Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Таким образом по мере приема каждого отсчета сигнала„алгоритм Витерби включает в себя сначала вычисление М ' вероятностей Пример 10.1.2. Для иллюстративных целей предположим, что для передачи четырехуровневой (М=4) АМ используется дуобинарный сигнальный импульс. Таким образом, каждый символ — это число, выбираемое из ряда ( — 3, — 1, 1, 3). Контролируемая МСИ в этом сигнале с парциальным откликом представлена эквивалентной моделью канала с дискретным временем, показанной на рис.10.1.4. Предположим, мы приняли отсчеты о, и гг„где о, =1,+г), гьг = 1г+ 1~ +Чг (10.1.25) а г (а) Рис.
10.1.4. Эквивалентная модель дискретного времени для межсимвольной интерференции, образованной дуобинарнмм импульсом а 1г),1 является последовательностью статистически независимых гауссовских случайных . величин с нулевым средним. Мы можем теперь вычислить 16 метрик г 3 РМ,(1„1г)=-', „-У 1„,, 1„1,=+1,+3, (10.1,2б) гм г=О 509 соответствующих М ' последовательностям, которые формируют продолжение Мс выживших последовательностей на предыдущих шагах процесса. Затем М~" последовательностей подразделяются на М групп. Каждая группа содержит М последовательностей, которые заканчиваются тем же набором символом 1 „,...,1„„и отличается в символе 1,, Из каждой группы из М последовательностей мы выбираем одну, имеющую наибольшую вероятность, как отмечено (10.2.23), в то время как оставшиеся М-1 последовательностей исключанзтся.
Таким образом мы оставляем снова М~ последовательностей, имеющие метрики РМ, (1„;) . Как отмечено ранее, задержка в детектировании каждого информационного символа по Витерби, вообще говоря, меняется. На практике изменение задержки устраняют путем удержания выживших последовательностей с г1 последними символами, где г1» 1.. Тем самым достигается фиксированная задержка. В случае, когда М~ выживших последовательностей на А-м шаге не совпадают в символе 1 „можно выбрать символ в наиболее вероятной последовательности Потеря в качестве, возникающая из-за этой субоптнмальной процедуры оценивания, пренебрежимо мала, если д ~ 5Л. па~ ка) ве! ка Ви эк) гдг ме со сл са гл 1 1 1 Рщlг!г) РМФэ*!г )г) Рыээ)э гэ )г гг) п1 к< 2 1 РМг(1ээ1г,1г) =РМЯ1),1г)- )гэ — ~~ 1,, (10.1.27) э. в н! и.
Из четырех путей, заканчивающихся 1)=3 мы сохраняем наиболее правдоподобные. Эта процедура снова повторяется для 1, =1, 1, = — 1 и 1, =-3. Следовательно, только четверо путей выживают на этом шаге. Процедура затем повторяется для каждого последовательного принимаемого сигнала о, для А > 3. рг Д( 510 Рис. 10.1.5.
1)рсвовиднвя диаграмма для декодирования по гэитсрби дуобинарного импульса где 1, = 0 для /с <О. Заметим, что не все последовательно принимаемые сигналы !о,) включают в себя 1,. Таким образом, на этом шаге мы можем исключить 12 из ! б возможных пар р„1гД. Этот шаг иллюстрирует древовидная диаграмма, показанная на рис. 10.1.5. Другими славами, после вычисления 16 метрик, соответствующих 16 путям древовидной диаграммы, мы исключаем три из четырех возможных путей, которые кончаются на 1 = 3 и накапливаем наиболее правдоподобные из этих четырех.
Таким образом, метрики для выживших путей равны г гэггг,-э.ц- ..~-~~»,-~ю,,) ~ Процесс повторяется для каждого набора четырех путей, заканчивающихся на 1г — 1, 1, = — 1 и 1г = — 3. Таким образом, четыре пути и их соответствующие метрики выживают после того, как приняты о, и о,. Когда принято о, „четверо путей расширяется так, как показано на рис.10 1.5, чтобы производить 16 путей и !б соответствующих метрик„ определяемых так 10.1.4. Качество алгоритма МППО дли каналов с МСИ Теперь определим вероятность ошибки при использовании алгоритма МППО (М1.ЯБ) для принимаемой информационной последовательности, если информация предается посредством АМ, а аддитивный шум в канале гауссовский. Похожесть между сверточным кодом и МСИ конечной длительности в канале подразумевает, что метод вычисления вероятности ошибки последней вытекает из первой.
В частности, метод вычисления качества декодирования мягких решений сверточного кода посредствам алгоритма Витерби, описанный в разделе 8.2.3, применим здесь с некоторой модификацией, При использовании в канале с аддитивным гауссовским шумом и МСИ сигналов АМ, метрики, используемые в алгоритме Витерби, можно выразить как в (10-1-23) или, что эквивалентно, так 2 РМ, (1 ) = РМ„,,(1,,) — ~„— 7 1,1,, (10 1 28) /=О где символы (1„) могут принять значение +Н, +ЗН, ...,+(М-1)Ы, а Ы вЂ” это расстояние между соседними уровнями.
Решетка имеет Мь состояний и определяется в момент й так (10.1. 29) Обозначим оцененные символы посредством алгоритма Витерби через Д, а соответствующие оцененные состояние в момент Й так (10.1.30) Теперь предположим, что оцениваемый путь по решетке ответвляется от правильного пути в момент к и сливается с правильным путем в момент 1+1. Таким образом, Я„= Я„и У„„=Ь;„„но Л„,~Я для 1г<т<й+1.. Как и в сверточном коде, мы назовем это ошибочным собынтем. Поскольку МСИ канала простирается на 1+! символов„то следует, что 1> Л+1 Для такого ошибочного события мы имеем 1 ~1 и 1„,, ~1„„но 1 =1 для /г — 1.
< т < Ф вЂ” 1 и 1+1 — 1, < т ь 1+1 — 1. Удобно определить вектор ошибки а, соответствующий этим ошибочным событием, так Я=(6~ еь ~ ... Б~о ь Д, (10.1.31) где компоненты а определяются так а,. = — (1, — 1,), 1=К 1+1..., 1г+1 — 1.— 1. (10.1.32) Нормирующий множитель 11Ы в (10.1.32) приводит к тому, что элемент а принимает значения х 1, + 2, +3, ..., х(М-1). Более того, вектор ошибок характеризуется свойствами, что а„~ О, а„,,, ~ 0 и что нет последовательности из Л соседних элементов, которые равны нулю.
С вектором ошибок в (10.1.31) связан полипом степени 1- 1. — 1. а(г)=е,+е„,г '+е„„,е '+...+е„„,,е и '~. (10.1.33) Мы хотим определить вероятность появления ошибочного события, которое начинается в момент 1г и характеризуется вектором ошибок е „определяемым (10.1.31) или, что эквивалентно, полиномом (10.1.33). Чтобы найти его, будем следовать процедуре, разработанной Форни (1972).
Конкретнее, чтобы произошло ошибочное событие е, должны произойти следующие три подсобытия Е,, Е, и Е,: Е,: в момент1, Я„=Я,; 5! ! Е„: если суммировать информационную последовательность 1„, 1„„, ..., 1„... с масштабируемой последовательностью ошибок Ы(е„е,„„..., еы...) должна получиться разрешенная последовательность, т.е. последовательность 7„, 7„„...,7„„,, должна иметь значения, выбираемые из ряда +с(, т3д, +...+(М вЂ” 1)а~; Е,: для 7г < т < 1+1 сумма метрик ветвей оцениваемого нуги превышает сумму метрик ветвей правильного пути.
Вероятность появленияЕз равна маз1 где "«о,-~~« ~У,, < ~~«о,-'« ~1,, Р(Е,) = Р (10.1.34) Но о, ='« „~У,,„+«1,, (10.1.35) у~В где («1,)-вещественная белая гауссовская шумовая последовательность. Подстановка (10.1.35) в (10.1.34) дает Р(Ез) где (10.1.36) =Р4Ы «т1,. « ~е,, -4И' « ~ у;е,, ве1 гд (10.1.39) Для удобства определим у+~-1 Фо — ! ь и« вЂ” ~~~ ~~~ ге гМ =а го пр (10.1.40) где е,. =0 для «<Й и у>1+1 — Х,— 1.
Заметим, что (и,.),определяемые сверткой Я) и (а,), являются коэффициентами полинома а(я) =Г(г)е(а) =сс, +сс мв '+...+а„,,з " ". (10.1.41) Далее б'(е) просто равно коэффициенту при а' в полиноме сс(г)сс(з ') = Г(г)Е(г ')е(г)а(" ') = Х(г)е(е)а(я '). (10,1.42) пс 01 где е,. =0 для «<й и «>1+1 — А-!.
Если определим я,= ~ «е;„ (10.1.37) у=о тогда (10.1.36) можно выразить так *и-1 1и-1 Р(Е,)= ~~«ид, < — сХ~~«а,', (1О.1.38) 1 Ф ю=й где множитель 4и, общий для обоих слагаемых исключен. Теперь (10.138) как раз определяет вероятность того, что линейная комбинация статистически независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним меньше некоторого отрицательного числа. Т.е. а=еГ, где а-Х.-мерный вектор, Г- (Х;+1)-мерный вектор, а е — Хх(Х,+1) матрица: А Х а„„ ам+[-1 е 0 0 ... 0 О ...
0 е „ еьн е, ... 0 О 0 0 (10.1.43) е о+кч е ы~-сч Тогда 5о( 1 т тт т 1 где А (Х,+1)х(Х.+1) — матрица вида (10.1.44) Ро Р~ Ро " Рь Р Ро Р1 " Ь1 Во Р| Ро К Ра-о А=е е= (10.1.45) = ~а,е„„, (10.1.46) Мы можем использовать или (10.1.40) и (10.1.41) или (10.1.45) и (10.1.46) для расчета вероятности ошибки. Мы обсудим зти вычисления позже.
Теперь же мы сделаем вывод, что вероятность подсобытия Ез, определяемого (10.1.39)„можно выразить так 2о1' 6 Р(Е,)=0 б (е) =О, у б (е), (10.1.42) о где мы использовали отношение (10.1.48) Для исключения о1о, а у = П' /Мо. Заметим, что в отсутствии МСИ б'(е) =1 и Р(Е,) пропорционально вероятности ошибки на символ в М-познционной АМ. Вероятность подсобытия Е, зависит только от статистических свойств входной последовательности.
Мы предположим, что информационные символы равновероятны и что символы в передаваемой последовательности статистически независимы. Тогда для ошибки вида Ц= /, Х'= 1,2, ...,М-1 имеется М-1 возможных значений Х„., таких что Х,. = Х,. + 2Ж,, следовательно 33-56 513 Мы назовем б'(е) еехлидовым весом ошибочного события а Альтернативный метод для представление результата свертки Щ и,'ц;) — зто матричная форма ! обус ! квал 1 '-'-' М-И (ЕО) = П (10.! .49) г=о Вероятность подсобытия Е! значительно более трудно вычислить точно из-за ее зависимости от подсобытия Ьь Это значит, что мы должны вычислять Р(Ес!Е,).
Однако Р(Е,!Е,) =1 — Р,„, где Р„, — вероятность ошибки на символ. Следовательно Р(Е!!Е,) хорошо аппроксимируется (и ограничено сверху) единицей для разумных низких значений вероятности ошибки. Таким образом, вероятность ошибочного события в хорошо аппроксимирустся и ограничена сверху так: ( б, ' с сМ-!г~ Р' -'а(; ' П г:.О (1О.1. 50) Пусть Е является набором всех ошибочных событий е, начавшихся в момент 1с и пусть О(в) является соответствующим числом ненулевых компонент (весом хемминга или числом ошибочных символов) в каждом ошибочном событий е. Тогда вероятность ошибки на символ ограничена сверху (объединенная граница) так 6, ~!'ь'М вЂ” Ц Рл! ~ Хн'(е)Р(в) ~ Х!О(е)0 - У б (е)! П .
(10.1.51) ев мы М 1 =О Теперь пусть й является множеством всех б(е) . Для каждого Ь е В, пусть Ь;, являются подмножеством ошибочных событий для которых 8!а) =Ь. Тогда (10.1.51) можно выразить козс рав! где то с заю инф так Р, ~~Я О 7 Ь' ~!'к!(е)п ~ ') К 0 —,у„,б', (10.1.52) рао МС хар где ! О-сМ Я К.=Х ()П ООКа ~ О (10.1. 53) для Р„=К, 0 —,у„б'-. (1О.1. 54) вес дсч где с-с-! М -И КΠ— — 2; к(О) П мя с=о Л! (1О.1.
55) вь! (!С Выражение для вероятности ошибки в (10.1.52) похоже по форме на вероятность ошибки для сверточного кода при детектировании мягких решений, определяемая (8.2.2б), Взвешивающие множители (К,) можно определить посредством диаграммы состояний ошибок, которая схожа диаграмме состояний сверточного кодера. Этот подход был показан Форни (1972) и Витерби и Омура (1979). В общем, однако, использование диаграмм состояний ошибок для вычисления Р„, утомительно. Вместо этого мы можем упростить вычисление Р,, сосредоточившись на основной член суммы (10,1.52).
Из-за экспоненциальной зависимости каждого слагаемого суммы, выражение Р в основном определяется слагаемым, соответствующим минимальному значению 6, которое обозначим Ь „. Тогда вероятность ошибки на символ можно аппроксимировать так В общем б'. <1. Таким образом, 10!цб'-,„представляет потери в ОСШ, обусловленные МСИ. Минимальное значение б можно определить или иэ (10.1.40) или из оценки квадратичной формы (10.1.44) для различных последовательностей ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
