответ. (0,9)4 » 0,66.Задача 2.13.
На рис. 2.3.4 изображена схема некоторой системы(например, участок электрической цепи, или участок поточной линии, гдедеталь подвергается обработке на разных станках). Вероятностьбезотказной работы в течение некоторого времени (надежность) длякаждого элемента первого блока равна 0,9, а для элементов второго блокаэта вероятность равна 0,8. В первом блоке три параллельные линиисоответственно из k1, k2, k3 элементов. Второй блок состоит из двухпараллельных линий, в которых соответственно m1 и m2 элементов.Найдите надежность системы. (См. примеры 2.13.1, 2.13.2 и исходныеданные.)Блок 1Блок 2Рис. 2.3.4№1234567Исходные данные к задаче 2.13.k 1 k 2 k 3 m1 m2 № k 1 k 22 2 2 1 1 11 1 22 3 2 2 1 12 1 22 3 1 2 2 13 1 22 2 2 2 1 14 2 22 3 2 1 1 15 2 22 3 1 1 1 16 2 22 2 2 2 2 17 1 139k 3 m1 m21 1 11 2 11 2 21 1 11 2 11 2 21 1 1№ k121 122 123 124 225 226 227 1k22222221k 3 m1 m21 1 11 2 11 2 21 1 11 2 11 2 21 1 18910222333211222212181920113112111221121282930113112111221121Пример 2.14.
В первой урне два белых шара, четыре синих и девятькрасных, а во второй соответственно три, пять и шесть. Из каждой урнынаугад выбирают два шара. Какова вероятность того, что будут выбранышары одного цвета?Решение. Событие, состоящее в выборе шаров одного цвета,обозначим через A. Обозначим через Bi выбор из i-й урны двух белыхшаров, через Ci обозначим выбор из i-й урны двух синих шаров, через Diвыбор из i-й урны двух красных шаров.Событие A произойдет, если из первой урны будут выбраны двабелых шара (событие B1) и из второй урны будут выбраны тоже два белыхшара (событие B2) или из первой урны извлекут два синих шара (событиеC1) и из второй урны будут выбраны тоже два синих шара (событие C2) илииз первой урны будут выбраны два красных шара (событие D1) и из второйурны будут выбраны тоже два красных шара (событие D2).
ПоэтомуA = B1 B2 + C1С2 + D1D2 . События независимы и слагаемые несовместны. Витоге получаем, чтоP( A) = P( B1 ) P( B2 ) + P(C1 ) P(C2 ) + P ( D1 ) P( D2 ) =201С22 С32 С42 С52 С92 С62= 2 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2 =» 0,06.С15 С14 С15 С14 С15 С14 3185201Ответ.» 0,06.3185Задача 2.14. В первой урне n1 белых шаров, n2 синих и n3 красных, аво второй соответственно m1, m2 и m3. Из каждой урны наугад выбирают kшаров ( k = 1 для нечетных вариантов и k = 2 для четных).Какова вероятность того, что будут выбраны шары одного цвета?(См. пример 2.14 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.14.№ n1 n2 n3 m1 m2 m3 № n1 n2 n3 m1 m2 m313572251465453423565231745163234383251852324448433251963246253755232035462265373522134553675734332234536287353432325743394564332426483140101112131516556425465662644578244356424543442433252627282930667766443435344343235658352543574234Пример 2.15.
Два стрелка по очереди стреляют в цель до первогопопадания. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна дляних соответственно 1/3 и 1/2. Каждый стрелок имеет право только на двавыстрела. Какова вероятность того, что цель будет поражена? Каковавероятность того, что цель поразит первый стрелок?Решение. Обозначим через Ai попадание первого стрелка при i-мвыстреле, а через Bi –– попадание второго стрелка при i-м выстреле.На рис. 2.3.5 изображено «дерево» всех возможных способовпротекания стрельбы.Рис. 2.3.5Цель не будет поражена (событие С ), если произойдут события А1 иВ1 и А2 и В2 .
Так как события независимы, тоP (С ) = Р ( А1 ) Р( В1 ) Р ( А2 ) Р ( В2 )= (2 / 3)(1 / 2)(2 / 3)(1 / 2)= 1 / 9.Поэтому вероятность поражения цели P (C ) = 1 – P (С=) 1 – 1 / 9= 8 / 9.Цель поразит первый стрелок (событие A), если он попадет припервом выстреле или при первом выстреле он не попадет в цель и второйстрелок при своем первом выстреле не попадет в цель и после этогопервый стрелок попадет в цель.
Поэтому A = A1 + А1 В1 A2 . События A1 иА1 В1 A2 несовместны. В силу независимости событий получаем1 2 1 1 4P ( A) = P ( A1 ) + P(=А1 ) P( В1 ) P( A2 )+ × × = .3 3 2 3 9Ответ. 8/9; 4/9.41Задача 2.15. Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигрываеттот, у кого раньше выпадет герб. Первым бросок делает игрок A.Варианты 1–8.
Найти вероятность события: выиграл игрок A до k-гоброска.Варианты 9–15. Найти вероятность события: выиграл игрок B до k-гоброска.Варианты 16–23. Найти вероятность события: выиграл игрок A непозднее k-го броска.Варианты 24–30. Найти вероятность события: Выиграл игрок B непозднее k-го броска.(См. пример 2.15, k –– последняя цифра варианта плюс четыре.)Пример 2.16. Урна содержит шесть занумерованных шаров сномерами от одного до шести. Шары извлекаются по одному безвозвращения. Пусть событие A состоит в том, что шары будут извлечены впорядке их номеров, а событие B в том, что хотя бы один раз номер шарасовпадет с порядковым номером его извлечения.
Найти вероятностисобытий A и B и определить предельные вероятности этих событий принеограниченном увеличении числа шаров в урне.Решение. а) Обозначим через Ai –– событие, состоящее в том, чтопорядок извлечения i-го шара совпадает с его номером. Тогда событиеA = A1 A2 A3 × K × A6 . Вместо рассмотрения произведения зависимых событийзаметим, что шары в указанном порядке можно извлечь только однимспособом, а всего равновозможных способов извлечения существует (6!).11Поэтому P ( A) = =. При увеличении числа шаров P ( A) ® 0.6! 720Событие B произойдет, если появится хотя бы одно из событий A1или A2 или … или A6. Поэтому B = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 , причемсобытия совместны. При переходе к противоположному событию придетсярассматривать произведение шести зависимых событий Аi , что в данномслучае сделать сложно.
Поэтому вычислим вероятность суммынепосредственно:P ( B )=6å Р( А ) - å=i 1i1£i < j £ 6P ( Ai ) P ( Aj ) +å1£i < j < k £6P( Ai ) P ( Aj ) P( Ak ) - K -1 11 1 11 1 1 1– P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 )= 1 - C62 × × + C63 × × × - C64 × × × × +6 56 5 46 5 4 41 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 111+C65 × × × × × - × × × × × 1= 1 - + +- =6 5 4 3 2 6 5 4 3 22 6 24 120 72042454» 0,65.720Заметим, что искомая вероятность является частичной суммой рядаТейлора функции 1 – е - х при х = -1 . Поэтому при больших n имеемP( A1 + A2 + A3 + K + An ) » 1 – е -1 » 0,63.1454Ответ.
P ( A) =; P ( A) ¾¾¾®0;P(B)=» 0,63;n ®¥720720P ( B ) ¾¾¾®1 – е -1.n®¥Задача 2.16. На вешалке висит n шляп. Каждый из владельцевшляпы берет шляпу наугад и уходит. Какова вероятность того, что хотя быодин уйдет в своей шляпе? (См. пример 2.16 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.16.№ n № n № n № n № n № n № n № n № n № n1 4 4 7 7 4 10 7 13 8 16 7 19 8 22 10 25 8 28 42 3 5 9 8 5 11 9 14 3 17 5 20 4 23 5 26 9 29 53 5 6 8 9 3 12 10 15 4 18 9 21 3 24 7 27 3 30 7Пример 2.17.
Имеется две одинаковых колоды карт, состоящиекаждая из N различных карт. Карты в каждой колоде перемешивают(колоду тасуют). После этого сравнивают расположение карт в колодах.Если какая-то карта занимает одно и то же положение в колодах, тоговорят, что произошло совпадение. Совпадения могут происходить налюбом из N мест и на нескольких местах одновременно. Каковавероятность ровно m совпадений? (Такая задача имеет много вариантовусловий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
