Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 104
Текст из файла (страница 104)
= х(пТ) = ) Ь'(»)Ь(»+ нТ)с»». (10.1.9) Таким образом, х(») представляет выход фильтра, имеющего импульсную характеристику Ь (-») и вход Ь(») . Другими словами, х(») представляет автокорреляционную функцию Ь(») . Соответственно (х.) представляют отсчеты автокорреляционной функции Ь(»), взятые периодически через 1 Т. Мы не интересуемся тонкостями построения фильтра, согласованного с Ь(»), поскольку на практике мы люжем ввести необходимую задержку, чтобы обеспечить реализуемость согласованного фильтра.
Если мы подставим для ю;(») в (10.1.2) соотношение (10.1.1) ляы получим уь =с~~1.хь-л+~ь ~ (10. 1. 10) л где ч означает последовательность отсчетов адаптивного шума на выходе фильтра, т,е, л = ) я(»)Ь (» — ФТ)»»». (10.1.1 1) Выходы демодулятора (согласованного фильтра) в моменты отсчета искажены МСИ, как указано в (10.1.10). В любой практической системе разумно предположить, что МСИ влияет на ограниченное число символов. Таким образом, мы можем предположить, что х„=0 для ~п~> 1.. Следовательно, МСИ, наблюдаемую на выходе демодулятора, можно рассматривать как выход машины с конечным числом состояний.
Это позволяет выход канала с МСИ представить диаграммой решетки, а оценки максимального правдоподобия информационной последовательности (1„1„...,1„) определяются наиболее вероятным путем по решетке, при данной принятой на выходе демодулятора последовательности (у.). Ясно, что алгоритм Витерби обеспечивает эффективный метод выполнения поиска по такой решетке. Метрики, которые вычисляются при максимально правдоподобном последовательном оценивании (МППО, М1.БЕ) последовательности (1„), определены (10.1,8). Можно видеть„что эти метрики можно вычислить рекуррентно посредствам алгоритма Внтерби согласно соотношению 10.1.2.
Модель канала с МСИ с дискретным временем При рассмотрении ограниченных по полосе каналов с МСИ удобно разработать эквивалентную модель с дискретным временем для аналоговой (с непрерывным временем) системы. Поскольку передатчик посылает символы в дискретные моменты времени со скоростью 1/Т символов в секунду, а стробированный выход согласованного фильтра приемника также является сигналом дискретного времени с отчетами, возникающими со скоростью 1/Т, то следует, что каскадное соединение аналогового фильтра передатчика с импульсной характеристикой у(Г), канала с импульсной характеристикой с(г), согласованного фильтра в приемнике с импульсной характеристикой А ( — г) н стробирующего устройства можно представить эквивалентным трансверсальным фильтром с дискретным временем, имеющий набор коэффициентов усиления (т„).
Следовательно, мы имеем эквивалентный трансверсальный фильтр с дискретным временем, который покрывает временной интервал 2АТ секунд. Его входом является информационная последовательность символов (1 ), а его выходом является последовательность с дискретным временем (у,), определяемая (10.1 10). Эквивалентная модель с дискретным временем дана на рис.10.1.2. 1.1 Рис. 1О. 1.2.
Эквивллентнал модель дискретного времени длл клнвлв е МСИ Основная трудность при использовании этой. модели с дискретным временем возникает при оценивании качества различной техники выравнивания или техники оценивании, что обсуждается в следующих разделах. Трудности обусловлены корреляцией отсчетов шумовой последовательности (ч,) на выходе согласованного фильтра. Ряд шумовых величин (~,) образуют последовательность с гауссовским распределением, с нулевым средним и автокорреляционной функцией (смотри задачу 10.5) л (10. !.13) 2 ' ! О (при других л, у) Таким образом, шумовая последовательность коррелирована, если не выполняется условие х„= О, л ~ О.
Поскольку более удобно иметь дело при расчете такой характеристики качества как вероятность ошибки с белой шумовой последовательностью, то желательно обелить шумовую последовательность путем дальнейшей фильтрации последовательности (у,). Обеляющий фильтр с дискретным временем определяется следующим образом: Пусть Х(.) обозначает (двухстороннее) х-преобразование отсчетов автокорреляционной функции (х ),т.е. ь Х(2) = !' х„,л (10.1. 14) а=-с Поскольку х, .= х,, следует Х(е) = Х'(х ') и 2Л корней Х(е) имеют симметрию, так что, если р корень, то 1/р тоже корень.
Следовательно, Х(г) можно факторизовать и выразить так Х(г) = г(х)г''(х '), (10.1. 15) где р(г) — полином степени Ь, имеющий корни р„р„..., рх, а / (х') — полипом степени /., имеющий корни 1/р„1/р„, ..., 1/р,. Подходящий обеляюшпй фильтр имеет .-преобразование 1// (-"'). Поскольку имеется 2ь возможных способов выбора корней Р*(= '), а каждый выбор ведет к фильтру, который одинаков по амплитудной характеристике и различен по фазе по сравнению с другими выборами, то мы предлагаем выбрать уникальное /г (х ), имеющее минимальную фазу, т.е. полином, имеющий все своп корни внутри единичного круга.
Тогда все корни /г (е 1) лежат внутри единичной окружности (с центром в начале координат), а 1/Г (г ')- физически реализуемый, устойчивый. фильтр с дискретным временем. Следовательно, пропуская последовательность (у„) через цифровой фильтр 1/Р (х ') получаем выходную последовательность (о,), которую можно представить так (1О.! . 16) че п! В ф: сз ф в! П н; л звл где (т1,) — последовательность отсчетов гауссовского белого шума с нулевым средним, а (/,)- набор взвешивающих коэффициентов в эквивалентном трансверсальном фильтре с дискретным временем, имеющий передаточную функцию / (х) (причем не Е*(з )). В общем последовательность (о ) комплексная . В совокупности каскадное соединение фильтра передатчика дЯ, канала е(/), согласованного фильтра Ь (-/), стробирующего устройства и фильтра для взвешивания шума с дискретным временем 1/г (-"') можно представить в виде эквивалентного траисверсального фильтра с дискретным временем, имеющего набор взвешивающих коэффициентов (/'„) .
Алдитивная шумовая последовательность (т1,), искажающая сигнал на выходе трансверсального фильтра с дискретным временем, является белой гауссовской шумовой последовательностью с нулевым средним и дисперсией М„. Рис.10.1.3 иллюстрирует модель эквивалентной дискретной системы с белым шумом.
Мы будем ссылаться на эту модель, как на эквивалентную модель с дискретным временем и белым шуиом. Пример 10.1.1. Допустим, что сигнальный импульс передатчика у(1) имеет длительность Т и единичную энергию, а принимаемый сигнальный импульс равен /(/) = д(/)+щ(/- т). Определим эквивалентную модель с дискретным временем и белым шумом.
Отсчеты автокорреляционной функции определены так а* (л =-1) 1+!4л Р = 0) а (л.— ' 1). (10.1.17) (Чй Рнс. 10.13. Эклнвллентнал модель дискретного времени для канала с МСИ н АБГШ х =~~Г~'„~„,к, й=0, 1,2,...,ь. (10.1 19) о Бели канальный отклик меняется медленно со временем, согласованный фильтр приемника становится меняющимся во времени фильтром (с переменными параметрами). В этом случае изменение во времени пары канал — согласованный фильтр приводит к фильтру с дискретным временем с переменными во времени коэффициентами. Как следствие, мы имеем эффект переменной во времени МСИ, которую можно моделировать фильтром, показанным на рис.10.1,3, у которого коэффициенты медленно меняются во времени.
Линейная фильтровая модель с дискретным временем и белым шумом для МСИ отражает то, что происходит при высокоскоростной передаче по идеальному ограниченному по полосе каналу. Он» будет использоваться на протяжении всей этой главы при обсуждении техники компенсации МСИ. В общем, методы компенсации называют техникой выравнивания или алгоритмом выравнивания. 10.1.3. Алгоритм Витерби для модели фильтра с дискретным временем и белым шумом Алгоритм МППО для оценки информационной последовательности (1,) 'наиболее легко описывается через принимаемую последовательность (!7,) на выходе обеляющего фильтра.
В присутствии МСИ, которое покрывает 1+1 символа (Л интерферирующих 5!07 Затем, л-преобразование х„дает ! Х(л) = ~~> х л * = а г+(1+~а~ )+ ал ' = (ал '+ 1)(а к+1), (10 1.18) к-. ! Предполагая, что 1а~ > 1, выберем Р(л) = ал ' +1 так, чтобы эквивалентный трансверсальный фильтр состоял из двух ячеек, имеющих коэффициенты усиления ячеек ~; =1,Л =а. Заметим, что корреляционную последовательность (х,) можно выразить через (Я так компонент), реализация правила МППО эквивалентно оцениванию состояния конечного автомата с дискретным временем.
Конечный автомат в этом случае является эквивалентом канала с дискретным временем с коэффициентами (Х,.), а его состояние в любой момент времени определяется Х, новыми (последними) входами, т.е. состояние и точке определяется так: соо вьп пос пос им! по< по уде сак по! на! суг че! об1 М( ка! оп 1и Р(!зеье~1р+» .. «Хя) + РМя-!(Хсм.! ) ~ (10. 1.24) ве Мы нидели, что метрики РМкЯ связаны с евклндовым расстоянием 0Мя(Х), когда аддитинный шуы гяуссовский. (10. 1.20? где 1, =0 для к<0. Таким образом если информационные символы являются М- нчными, канальный фильтр имеет М состояний. Следовательно, канал описывается М~ состояниями решетки и алгоритм Витерби можно использовать для определения наиболее вероятного пути на решетке.
Метрики, используемые в поиске по решетке„подобны метрикам, используемым при декодировании мягких решений сверточных кодов. Вкратце, мы начинаем с отсчетов Е+! о,, о„...,о„,, по которым вычисляем М метрик ы! ',~ !пР(о,~1„,1„„...,1ье), (~0,1.21) М ' возможных последовательностей 1, „Х„...,Х„1, подразделяется на М групп, соответствующих М состояниям Х „, Х, .:.,1,. Заметим, что М последовательностей в каждой группе (состояний) отличается в символе Х, и соответствуют путям по решетке. которые сходятся в одном узле.
Из М последовательностей в каждом из М" состояний мы выберем последовательность с наибольшей вероятностью (по отношению к 1, ) и определяем для выживших последовательностей метрики Е~! РМ!(1 „) = РМ!(1„„,1с,..., Хя) = шах ~1п Р(н,~1г, 1, „...,1 ) . (1О 1 22) я=! М-Х, оставшихся последовательностей из каждой из М групп исключаются. Таким образом мы оставляем М выживших последовательностей и их метрик. При приеме о,„, М~ выживших последовательностей расширяются на один шаг н вычисляются соответствующие М вероятностей для расширенных последовательностей, используя предыдущие метрики и новое приращение, которое равно !и р(о„,~Х„,, 1„„..., 1,) .
Снова Мьы последовательностей делятся на М' групп, соответствующих М возможным состояниям (1,.„..., Х, ) и из каждой группы выбирается наиболее вероятная последовательность, в то время как другие М-1 последовательностей отбрасываются. Описанная процедура продолжается с приемом последовательных сигнальных отсчетов. В общем при приеме ос, вычисляются метрики ! РМ,(1„,) = п!ах(!и р(и „~1„„...,1,)+РМьч(1е,!ч)~ (10.1.23) и определяются вероятности М~ выживших последовательностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
