Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Сначала определим взвешивающие коэффициенты ячеек, которые минимизируют 1, когда эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. В этом случае, оценка 1„определяется так О 1„= ",''1 сР„,. (10.2.26) 1= Подстановка (10.2.26) в выражение для 1, определяемая (10.2.25), и расширение результата приводит к квадратичной функции от коэффициентов ~с,.~.
Эту функцию можно легко минимизировать по ~2) посредством решения системы (неограниченной) линейных уравнений для Д. Альтернативно, систему линейных уравнений можно получить путем использования принципа ортогональности при среднеквадратичном оценивании. Это значит, мы выбираем коэффициенты ~с,.~ такие, что ошибка еь ортогональна сигнальной последовательности о'„1 для -ос<1<г1. То есть Е(в о',,) = О, — с <1 < м Подстановка е„в (10.2.27) дает Видим, что единственная разница между этим выражением для С'(е) и тем, которое базируется на критерии пикового искажения — зто спектральная плотность шума М„ которая появилась в (10.2.33). Если М - очень мало по сравнению с сигналом, коэффициенты, которые минимизируют пиковые искажения У(с) приближенно равны коэффициентам, которые минимизируют по СКО показатель качества У.
Это значит, что в пределе, когда Мо-+О, два критерия дают одинаковое решение для взвешивающих коэффициентов. Следовательно, когда М, = О, минимизация СКО ведет к полному исключению МСИ. С другой стороны, это не так, когда М, ~ О. В общем, когда М, ~ О, оба критерия дают остаточное МСИ и аддитивный шум на выходе эквалайзера. Меру остаточного МСИ и аддитивного шума на выходе эквалайзера можно получить расчетом минимальной величины.У, обозначаемую 1, когда передаточная функция С(з) эквалайзера определена (10.2.32).
Поскольку .У =Ь4Щ = Е1в„У,! — Е~,У о 1 и поскольку оо,х,)=о у ы уло ~о о ~ю~О0227), ду .У .„= Е(еоУ,')=Я1,~ — ~с.Е~и, У„)=1- 2 с. У .. (10234) ГЭта частная форма для,У . не очень информативна. Больше понимания зависимости качества эквалайзера от канальных характеристик можно получить, если суммы в (10.2.34) преобразовать в частотную область. Это можно выполнить, заметив; что сумма в (10.2.34) является сверткой (с,.~ и ®, вычисленной при нулевом сдвиге. Так, если через (Ь,) обозначить свертку этих последовательностей; то сумма в (10.2.34) просто равна Ь„ Поскольку е-преобразование последовательности (Ь, у равно В( ) =- С( )Е( ) (') (' ) ('), (10.2.35) У' (о)У (о ) + Мо Х(з) + Мо то слагаемое Ь, равно Ь,= — ф — ь= — в 1 о В(г) 1 е Х(з) <Уз . (10.2.36) 2ту г 2тгу е[Х(г)+ М ] Контурный интеграл в (10.2.36) можно преобразовать в эквиваленгный линейный интеграл путйм замены переменной з = е~"".
В результате этой замены получаем (10.2.37) 2х ~-"' Х(е'"')+ М, Наконец, подставив (10.2.37) в сумму (10.2.34), получаем желательное выражение для минимума СКО в виде Т ггг Х(е'") Т ее М, с1го = 2к~-"г Х(е'"")+Мо 2ло ~т Х(е'"")+Мо (10.2.38) Т о~г М, гУгл. 2х~"г Т '~ ~о(а+2хиУТ))'+М, В отсутствие МСИ Х(е~'") =1 и, следовательно, у о (10.2. 39) 1+ Мо Видим, что О<,У . <1. Далее, соотношение между выходным (нормированного по энергии сигнала) ОСШ у„и,У . выглядит так Б( имеет Э длите ограв ограь экви отсч где где (2К век Огг ко.
524 1 — У (10.2.40) 'упнп Более существенно то, что соотношение между у„и .У . также имеет силу, когда имеется остаточная МСИ в дополнении к шуму на выходе эквалайзера. (10.2.43) у=-К где х, /+Мобю Ф-А <У). ю 0 (при других 1, у), У ( — У <1~0), Ю (при других 1). (10.2.44) (10.2.45) Удобно выразить систему линейных уравнений в матричной форме„т.е. ГС=~, (10,2.46) где С означает вектор столбец 2К+1взвешивающих значений кодовых ячеек, Г означает (2К+1)х(2К+1) матрицу ковариаций Эрмита с элементами Г„.; а ~ — (2К+1) мерный вектор столбец с элементами Г,. Решение (10.2.46) можно записать в виде С,„, =Г 'Ц. (10.2.47) Таким образом, решение для С. включает в себя обращение матрицы Г.
Оптимальные взвешивающие коэффициенты ячеек, даваемые (10.2.47), минимизируют показатель качества,У(К), что приводит к минимальной величине,У(К) о ,У (К)=1- ,'Гс,У', =1-~"Г-'~, (10.2.48) 1=-К ' где ~~ определяет транспонированный вектор столбец ( ..У . (К) можно использовать в (10.2.40) для вычисления ОСШ линейного эквалайзера с 2К+1 коэффициентами ячеек.
10.2.3. Характеристики качества эквалайзера по минимуму СКО В этом разделе мы рассмотрим характеристики качества линейного эквалайзера, который оптимизирован при использовании критерия минимума СКО. Как минимум СКО, Эквалайзер ограниченной длины. Теперь вернем наше внимание к случаю, когда длительность импульсной характеристики трансверсального эквалайзера простирается на ограниченном временном интервале, т.е.
эквалайзер имеет конечную память или ограниченную длину. Выход эквалайзера на Ф-м сигнальном интервале равен У, = ~с,о„, (10.2.41) г-к СКО эквалайзера с 2К+1 ячейками, обозначаемый,У(К) „равен ~(~) =ф — Ц + — ~~,о, (10.2.42) ~=-к Минимизация,У(К) по взвешивающим коэффициентам ячеек Ц или, что эквивалентно, требуя, чтобы ошибка ее =ӄ— У, была бы ортогональна сигнальным отсчетам о, „~1~ < К, приводит к следующей системе уравнений: к ~с Г =г,„У=-К,...,— 1,0,1,...,К, В обсуя выхо; ~7;~ +1ф =1. Им м 7'(я) = А+7'з ' (1О.2.49) реш< где кана авх осп (10.2.53) шул пос (10.2.54) фи~ ч » 1-а 2 М» <<1 (10.255) (1+а')У, так и вероятность ошибки рассматриваются как меры качества для некоторых специфических каналов. Мы начнем с вычисления минимума СКО .У,,„и выходного ОСЦ1 у, для двух специфических каналов.
Затем мы рассмотрим оценку для вероятности ошибки. Пример 10.2.1. Сначала мы рассмотрим эквивалентную модель канала с дискретным временем, который состоит из двух компонент Д и 7,»„которые нормированы так Х(з) = 7»Х з+1+7» 1Р (10.2. 50) Соответствующая частотная характеристика равна Х(е' ")=~,7; е~""+1+~,Яе ~" =1+2ЩЯсоз(аТ+8), (10.2,51) где Π— угол ©", . Заметим, что эта канальная характеристика содержит нуль на частоте о = я77', когда Т» = Д = Д. Линейный эквалайзер с неограниченным числом ячеек, построенный на основе критерия минимума СКО, будет иметь минимум СКО, определенный (10.2.38) Вычисление интеграла (10.2.38) прн Х1е'"~), определяемом (10.2.51), приводит к результату Рассмотрим частный случай, когда 7» = 7, = Я.
Тогда минимум СКО .1 =И~~И, 2Ч, ю~ ~у ш ол о 0»Шра о Этот результат можно сравнить с выходным ОСШ 1ЛЧ», полученным для случая отсутствия МСИ. В этом канале возникает незначительная потеря в ОСШ. Пример 10.2.2. В качестве второго примера рассмотрим показательную затухающую характеристику канала в виде ~„' =~6 — а а", 1=0,1,... где а<1. Преобразование Фурье этой последовательности » Х(е'" )= 1+ а~ — 2а сова 7' является функция с минимумом при о = к7 Т Выходное ОСШ для этого канала Следовательно, потеря в ОСШ из-за интерференции равна 10 1й((1 — а') l(1+ а')) отн(н лине1 выхо, длин, инте1 хары нель: С форс расс~ знач к 61„=',)„С,1„' „, (10.2. 57) кп-К а входной сигнал на эквалайзер равен о. = ХУ,1ь, +ч2 !=а Первое слагаемое суммы в правой части (10.2.5б) — это желательный символ остальные слагаемые суммы — это МСИ, а последнее слагаемое является гауссовским шумом.
Дисперсия шума (10.2. 58) к а М ~~) сс (10.2. 59) рп-К Дпя эквалайзера с 2К+1 ячейками и канальным откликом, который простирается на Е+1 символов, число символов, участвующих в МСИ, равно 2К+1. Определим й=;~1,д„,. (10.2.б0) Для частной последовательности из 2К+1 информационных символов, скажем последовательности 1, слагаемое МСИ У = Х>, фиксировано. Вероятность ошибки для фиксированной О, равна Р ЦЗ,)=2 Р6)6.
О, 6,)= -26 —; ~ —, 116261) (М вЂ” 1) 2(М- 1) (61 -17 )' а'„ где У означает слагаемое алдитивного шума. Средняя вероятность ошибки получается путем усреднения Р, Щ) по всем возможным последовательностям 1 . Это дает 17 2 Р =ХР !)) )Р(1 )= Х Ч 61,). 610262) !1 )1 а'„ Когда все последовательности равновероятны,то 527 Вероятность ошибки в линейном эквалайзере по минимуму СКО. Выше мы обсуждали качество линейного эквалайзера через минимально достижимое СКО,1 и ппп выходное ОСШ у, связанное с .1 „формулой (10.2.40).
К сожалению нет простого отношения между этими характеристиками и вероятностью ошибки. Причина в том, что линейный эквалайзер по минимуму СКО содержит некоторую остаточную МСИ на своем выходе Эта ситуация не похожа на ту, которая имеет место в ЭНВП неограниченной длины, в котором нет остаточной интерференции, но только гауссовский шум. Остаточная интерференция на выходе эквалайзера по минимуму СКО не удовлетворительно характеризуется, как аддитивный гаусовский шум, и, следовательно, выходное ОСШ нельзя легко преобразовать в эквивалентную вероятность ошибки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
