ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, (1269688), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Цена лотерейного билета равна 50 рублей. В даннойлотерее каждый пятый билет выигрывает. Величина выигрыша на одинбилет X имеет распределение:Xбез выигрыша100 руб.200 руб.1000 руб.P0,80,120,070,01Некто приобрел пять билетов. Необходимо вычислить его среднийвыигрыш от участия в этом тираже лотереи.Решение. Обозначим через Xi выигрыш, приходящийся на i-й билет.Тогда общий выигрыш Y= X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 .
По свойствамматематического ожиданияM (Y ) = M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + M ( X 3 ) + M ( X 4 ) + M ( X 5 ),где M ( X i ) = 0 × 0,8 + 100 × 0,12 + 200 × 0,07 + 1000 × 0,01 = 36.Поэтому средний выигрыш на пять билетов составит 5 × 36 = 180 руб.,но за билеты было заплачено 250 руб. В итоге, средний «выигрыш»(фактически, проигрыш) равен 180 – 250 = –70 руб.Ответ. –70 руб.Задача 2.38. Цена лотерейного билета равна 50 руб. Величинавыигрыша на один билет X имеет распределениеXбез выигрыша100 руб.500 руб.1000 руб.1 - p1 - p2 – p3Pp1p2p3Вы приобрели n билетов. Вычислите Ваш средний выигрыш отучастия в этом тираже лотереи. (См.
пример 2.38 и исходные данные.)Исходные данные к задаче 2.38.№ np3 № np3 № np3p1 p2p1 p2p1 p23 0,1 0,05 0,01 11 7 0,1 0,05 0,019 21 5 0,1 0,05 0,01914 0,12 0,04 0,01 12 8 0,1 0,03 0,01 22 6 0,1 0,04 0,01276345678910567834560,120,10,10,10,10,10,120,120,030,030,040,040,030,050,040,030,0150,010,0150,010,0150,010,010,0151314151617181920345678340,10,10,10,10,120,120,10,10,040,040,030,050,040,030,030,040,0150,010,0150,010,010,0150,010,0152324252627282930783456780,10,10,120,120,10,120,120,10,030,050,040,030,050,040,030,030,0150,010,010,0150,010,010,0150,01Пример 2.39. Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадетгерб, или пять раз подряд не выпадет цифра. Пусть X –– число бросковмонеты.
Напишите закон распределения случайной величины X и найдитеее математическое ожидание.Решение. Если при первом же броске выпадет герб, то X = 1,вероятность чего равна 1/2.Бросков понадобится два, если сначала выпадет цифра, а при второмброске –– герб. Вероятность такого исхода равна (1 / 2)(1 / 2) = 1 / 4.Монету придется бросать трижды, если сначала дважды выпадетцифра и при третьем броске –– герб.
Вероятность этого равна (1 / 2)(1 / 2) ××(1 / 2) = 1 / 8.Аналогично P ( X = 4) (1 / 2)(1 / 2)(1 / 2)(1=/ 2) 1 / 16.=Если четыре раза подряд выпадет цифра, то необходим пятыйбросок, который независимо от результата (с вероятностью один) будетпоследним. Поэтому P ( X = 5)= (1 / 2)(1 / 2)(1 / 2)(1/ 2) × 1 = 1 / 16.Закон распределения числа бросков имеет вид:X12345P1/21/41/81/16 1/16Среднее число бросков равноM ( X ) = 1·1 / 2 + 2·1 / 4 + 3·1 / 8 + 4·1/ 16 + 5·1 / 16 = 31 / 16 » 2.Ответ.
31 / 16 » 2.Задача 2.39. Стрелок стреляет в цель, пока не попадет, либо пока несделает m промахов. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равнаp. Пусть X –– число произведенных выстрелов. Напишите законраспределения для случайной величины X и найдите ее математическоеожидание. (См.
пример 2.39 и исходные данные).Исходные данные к задаче 2.39.№ p m № p m № p m № p m № p m № p m1 0,6 5 6 0,4 6 11 0,3 4 16 0,5 4 21 0,55 4 26 0,65 62 0,6 4 7 0,7 4 12 0,3 6 17 0,6 6 22 0,55 5 27 0,75 4773 0,6 64 0,4 45 0,4 58 0,7 59 0,7 610 0,3 513 0,8 414 0,8 515 0,8 618 0,45 419 0,45 520 0,45 623 0,55 624 0,65 425 0,65 528 0,75 529 0,75 630 0,35 4Пример 2.40. Вероятность попадания в цель при каждом выстрелеравна 1/3. Имеется семь патронов. Стрельба производится до тех пор, покане будет трех попаданий или пока не кончатся патроны. Пусть X –– числовыстрелов. Найдите математическое ожидание случайной величины X.Решение. Найдем сначала закон распределения случайной величиныX. Для трех попаданий необходимо минимум три выстрела. Вероятностьтрех попаданий подряд равна (1/3)3. Поэтому P ( X = 3) (1 /= 3)3 1 / =27.Выстрелов понадобится четыре, если в первых трех выстрелах будеттолько два попадания (вероятность чего равна С32 (1 / 3)2 (2 / 3) = 2 / 9 ) и при2 1 2четвертом выстреле будет попадание.
Поэтому P ( X = 4)=× =.9 3 27Придется произвести пять выстрелов, если в первых четырех выстрелахбудет два попадания (вероятность чего равна С42 (1 / 3)2 (2 / 3) 2 = 8 / 27 ) и8 1 8попадание будет при пятом выстреле. Поэтому P ( X = 5)=× =.27 3 81Аналогично P ( X = 6) С= 52 (1 / 3) 2 (2 / 3)3 × (1 / 3) = 80 / 729 .Выстрелов будет семь, если к моменту седьмого выстрела будет дваили меньше двух попаданий.
Поэтому P ( X = 7) С60 (1 / 3) 0 (2=/ 3) 6 ++С61 (1 / 3)1 (2 / 3)5 + С62 (1 / 3)2 (2 / 3)4= 496 / 729. Заметим, что проще этувероятность было посчитать, отняв от единицы вычисленные ужевероятности остальных значений. Итак, случайная величина X имеет законраспределения:X34567P1/272/278/8180/729 496/72912880496 4609M ( X=) 3× + 4 × + 5× + 6 ×+ 7 ×=» 6,3 .272781729729 7294609Ответ. M ( X=)» 6,3.729Задача 2.40. Вероятность того, что каждая из имеющихся в наличииn лампочек исправна, равна p. Лампочки проверяют по одной, пока небудет отобрано k годных или не будут проверены все до единой лампочки.Пусть X –– число проверенных лампочек. Найдите закон распределенияслучайной величины X и ее математическое ожидание.
(См. пример 2.40 иисходные данные.)78№123456Исходные данные к задаче 2.40.p k n № p k n № p0,2 2 5 7 0,3 2 6 13 0,20,3 3 6 8 0,2 3 6 14 0,40,4 3 7 9 0,3 2 7 15 0,30,5 2 6 10 0,4 4 7 16 0,50,2 3 7 11 0,5 2 5 17 0,60,4 3 6 12 0,6 3 7 18 0,5k223324n657657№192021222324p0,20,40,50,60,30,6k222324n767657№252627282930p0,40,50,60,30,50,6k232442n776767Пример 2.41. Из 12 изделий три имеют скрытые дефекты. Наугадвыбраны четыре изделия. Напишите закон распределения числа изделий соскрытыми дефектами среди выбранных.Решение.
Пусть X –– число деталей со скрытыми дефектами средивыбранных четырех. Это дискретная случайная величина с возможнымизначениями 0, 1, 2 ,3. Четыре детали из 12 можно выбрать С124 = 495 способами.Значению X = 0 благоприятствуют С94 = 126 способов выбора изделия. Поэтому P ( X = 0) 126 / =495 14 / 55.= Значению X = 1 благоприят-=28 / 55.= Значению X = 2ствуют С31С93 = 252 способа, P ( X = 1) 252 / 495С32С92 = 108 способов, P ( X= 2) 108 =/ 495 12 / =55.Наконец, значению X = 3 благоприятствуют С33С91 = 9 способов, P ( X = 3) == 9 / 495 = 1 / 55.
Случайная величина X имеет закон распределенияX0123P14/55 28/55 12/551/55Среднее число деталей со скрытыми дефектами в выборке равноM ( X ) = 0·14 / 55 + 1· 28 / 55 + 2· 12 / 55 + 3·1 / 55 = 1.Ответ. 1.благоприятствуютЗадача 2.41. В партии из n изделий m имеют скрытые дефекты.Наугад выбраны r изделий. Пусть X –– число бракованных изделий средивыбранных. Напишите закон распределения для случайной величины X ивычислите ее математическое ожидание. (См. пример 2.41 и исходныеданные.)Исходные данные к задаче 2.41.№ n m r № n m r № n m r № n m r № n m r1 10 4 3 7 9 4 3 13 8 4 3 19 12 5 3 25 12 3 42 10 5 3 8 9 3 3 14 8 2 3 20 12 4 3 26 11 4 33 10 3 3 9 9 5 3 15 8 3 3 21 12 3 3 27 11 5 34 10 4 4 10 9 4 4 16 8 4 4 22 12 5 4 28 11 3 3795 10 5 4 11 96 10 3 4 12 93 4 17 85 4 18 83 4 23 11 5 4 29 11 4 45 3 24 12 4 4 30 11 3 4Пример 2.42. Случайная величина X принимает значения 1, 3, 5, 7, 9с вероятностями P ( X = k ) = ak , где a –– некоторая постоянная величина.Найти математическое ожидание X.Решение.
Так как сумма вероятностей всех возможных значенийслучайной величины равна единице, то a·1 + a·3 + a·5 + a·7 + a·9 =a·25 =1,a = 1 / 25 и P ( X = k ) = k / 25. ПоэтомуM ( X ) = 1·1 / 25 + 3·3 / 25 + 5·5 / 25 + 7·7 / 25 + 9·9 / 25 =165 / 25 =6,6.Ответ.
6,6.Задача 2.42. Случайная величина Х принимает значения n, n + 1,n + 2, n + 3. Вероятность Р ( Х = х) = sх, где s –– некоторая постояннаявеличина. Найти значение s, запишите закон распределения Х, вычислитематематическое ожидание Х. (См. пример 2.42, n –– номер варианта.)Пример 2.43. Из чисел 1, 2, 3, …, 20 наугад без возвращениявыбирают восемь чисел. Найти математическое ожидание их суммы.Решение.
Обозначим через Xi число, выбранное i-м по порядку. Тогдадля любого m = 1, 2,3,¼, 20 имеем19 18 1720 - m + 111× × ×K ××=.P ( X i = m) =20 19 1820 - m + 2 20 - m + 1 20Например, вероятность того, что пятое по порядку число будет равно mравна19 18 17 16 11P( X i = m) =× × × × =.20 19 18 17 16 20Это означает, что для i-го по порядку числа равновозможны все значенияот 1 до 20. Поэтому математическое ожидание i-го числа равно M ( X i ) =8111= 1 × + 2 × + K + 20 × = 10,5. Сумма выбранных чисел Y = å X i имеет202020i =18математическое ожидание M (Y ) = å M=( X i ) 8 × 10,5 = 84.i =1Ответ. 84.Задача 2.43. Из чисел от 1 до n выбирают наугад без возвращения kчисел. Найдите математическое ожидание суммы этих чисел. Найдитематематическое ожидание суммы этих чисел при повторном выборе.
(См.пример 2.43, n –– номер варианта плюс пять, k = 4 в нечетных вариантах иk = 6 в четных вариантах.)80Пример 2.44. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 наугад без возвращениявыбирают четыре числа. Пусть X –– наибольшее из этих чисел. Требуетсянайти закон распределения случайной величины X и ее математическоеожидание.Решение. Случайная величина X может принимать значения 4, 5, 6, 7.Вычислим вероятности этих значений. Всего имеется С74 = 35 способоввыбрать любых четыре числа из семи. Реализуется значение X = 4 , еслибудут выбраны первые четыре числа 1, 2, 3, 4.
Это можно сделатьединственным способом. Поэтому P ( X = 4) = 1 / 35. Значение X = 5получится, если будет выбрано число пять и в добавление к этому тричисла из первых четырех. Это можно сделать С43 = 4 способами. ПоэтомуP ( X = 4) = 4 / 35. Величина X = 6 , если будет выбрана цифра шесть и вдополнение к ней любых три числа из первых пяти. Это можно сделатьС53 = 10 . Следовательно, P ( X = 5) = 10 / 35. Если будет выбрана цифра семьи в дополнение к ней любые три из первых шести, то реализуется значениеX = 7. Вероятность этого P ( X = 7) С63 =/ 35 20 =/ 35. В итоге имеем законраспределения:X4567P1/354/3510/35 20/35Поэтому M ( X=) 4 × 1 / 35 + 5 × 4 / 35 + 6 × 10 / 35 + 7 × =20 / 35 6,4.Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
