Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Рис.10,2.2 иллюстрирует блок-схему эквивалентного канала с дискретным временем и эквалайзера. АНШ ! ь1 Рис. 10.2.2. Блок-сжма канала с обнулюошим зкюлайиром Каскадное объединение обеляющего фильтра с передаточной функцией 1/Е (г ') и эквалайзера с нулевыми взаимными помехами (ЭНВП) с передаточной функцией ! /г(х) приводит к эквивалентному ЭНВП с передаточной функцией 1 1 Е(х)г (х ) Х(г) как показано на рис.10.2.3.
Этот комбинированный фильтр имеет на входе последовательность (ук) отсчетов согласованного фильтра, определенную (10.1.10). Его выход состоит из желательных символов, искаженных только аддитивным гауссовским белым шумом с нулевым средним. Импульсная характеристика комбинированного фильтра равна 519 Таким образом, Я(с) является функцией взвешивающих коэффициентов ячеек эквалайзера. При помощи эквалайзера с неограниченным числом ячеек возможно выбрать веса ячеек так, что У(с) = О, т.е.
г/„= 0 для всех п, исключая и = 0. Это значит, что МСИ может быть полностью исключено. Величины весов ячеек для выполнения этой цели определяются из условия то ис1 Зкккккяккняыя эквимн яр С акт=- — — '" + ф з -ЙЗн С='1" "РЗ Гкуккоксккя мтм 1 кк1 где /; Рнс. 10.2.3. Блок-схема канала с эквивалентным обнулмощим эквалайзером '; = — ~С(.)"'/с = —,~ ' /, (10.2.9) 2тт/' 2х/ Х(я) где интегрирование выполняется по замкнутому контуру, который содержит внутри себя область сходимости С'(я) . Поскольку Х(я) — это полином с 2Л корнями (р„р„р„1/р„1/р„„...1/р ), то следует, что С"(я) должен сходиться в плоскости, внутри единичной окружности (я = ез~). Следовательно, контуром интегрирования может быть единичная окружность.
Качество эквалайзера с неограниченным числом ячеек, который полностью устраняет МСИ, легко выразить через отношение сигнал-шум (ОСШ) на его выходе. Для математического удобства мы нормируем энергию принимаемого сигнала к единице . Это з н предполагает, что к/, =1 и что ожидаемая величина !зк~ также равна единице. Тогда ОСШ равно обратной величине дисперсии шума ту'„на выходе эквалайзера, Величину о„можно просто определить, если заметить, что шумовая последовательность 1и,з/ на входе эквивалентного ЭНВП с характеристикой С'(я) имеет нулевое среднее и спектральную плотность мощности Ф, (оз) = М,Х(ез т), !оз~ < —, Т (10 2.10) где Х(е'"т) получено из Х(я) подстановкой я = е' т.
Поскольку С'(я) тк1/Х(г), следует, что выходная шумовая последовательность эквалайзера имеет спектральную плотность мощности а обр $ Х(е' 1 где т ~!Н (и согл 1; (10, ! для !к инт< слоз хар' пре; Нап пыт так Сд отс Ф ()гк ","„,, 1~!« —,',. Х(е'"') '1' Следовательно, дисперсия шума на выходе эквалайзера тт„= — ~ Ф (оз)с/а = — Я ! - гт 2п - ктХ(ез т)' (10.2.11) (10.2. 12) а ОСШ на выходе ЭНВП равна Ь и ~ 2,тХ( зкт (10.2.13) ' Этя нормнровмз используется во всей главе для математического удобства. 52н где индекс у у указывает на то, что эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. Спектральная характеристика Х(е'"т), соответствующая преобразованию Фурье последовательности отсчетов (х,/, имеет интересную связь с характеристикой аналогового фильтра Н(и), используемого в приемнике.
Поскольку х„=~ й ЯЬ(~+КТ)й, то используя теорему Парсеваля имеем х„= — ~ ~Н(о)~ е'~'аЬ (10.2. 14) где Н(в)- преобразование Фурье от ЬИ.Но интеграл в 10 2.14 можно выразить в форме х = — ~ ~~> Н я+ — е'~~Фа Фурье (дискретное) (х,) равно (1 0.2.15) Теперь преобразование О Х(е'"") = Хх,е ' (10.2.16) ь=-а а обратное преобразование Фурье легко выразить так Т л1т х„= — ~ Х(е'" )е'~доз . (10.2.17) Из сравнения (10.2.15) и (10.2.17) мы получаем желательное соотношение между Х(е'"") и Н(в).
Онотаково (~~г) 1т; Н~ гпп ~ ~ и Т Т Т (10.2.18) Юд ~' йЬ гп к~г2 )Н(63+гпл!Т)~ (10.2.19) Мы видим, что если сложенная спектральная характеристика ~Н(в~ имеет нули, интеграл оказывается неограниченным, а ОСШ становится равным нулю. Другими словами, качество эквалайзера плохое всякий раз, когда сложенная спектральная характеристика проходит через нуль или имеет малое значение. Такое поведение возникает прежде всего потому, что эквалайзер, устраняя МСИ, увеличивает алдитивный шум. Например, если канал имеет нуль в своей частотной характеристике, линейный ЭИВП пытается это компенсировать введением неограниченного усиления на этой частоте. Но такая компенсация искажений в канале достигается ценой увеличения алдитивного шума. С другой стороны, идеальный канал, связанный с подходящим синтезом, который вед6т к отсутствию МСИ, будет иметь сложенный спектр, который удовлетворяет условию: 1 ',Г Н~в+ — =Т, ~а~~ —,.
27Р? Я Т (10.2.20) В этом случае ОСШ достигает максимального значения, а именно 1 у., Но (10.2.21) а где правая часть (10.2.18) называется сложенным спектром ~Н(а): Мы также видим, что МЦ = ХЫ, где ХЫ вЂ” преобразование Фурье от сигнала хи, а х(г) — отклик согласованного фильтра на входное воздействие Ь(г). Следовательно, правую часть (10.2.18) можно также выразить через ХЫ.
Подставив Х(е' ~) согласно (10.2.18) в (10.2.13), получаем желательное выражение для ОСШ в виде Эквалайзер ограниченной длнньг. Теперь обратим наше внимание на эквалайзер, имеющий 2К+1 ячеек. Поскольку с, = 0 для Ц > К свертка от (/'„) и 1с„) равно нулю вне области — К<и<К+А-1. Это значит, что гг„=О для и< — К и п>К+1.— 1. Прн ква рас нормировке г1, к единице, пиковое искажение равно коз чиг У(С) = ~1 Ц=,'г ~~Г С, 1', (10.2. 22) --к псО лег исг знг по< й= — Х!4 'Ы=' г<л< меньше единицы.
Это условие эквивалентно наличия открьггого глазка априори до выравнивания. Это значит, что МСИ не настолько тяжелая, чтобы закрыть глазок. При этом условии пиковое искажение У(с) минимизируется выбором коэффициентов эквалайзера для обеспечения г1„=0 для 1<~и~<К и г1, =1. Другими словами. общее решение по минимизации У(с), когда Р, <1, является «нуль-форсированное» решение лля 1<1„) в области 1<Я<К. Однако величины 1г1„) для К+1<и<К+А-1 в общем ненулевые. Эти ненулевые величины образуют остаточную МСИ на выходе эквалайзера. 10.2.2. Критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО) При использовании критерия минимума СКО, взвешивающие коэффициенты ячеек 1; ;) эквалайзера подстраиваются так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки в, =1,.-1„ (10,2.24) об где 1„-информационный символ, переданный на Й-ом сигнальном интервале, а 1„— оценка этого символа на выходе эквалайзера, определяемая (10.2.1).
Если информационные символы (1„) комплексные, то показатель качества при СКО критерия, обозначаемый 1, определяется так .1 = ЕЦ = ф» — 1~( (10.2.25) С другой< стороны, когда информационные символы вещественные, показатель качества просто равен квадрату вещественной величины ек. В любом случае, 3 является пс 522 Хотя эквалайзер имеет 2К+1 регулируемых параметров, имеется 2К+1 ненулевых значений откликов (д„). Следовательно, в общем невозможно полностью исключить МСИ на выходе эквалайзера. Здесь всегда имеется остаточная интерференция даже при использовании опгимальных коэффициентов. Проблема заключается в минимизации У(с) по коэффициентам Д. Лакки (1965) показал, что пиковое искажение, определяемое (10.2.22), является выпуклой функцией коэффициентов (с,). Это значит, что она обладает глобальным минимумом, а не относительным минимумом.
Ее минимизацию можно выполнить численно, например, методом скорейшего спуска. Немного больше можно сказать об общем решении этой проблемы минимизации. Однако, для одного частного, но важного случая, решение по минимизации У(с) известно. Это случай, когда искажение на выходе эквалайзера, определяемое как (10.2.23) квадратичной функцией коэффициентов эквалайзера Д. При дальнейшем обсуждении мы рассмотрим минимизацию комплексной формы, даваемой (10.2.25), (10.2.27) 1.-Хс1о., о' 1= =О или, что эквивалентно, О '~,с,.Е(и, р,„) = Е(1р„1), — о <1 «о, (10.2.28) 1 — — Р Чтобы вычислить моменты в (10.2.28), мы используем выражение для и„даваемое (10.1.16).
Таким образом, получим 0 (при других 1,1) и (-1' < 1 ~ О) Е(М )=~ ' (10.2.30) ( 0 (при других Р) Теперь, если подставим (10.2.29) и (10.2.30) в (10.2.28) и возьмем г-преобразование сп обеих частей результирующего уравнения, мы находим СЯ(Г(г)Е(г ')+М~~=Р (г '). (10.2.31) Следовательно, передаточная функция эквалайзера, основанного на критерии минимума СКО„равна (10.2.32) Если обеляющий фильтр включен в С(г), мы получаем эквивалентный эквалайзер с передаточной функцией 1 1 С'(г)— (10.2.33) Р(г)Е (г ')+М, Х(г)+У, 523 Эквалайзер неограниченной длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
