ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Плоскость разграфлена параллельными прямыми,отстоящими друг от друга на расстояние 2a. На плоскость наугад бросают:1) в вариантах 1, 5, 8, 13, 17, 16, 21, 25, 29 равносторонний треугольниксо стороной 2m;2) в вариантах 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 квадрат со стороной 2m;3) в вариантах 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 правильный шестиугольник состороной 2m;4) в вариантах 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 прямоугольник с диагональю 2mи углом между диагоналями 60°.(См.
пример 2.10, a –– номер варианта N плюс 2, m –– целая частьчисла N/2 плюс 1).2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностейВ теории вероятностей события рассматривают на фоне комплексаусловий, которые его порождают. Проще говоря, событие –– это результатопыта, который проистекает в природе по воле человека, независимо от нееили ей вопреки. Рассмотрим множество событий, которые можно32наблюдать в эксперименте при фиксированном комплексе условий. Намножестве таких событий определим следующие понятия.Суммой событий A и B называется событие, состоящее в появлениихотя бы одного из событий A или B . Сумму событий A и B обозначаютчерез A + B.Приведенные понятия можно проиллюстрировать следующимобразом.Пусть комплекс условий состоит в том, что внутрь прямоугольниканаугад бросают точку. Обозначим через А попадание точки внутрь левогокруга, а через В –– внутрь правого круга.
Тогда события A + B, AB и Асостоят в попадании точки внутрь областей, закрашенных насоответствующей части рис. 2.3.1.A+ BABАРис. 2.3.1Произведением событий A и B называют событие, состоящее впоявлении событий А и В в одном и том же опыте. Обозначаютпроизведение событий A и B через AB.Событие, состоящее в не появлении события A, называетсяпротивоположным событием и обозначается через А.Если в каждом опыте два события A и B всегда либо оба происходят,либо оба не происходят, то такие события называют равносильными илиэквивалентными и записывают: A = B.Говорят, что события А1 , А2 ,¼, Аm образуют полную группу событий,если они попарно несовместимы и в каждом опыте непременно происходитодно и только одно из этих событий.Словесные рассуждения можно перевести в символическую запись спомощью соответствий: «или» Û «+»; «и» Û «×»; «не A» Û А ;«равносильно» Û «=».Вероятность события A, вычисленная при условии, что событие Bпроизошло, называется условной вероятностью события A и обозначаетсячерез P ( A / B).33Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведениясобытий равна вероятности одного события, умноженной на вероятностьдругого события, вычисленную при условии, что первое событиепроизошло, т.е.P ( AB) = P( A) P ( B / A) = P( B) P( A / B ).События называются независимыми, если появление одного из нихне изменяет вероятности появления другого. Если события независимы, тоP ( A / B ) = P ( A), P ( B / A) = P( B) и P ( AB) = P( A) P( B).Для любого конечного числа событий вероятность произведениясобытий равна произведению вероятностей этих событий, причемвероятность каждого следующего события вычисляется при условии, чтопредыдущие события произошли, т.е.P( A1 A2 A3 × ...
× An -1 An ) == P( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) ×¼× P( An / A1 A2 A3 ×¼× An -1 ).Если события независимы, тоP( A1 A2 A3 ×¼×=An -1 An ) P ( A1 ) P( A2 ) P ( A3 ) ×¼× P ( An ).Итак, перед вычислением вероятности произведения событийнеобходимо установить, зависимы события или нет.Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы событий A иB равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместногопоявления:P( A + B) P=( A) + P ( B) – P ( AB).События называются несовместными, если их появление в одном итом же опыте невозможно. Если события A и B несовместны, тоP( A + B) P=( A) + P( B).Для трех совместных событий теорема сложения вероятностей имеет вид:P( A + B + C ) P=( A) + P ( B ) + P (C ) – P ( AB ) – P ( AC ) – P ( BC ) + P ( ABC ).Если события несовместны, тоP( A + B + C ) P=( A) + P ( B) + P (C ).Теорему сложения можно обобщить на любое конечное числослагаемых:æ n ö nP ç å Ai ÷ = å Р ( Аi ) - å P( Ai Aj ) + å P( Ai Aj Ak ) + K +1£i < j £ n1£i < j < k £ nè i= 1= ø i 1+ (-1)n +1 P ( A1 A2 ×¼× An ).Если события несовместны, тоP ( A1 + A2 + ¼+=An ) P( A1 ) + P ( A2 ) + ¼+ P( An ).Итак, прежде чем вычислять вероятность суммы событий следуетвыяснить, совместны они или нет.34Указание.
Желателен следующий порядок решения задач иоформления записи:а) обозначения событий;б) анализ взаимосвязей событий и их символическая запись;в) вычисление вероятностей.Пример 2.11. Вероятности попадания в цель при одном выстреле дляпервого, второго и третьего стрелков равны соответственно 0,3; 0,6; 0,8.Все три стрелка выстрелили в цель. Какова вероятность того, что:а) цель поражена;б) произошло только одно попадание;в) произошло ровно два попадания;г) попадут все три стрелка;д) будет хотя бы один промах?Решение. Обозначим через Ai –– событие, состоящее в попадании вцель i-го стрелка.а) Поражение цели (событие A) равносильно появлению хотя быодного из событий A1 или A2 или A3. Поэтому A = A1 + A2 + A3 .
Учитываясовместность событий, имеемP( A) = P( A1 ) + P( A2 ) + P ( A3 ) – P( A1 A2 ) – P( A1 A3 ) – P( A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ),а так как события независимы, тоP( A) = 0,3 + 0,6 + 0,8 – 0,3 × 0,6 – 0,3 × 0,8 – 0,6 × 0,8 + 0,3 × 0,6 × 0,8 = 0,944.б) Рассмотрим три случая:1) B1 = A1 А2 А3 –– первый стрелок попал в цель и при этом второй непопал и третий не попал;2) B2 = А1 А2 А3 –– первый стрелок не попал и при этом второй попал итретий не попал;3) B3 = А1 А2 А3 –– первый и второй не попали и при этом третий попал.Только одно попадание в цель (событие В) равносильно реализациихотя бы одного из несовместных событий B1 или B2 или B3 . ПоэтомуB = A1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3.В силу независимости событий Аi имеемP ( B ) = 0,3 × 0,4 × 0,2 + 0,7 × 0,6 × 0,2 + 0,7 × 0,4 × 0,8 = 0,332.в) Два попадания в цель (событие C) равносильны реализации хотябы одного из несовместных случаев: A1 A2 А3 или A1× A1 А2 A3 или А1 A2 A3 .
Всилу независимости событий Ai получаемP (C ) = 0,3 × 0,6 × 0,2 + 0,3 × 0, 4 × 0,8 + 0,7 × 0,6 × 0,8 = 0, 468.г) Все три стрелка попадут в цель (событие D), если произойдутсобытия A1 и A2 и A3, т.е. D = A1 A2 A3 . В силу независимости событий Ai имеемP ( D ) = P( A=1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0,3 × 0,6 × 0,8 = 0,144.35д) Хотя бы один промах (событие Е) равносилен появлению хотя быодного из событий А1 или А2 или А3 , т.е.
E = А1 + А2 + А3 . Вместовычисления вероятности суммы трех совместных событий, заметим, чтособытие E равносильно не появлению события D. ПоэтомуP ( E ) = P ( D ) 1 –= P( D) 1 –= 0,144 0,856.=Ответ. а) 0,944; б) 0,332; в) 0,468; г) 0,144; д) 0,856.Замечание. Значительное число вероятностных задач связано стеорией стрельб. В связи с этим уместно вспомнить изречение немецкоговоенного теоретика Карла Клаузевица (1780–1830): «Никакая человеческаядеятельность не соприкасается со случаем так всесторонне и так часто, каквойна».Задача 2.11.
В каждой из трех урн содержится по восемь шаров. Впервой урне пять белых и три черных шара. Во второй урне m1 белыхшаров, а остальные шары черные, в третьей урне m2 белых шаров, аостальные шары черные. Из каждой урны наугад выбрано по одному шару.Найти вероятности следующих событий:A –– выбран только один белый шар;B –– выбраны только белые шары;C –– выбран хотя бы один белый шар.(См.
пример 2.11 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.11.№ m1 m2 № m1 m2 № m1 m2 № m1 m2 № m1 m2 № m1 m21 2 2 6 3 2 11 4 3 16 5 3 21 6 3 26 7 32 2 3 7 3 4 12 4 4 17 5 4 22 6 4 27 7 43 2 4 8 3 5 13 4 5 18 5 5 23 6 5 28 7 54 2 5 9 3 6 14 4 6 19 5 6 24 6 6 29 1 35 2 6 10 4 2 15 5 2 20 6 2 25 7 2 30 1 4Пример 2.12.
Из 20 изделий четыре имеют скрытые дефекты.Изделия выбирают наугад по одному и проверяют. Найдите вероятностиследующих событий:A –– первым бракованным изделием окажется пятое по счетупроверяемое изделие;B –– первыми бракованными изделиями окажутся третье и четвертоепроверяемые изделия;C –– первыми бракованными изделиями окажутся третье и пятое посчету изделия.Решение. Обозначим через Ai –– событие, состоящее в выборегодного изделия при i-м выборе. Событие A произойдет, если первые36четыре изделия окажутся годными и лишь пятое по счету изделие будетбракованным.
Это означает, что A = A1 A2 A3 A4 A5 , причем события зависимы.ПоэтомуP( A) = P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A4 / A1 A2 A3 ) Р( A5 / A1 A2 A3 A4 ) =16 15 14 13 491=× × × × =» 0,094.20 19 18 17 16 969Событие B произойдет, если первые два изделия будут годными, атретье и четвертое окажутся бракованными. Символически это можнозаписать в виде B = A1 A2 A3 A4 . В силу зависимости событийP ( B ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) P( A4 / A1 A2 A3 ) =16 15 4 38=× × ×= » 0,025.20 19 18 17 323Аналогично, C = A1 A2 A3 A4 A5 иP(C ) = P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A4 / A1 A2 A3 ) Р( A5 / A1 A2 A3 A4 ) =16 15 4 14 37=× × × ×= » 0,022.20 19 18 17 16 3239187Ответ.
P ( A) =» 0,094; P ( B ) =» 0,025; P (C ) =» 0,022.969323323Задача 2.12.1. Из тщательно перемешанной колоды карт (36 карт)выбирают одна за другой карты.Варианты 1–10. Какова вероятность того, что первой картой пиковоймасти будет k-я по счету карта?Варианты 11–20. Какова вероятность того, что первыми картамипиковой масти будут k-я и (k + 1) -я по счету карты?Варианты 21–31. Какова вероятность того, что первыми картамипиковой масти будут k-я и (k + 2) -я по счету карты?(См.
пример 2.12 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.12.1.№ k № k № k № k № k № k № k № k № k № k1 2 4 5 7 8 10 2 13 4 16 7 19 10 22 3 25 6 28 92 3 5 6 8 9 11 2 14 5 17 8 20 11 23 4 26 7 29 103 4 6 7 9 11 12 3 15 6 18 9 21 2 24 5 27 8 30 11Задача 2.12.2. Среди n изделий находится два изделия со скрытымдефектом. Изделия выбирают наугад по одному и проверяют, пока обабракованных изделия не будут обнаружены.Какова вероятность того, что придется проверить ровно k изделий?Какова вероятность того, что придется проверить не менее k изделий?37№12345(См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
