О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Помеха r (t ) может генерироваться непосредственно в исследуемом объекте, попадать в него извне илибыть случайной наводкой в цепях измерения и регистрации.Наличие помехи в последовательности x(n ) , полученнойв результате дискретизации, затрудняет получение достоверной информации об исследуемом процессе.
Поэтому последовательность x(n )подвергают первичной обработке, целью которой является сглаживание,то есть полное или частичное устранение помехи r (n ) . Сглаживаниедискретной последовательности x(n ) осуществляется при помощи специальных алгоритмов.Целью работы является изучение алгоритмов сглаживания экспериментальных данных, представленных в виде конечных дискретныхпоследовательностей.9.2. Основные понятия и расчетные формулыИзучаемые в работе алгоритмы сглаживания данных описываютсялинейными разностными уравнениями.
Следовательно, их можно рассматривать как цифровые фильтры, которые преобразуют исходную последовательность x(n ) в последовательность y (n ) , являющуюся оценкойполезной составляющей f (n ) .9.2.1. Сглаживание скользящим усреднениемСуть этого метода сглаживания состоит в последовательномосредненииординатx(n ), n = 0, 1, ..., N − 1 ,наинтервале[n − L / 2, n + L / 2], где L – целое четное число. Значения сглаженнойпоследовательности y (n ) определяются по формулеLL⎞1⎛(9.1)y⎜ n + ⎟ =∑ x(n + λ ) , n = 0, 1, ..., N − L − 1 .2 ⎠ L + 1 λ= 0⎝53Согласно этой формуле значение y (n + L / 2 ) находится как среднееарифметическое L + 1 значений x(n ), x(n + 1), ..., x(n + L ) .
При этом усредняются значения, расположенные слева и справа от текущего номерадискретной последовательности. Например, при L = 4 каждый элементпоследовательности y (n ) вычисляется как среднее пяти значений входной последовательности x(n − 2 ), x(n − 1), x(n), x(n + 1), x(n + 2) .Фильтр, реализующий сглаживание по методу скользящего усреднения, существенно ослабляет гармонические составляющие, частотыкоторых выше ω = 2π / (T ⋅ L) . Правильный выбор значения L определяет качество отделения высокочастотной помехи r (n ) от более низкочастотной составляющей f (n ) . Уменьшение L ведет к недостаточномувыравниванию экспериментальных данных, а завышение – к искажениюсущественных особенностей последовательности f (n ) . Поскольку частотные спектры последовательностей f (n ) и r (n ) заранее неизвестны,величину L обычно подбирают экспериментально.
Обычно процедурусглаживания начинают со значений L = 2 − 4 и увеличивают в случаенеобходимости после анализа полученных результатов сглаживания.9.2.2. Сглаживание четвертыми разностямиСглаживание четвертыми разностями производится путем аппроксимации пяти соседних значений последовательности x(n ) параболойс помощью метода наименьших квадратов.
В качестве элемента сглаженной последовательности y (n ) принимается точка параболы, наилучшим образом аппроксимирующей значения сглаживаемой последовательности x(n ) в пяти точках (рис. 9.1)ε(n)x(n)y(n)n-2n-1nn+1 n+2Рис. 9.1. Аппроксимация последовательности в пяти точкахКак показано с помощью метода наименьших квадратов, значениеэтого элемента вычисляется по формулеy (n ) = x(n ) − ε (n ) ,(9.2)54где поправка ε (n ) пропорциональна смещенной обратной или прямойразности четвертого порядка:33ε(n ) = Δ4 x(n + 2 ) = Δ4 x(n − 2 ) .(9.3)3535Использовав известные соотношения для расчета прямых и обратных разностей, легко убедиться в том, чтоε(n ) =3[x(n − 2) − 4 ⋅ x(n − 1) + 6 ⋅ x(n) − 4 ⋅ x(n + 1) + x(n + 2)] .35(9.4)Подставив (9.4) в (9.2), найдем формулу, которая позволяет непосредственно рассчитать ординату выходной последовательности:1y (n ) = [− 3 ⋅ x(n − 2 ) + 12 ⋅ x(n − 1) + 17 ⋅ x(n ) + 12 ⋅ x(n + 1) − 3 ⋅ x(n + 2 )] .
(9.5)359.2.3. Экспоненциальное сглаживаниеЭкспоненциальное сглаживание – один из простейших и распространенных приемов выравнивания последовательностей. В его основележит расчет экспоненциальных средних. Экспоненциальное сглаживание последовательности осуществляется при помощи разностного уравненияy (n ) = (1 − α ) ⋅ y (n − 1) + α ⋅ x(n ) ,(9.6)где α – постоянный коэффициент (0 < α < 1) , называемый постояннойсглаживания.Из выражения (9.6) следует, что текущее значение сглаженной последовательности y (n ) равно предыдущему ее значению плюс некоторая доля ( α ) разности между текущим значением входной последовательности и предыдущим значением сглаженной выходной последовательности.Если последовательно использовать соотношение (9.6), то экспоненциальную среднюю y (n ) можно выразить через значения входнойпоследовательности x(ν ), ν = 0 , ..., n :y (n ) = α ⋅ x(n ) + (1 − α ) ⋅ y (n − 1) == α ⋅ x(n ) + α ⋅ (1 − α ) ⋅ x(n − 1) + (1 − α )2 ⋅ y (n − 2 ) = ...n −1...
= α ∑ (1 − α )ν ⋅ x(n − ν ) + (1 − α )n ⋅ x(0 ) .ν =0(9.7)Таким образом, величина y (n ) оказывается взвешенной суммойвсех членов последовательности x(n ) , причем веса падают экспоненциально в зависимости от удаления элемента входной последовательности.55Если, например, α = 0.3 , то текущий элемент последовательности будетиметь вес 0.3, а веса предшествующих элементов составят соответственно 0.21; 0.147; 0.1029 и т.д. Постоянная сглаживания α принимаетзначения от 0 до 1.
Предельное значение α = 0 соответствует случаюL = ∞ при сглаживании скользящим усреднением. При этомy (n ) = y (n − 1) . Предельное значение α = 1 означает, что предыдущиезначения вообще не учитываются.Как показывает практика, значение постоянной сглаживания αследует принимать в пределах от 0.01 до 0.3.9.3. Методические указанияДля исследования описанных выше алгоритмов сглаживания формируется тестовая дискретная последовательностьx(n ) = f (n) + r (n), n = 0, 1, ..., N − 1 ,(9.8)в которой полезная составляющая f (n ) состоит из двух гармоническихпоследовательностей с различными частотами:⎛ 2π ⎞⎛ 2π ⎞f (n ) = sin ⎜⎜n ⎟⎟ + cos⎜⎜n ⎟⎟ ,(9.9)⎝ M1 ⎠⎝ M2 ⎠а помеха r (n ) представляет собой центрированную случайную последовательность, генерируемую при помощи стандартных функцийMathCAD.Центрированная случайная последовательность r (n ) формируется ввиде разностиr ( n ) = r1( n ) − mean(r1) .(9.10)Здесь нецентрированная случайная последовательность образуется припомощи стандартной функции rnd( x ) , то естьr1( n ) = rnd ( b ) ,(9.11)где b – верхняя граница интервала разброса случайных чисел,а mean(r1) – среднее значение, определяемое средствами системыMathCAD или непосредственно по формуле1 N −1(9.12)mean(r1) = ∑ r1(n) .N n =0Таким образом, тестовая последовательность окончательно принимает вид⎛ 2π ⎞⎛ 2π ⎞x(n ) = sin⎜⎜n ⎟⎟ + cos⎜⎜n ⎟⎟ + r (n ) .(9.13)MM⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠56Для оценки качества сглаживания различных алгоритмов в работеиспользуется суммаJ=N −10∑[ y (n) − f (n)] 2 .(9.14)n =10Пределы изменения n в (9.14) приняты такими, чтобы при сравненииалгоритмов сглаживания с некоторым запасом исключить влияние начального и конечного участков, на которых алгоритмы сглаживания неработают.9.4.
Программа работы9.4.1. Основное задание1.Сформировать полезную и случайную составляющие сглаживаемой последовательности x(n), n = 0, 1, ..., N − 1 ( N ≈ 200) , приняв ихпараметры из табл. 9.1 согласно заданному варианту. Пронаблюдать полезную и случайную составляющие, а также сглаживаемую последовательность в целом.Таблица 9.1ПараметрыНомера вариантовb11.621.731.841.952.062.172.282.3M13741434749374147M219232919232919232. Составить программу сглаживания последовательности x(n) пометоду скользящего усреднения и вычисления значения критерия (9.14),характеризующего качество сглаживания. Пронаблюдать сглаженныепоследовательности и рассчитать значение критерия при L = 2, 4, 6, 8 .Значения критерия при различных L занести в таблицу и оценить влияние параметра L на качество сглаживания.3.
Составить программу сглаживания последовательности x(n) пометоду четвертых разностей. Пронаблюдать сглаженную последовательность и вычислить значение критерия качества.4. Составить программу экспоненциального сглаживания последовательности x(n) . Пронаблюдать сглаженную последовательность ивычислить значения критерия качества при α = 0.1, 0.2, ..., 0.9. Данные57занести в таблицу и построить график зависимости критерия качествасглаживания от коэффициента α Определить оптимальное значение коэффициента α .5. Сравнить значения критериев качества сглаживания, полученныедля различных алгоритмов сглаживания, и сделать выводы.9.4.2. Дополнительное задание6. Записать передаточные функции H (z ) и частотные передаточные функции H (e j ω T ) для всех алгоритмов сглаживания, исследуемыхв работе.7. Составить программы расчета АЧХ и ФЧХ всех исследуемыхфильтров сглаживания в масштабе относительной частоты r = ωT / 2πпри 0 ≤ r ≤ 0.5.
Построить соответственно АЧХ и ФЧХ всех фильтровна одном рисунке. Сравнить исследуемые фильтры сглаживания по частотным свойствам.9.5. Контрольные вопросы и задания7. В каких случаях рекомендуется использовать процедуру сглаживания экспериментальных данных?8. Почему при сглаживании скользящим усреднением увеличениеL приводит к искажению полезной составляющей?9. Как изменится АЧХ алгоритма скользящего усреднения приувеличении L ?10. Поясните геометрически идею сглаживания четвертыми разностями.11. В чем заключается аппроксимация по методу наименьших квадратов?12. Покажите, что уравнения фильтра, полученные через обратнуюи прямую разности четвертого порядка, эквивалентны.13. Найдите статический коэффициент передачи фильтра, реализующего сглаживание четвертыми разностями.14. Почему в уравнении (9.6) должно выполняться условие0 < α < 1?15.
Найдите статический коэффициент передачи экспоненциальногофильтра.16. Как изменяются АЧХ и ФЧХ экспоненциального фильтра приизменении α ?17. Какие алгоритмы сглаживания, кроме рассмотренных, Вам известны?58Работа 10ИССЛЕДОВАНИЕ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВНИЖНИХ И ВЕРХНИХ ЧАСТОТ10.1.Цель работыДля рекурсивных цифровых фильтров, имеющих прототипы средианалоговых фильтров, задача определения передаточной функции,удовлетворяющей заданным требованиям, часто решается путем определения передаточной функции аналогового фильтра-прототипа и последующего ее преобразования. Из всех известных методов такого преобразования в настоящее время чаще применяется метод билинейногопреобразования.Целью работы является: а) изучение метода определения передаточной функции рекурсивных цифровых фильтров нижних и верхнихчастот с помощью билинейного преобразования; б) исследование частотных характеристик цифровых фильтров нижних и верхних частот; в)определение и анализ реакции фильтров на тестовую дискретную последовательность.10.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
