ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из начала координат начинает движение точка. Накаждом шаге она с вероятностью p сдвигается на единицу вверх иливероятностью q = 1 - p сдвигается на единицу вправо. Какова вероятностьтого, что после n шагов частица окажется в точке A(k ; n - k ) ? Каковавероятность того, что за эти n шагов частица поднимется не более, чем на kединиц вверх? (См. пример 2.26 и исходные данные.)54Исходные данные к задаче 2.26.1.№ n p k № n p k № n p1 9 1/2 3 7 5 1/4 1 13 9 1/42 5 1/2 2 8 9 2/3 2 14 6 1/23 8 1/2 2 9 6 1/4 4 15 6 1/24 8 1/3 3 10 6 1/4 0 16 6 1/25 9 1/3 2 11 6 1/4 2 17 7 1/26 5 1/3 2 12 8 1/4 3 18 7 1/2k202453№192021222324n787877p1/21/22/32/31/31/3k133153№252627282930n789787p1/32/33/41/41/41/4k131335Задача 2.26.2.
Частица в начальный момент времени находится вначале координат. В каждую из последующих n секунд она сдвигается свероятностями, равными 1/2, на единицу вправо или влево независимо отдвижений в предшествующие секунды. Какова вероятность того, что черезn секунд частица окажется в точке с координатой k? (См. пример 2.26 иисходные данные.)Исходные данные к задаче 2.26.2.№ n k № n k № n k № n k № n k № n k1 8 6 6 8 –6 11 9 3 16 9 –7 21 10 –6 26 12 42 8 4 7 10 8 12 9 1 17 10 4 22 10 –8 27 12 23 8 2 8 10 6 13 9 –1 18 10 2 23 12 10 28 12 –24 8 –2 9 9 7 14 9 –3 19 10 –2 24 12 8 29 12 –45 8 –4 10 9 5 15 9 –5 20 10 –4 25 12 6 30 12 –6Пример 2.27. Каждый из двух стрелков четыре раза стреляет в цель.Вероятности попасть в цель при каждом выстреле равны для нихсоответственно 0,6 и 0,8.
Какова вероятность того, что у первого будет двапромаха, а у второго только один? Какова вероятность того, что у стрелковбудет равное число попаданий?Решение. Каждый выстрел можно считать независимым опытом.Первый стрелок должен в четырех выстрелах попасть два раза, вероятностьчего по формуле Бернулли (2.6.1) равнаP4 (2) = C42 (0,6) 2 (0, 4)2 = 0,3456.Второй должен попасть три раза, вероятность чего равнаP4 (3) = C43 (0,8)3 (0,2)1 = 0,4096.Вероятность двух промахов у первого стрелка и одного промаха увторогострелкаравна,всилунезависимостиопытов,0,3456 × 0, 4096= 0,1416.Вероятность того, что у каждого стрелка будет m попаданий равнаC4m (0,6) m (0, 4)4-m C4m (0,8) m (0, 2) 4-m .Поэтому вероятность равного числа попаданий равна4åCm =0m4(0,6)m (0,4) 4-m C4m (0,8) m (0, 2) 4-m = 0,2102.55Ответ.
0,3456; 0,2102.Задача 2.27. Биатлонисту на каждом из двух рубежей необходимопоразить пять мишеней. Вероятность поразить мишень при выстреле лежа(на первом рубеже) равна p1, а при выстреле стоя (на втором рубеже) этавероятность равна p2. Какова вероятность того, что оба рубежа биатлонистпреодолеет без промахов? Какова вероятность того, что на каждом рубежебиатлонист допустит по одному промаху.
Какова вероятность того, чтобиатлонист допустит только один промах? Какова вероятность того, что напервом рубеже биатлонист допустит k1 промах, а на втором k2 промахов.(См. пример 2.27 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.27.№ p1 p2 k1 k2 № p1 p2 k1 k2 № p1 p2 k1 k21 0,95 0,85 02 11 0,95 0,75 02 21 0,80 0,65 222 0,95 0,80 12 12 0,95 0,70 02 22 0,90 0,70 223 0,90 0,85 02 13 0,90 0,65 12 23 0,90 0,70 124 0,90 0,80 02 14 0,90 0,60 12 24 0,80 0,70 125 0,90 0,75 12 15 0,85 0,60 12 25 0,80 0,70 036 0,90 0,70 02 16 0,85 0,80 12 26 0,90 0,75 137 0,85 0,80 12 17 0,90 0,70 12 27 0,90 0,65 138 0,85 9,75 02 18 0,90 0,75 22 28 0,90 0,65 229 0,85 0,75 12 19 0,80 0,75 12 29 0,90 0,75 1210 0,80 0,70 22 20 0,80 0,65 12 30 0,95 0,75 22Пример 2.28. Среди 300 изделий 15 бракованных.
Для проверкинаугад выбрали пять изделий. Какова вероятность того, что среди них нетбракованных? Сравнить точное значение вероятности с приближенным,найденным по формуле Бернулли.Решение. Пусть A –– интересующее нас событие. Выбрать пять5изделий из 300 можно C300способами. Событию A благоприятствуют теспособы выбора, при которых пять изделий выбирается из 285 годных.5Число таких способов равно C285. Точное значение искомой вероятности (с55точностью до одной десятитысячной) равно P ( A) = C285/ C300=0,7724.Так как партия изделий велика, то выбор одного за другимнескольких изделий не меняет заметно пропорции в этой партии.
Поэтомуможно считать, что производится пять независимых опытов и чтовероятность выбора бракованного изделия в каждом опыте примерно равнаp = 15 / 300 = 0,05. По формуле Бернулли (2.6.1) приближенное значениеравно:5P( A) = P5 (0) C50 (0,05) 0 (0,95)=0,7738. =Ответ. Точное значение 0,7724;приближенное по формуле Бернулли 0,7738.56Задача 2.28. При приемочном контроле из партии, состоящей из nизделий, наугад проверяют m изделий. Если среди проверяемых окажетсяхотя бы одно бракованное, то партия бракуется. Какова вероятностьприема партии, если на самом деле в ней k бракованных изделий?Сравните точное значение этой вероятности с приближенным, найденнымпо формуле Бернулли. (См. пример 2.28 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.28.№ n m k № n m k № n m k № n m k № n m k1 100 10 1 7 200 10 4 13 75 5 3 19 300 25 3 25 500 25 22 100 10 2 8 200 20 2 14 75 10 3 20 300 50 3 26 150 10 33 100 10 3 9 200 20 1 15 50 10 1 21 400 40 2 27 150 15 14 100 20 1 10 200 30 1 16 100 5 1 22 400 20 2 28 150 30 15 100 15 1 11 75 15 1 17 100 15 2 23 500 50 2 29 150 15 26 200 10 2 12 50 5 1 18 300 30 3 24 500 25 4 30 200 10 1Пример 2.29.
Два игрока А и В подбрасывают монету. Если монетавыпадает гербом вверх, то А получает очко. Если выпадает решка, то очкополучает игрок В.а) Какова вероятность того, что после 10 бросков монеты счет будетравным?б) Какова вероятность того, что после этих бросков у игрока А будетна два очка больше?Решение. Каждый бросок монеты можно считать независимымопытом, и таких опытов производится 10. Счет будет равным, если врезультате десяти бросков герб выпадет пять раз. Вероятность этого поформуле Бернулли (2.6.1) равна63 1Р10 (5) = С105 (0,5)= 10» .256 4Игрок А получит на два очка больше, если в десяти бросках гербвыпадет шесть раз, вероятность чего равна105 1Р10 (6) = С106 (0,5)= 10» .512 5Ответ.
63 / 256 » 1 / 4; 105 / 512 » 1 / 5.Задача 2.29. В урне содержится m1 белых и m2 черных шаров. Изурны производится повторный выбор n шаров.а) Какова вероятность того, что будет выбрано равное число белых ичерных шаров?б) Какова вероятность того, что белых будет выбрано на k больше?в) Какова вероятность того, что будет выбрано не менее двух белыхшаров?57№12345678910(См. пример 2.29 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.29.m1 m2 nk№ m1 m2 n1262 11 12 121282 12 12 1012 10 2 13 2363182 14 23831 10 2 15 23 102162 16 3262182 17 3283162 18 32 1021 10 4 19 4261284 20 428k4424424424№21222324252627282930m14222444333m22444333444n10681068106810k4244224244Пример 2.30.
Вероятность того, что в пяти опытах событие Aпоявится хотя бы один раз, равна 0,92224. Какова вероятность того, в трехопытах это событие появится не более одного раза?Решение. Пусть вероятность появления события в одном опыте равнаp. По условию,5P5 (k ³ 1)= 1 - P5=(0) 1 - C=50 p 0 q 5 1 - q=0,92224.Откуда q 5 = 0,07776, т.е.
q = 0,6 , а p = 0, 4 . ПоэтомуP3 (k £ 1) P3 (0)= + P3 (1) =C30 (0, 4) 0 (0,6) 3 + C31 × 0,4 × (0,6) 2 = 0,216 + 0,432 = 0,648.Ответ. 0,648.Задача 2.30. Вероятность того, что в n независимых опытах событиеA произойдет хотя бы один раз, равна p. Какова вероятность того, что в mнезависимых опытах это событие появится не менее k раз? (См. пример2.30 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.30.pm k № npm k № npm k№ n1 11 3 0,973 52 21 3 0,936 521 3 0,488 41 12 4 0,7599 31 22 4 0,7599 322 4 0,5904 31 13 3 0,488 21 23 3 0,973 413 3 0,657 22 14 4 0,7599 52 24 4 0,7599 514 4 0,7599 31 15 3 0,657 51 25 3 0,488 525 3 0,784 51 16 4 0,8704 31 26 4 0,8704 516 4 0,8704 22 27 3 0,657 412 17 3 0,784 57 3 0,875 41 18 4 0,9375 32 28 4 0,9375 528 4 0,9375 51 19 3 0,875 21 29 3 0,784 219 3 0,936 21 20 4 0,5904 31 30 4 0,9744 5110 4 0,5904 558Пример 2.31.
Вероятность того, что в четырех независимых опытахсобытие A произойдет два раза, рана 3/8. Какова вероятность того, что вшести независимых опытах событие тоже произойдет два раза?Решение. Пусть вероятность события A равна P ( A) = p. По формулеБернулли (2.6.1)P4 (2) = C42 p 2 (1 - p)2 = 6 p 2 (1 - p)2 = 3 / 8 ,откуда p 2 (1 - p)2 = 1 / 16 или p (1 - p ) = 1 / 4.В итоге имеем равенство 4 p 2 - 4 p + 1 = 0 , из которого следует, чтоp = 1 / 2. Тогда P6 (2) = C62 0,52 (1 - 0,5)2 = 15 / 64.Ответ. 15/64.Задача 2.31. Вероятность того, что в четырех независимых опытахсобытие A произойдет два раза, равна:8/27 в вариантах 1, 6, 11, 16, 21, 26;27/128 в вариантах 2, 7, 12, 17, 22, 27;96/625 в вариантах 3, 8, 13, 18, 23, 28;25/216 в вариантах 4, 9, 14, 19, 24, 29;216/625 в вариантах 5, 10, 15, 20, 25, 30.В нечетных вариантах P ( A) = p £ 1 / 2, в четных вариантах P ( A) = p > 1 / 2.В вариантах 1–10 найдите P5(2), в вариантах 11–20 найдите P5(3), ввариантах 21–30 найдите P5(4).(См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
