О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 8
Текст из файла (страница 8)
8.1,а). В этом случае разностное уравнение дискретного интегратора принимает вид(8.3)y (n) = y (n − 1) + T ⋅ x(n − 1) .47Подвергнув уравнение z -преобразованию, получим передаточнуюфункцию дискретного интегратораY ( z ) T ⋅ z −1H п ( z) ==.(8.4)X ( z ) 1 − z −1x(n)x(n)x(t)аx(t)бn-2n-1n n+1 n+2n-2 n-1nn+1 n+2Рис. 8.1. Геометрическое представление интегрирования:а – по методу прямоугольников, б – по методу трапецийИнтегрирование по методу трапеций. Приращение интеграла вуравнении (8.1) численно равно площади трапеции, показанной нарис.
8.1,б). Дискретный интегратор, реализующий интегрирование пометоду трапеций, описывается разностным уравнениемT(8.5)y (n) = y (n − 1) + ⋅ [ x(n − 1) + x(n)] .2Подвергнув это уравнение z -преобразованию, найдем передаточную функцию дискретного интегратораY ( z ) T 1 + z −1H т ( z) == ⋅.(8.6)X ( z ) 2 1 − z −1Интегрирование по комбинированному методу. АЧХ дискретных интеграторов, реализующих интегрирование по методам прямоугольников и трапеций, располагаются соответственно выше и нижеАЧХ идеального интегратора.
Поэтому было предложено 1 аппроксимировать АЧХ идеального интегратора путем взвешенной комбинацииуказанных дискретных интеграторов:31H к ( z) = ⋅ H п ( z) + ⋅ H т ( z) .(8.7)44После подстановки (8.4) и (8.6) получимT 1 + 7 z −1H к ( z) = ⋅.(8.8)8 1 − z −11Al-Alaoui M. A. Novel digital integrator and differentiator // Electronics Letters. – 1993. –Vol. 29. № 4. – P.
376–378.48Интегрирование по методу параболической аппроксимации.Идея метода состоит в том, что интегрируемая функция x(t ) на интервале [(n − 2)T , nT ] аппроксимируется параболой по имеющимся тремзначениям x(n − 2) , x(n − 1) и x(n) сигнала. Приращение в формуле(8.2) находится интегрированием аппроксимирующей функции на интервале [(n − 1)T , nT ] .Разностное уравнение такого дискретного интегратора имеет вид18⎤⎡5(8.9)y (n) = y (n − 1) + T ⋅ ⎢ x(n) + x(n − 1) − x(n − 2)⎥ .1212⎦⎣12Передаточная функция интегратора равнаT 5 + 8 z −1 − z − 2H пар ( z ) = ⋅.(8.10)121 − z −18.2.2.
Дискретное дифференцированиеИдеальное дифференцирование непрерывного сигнала определяется выражениемd x(t )y (t ) =.(8.11)dtКак известно, операторы дифференцирования s и сдвига z связанысоотношением1s = ln z .(8.12)TФункция (8.12) может быть разложена в ряд тремя способами. Первые слагаемые этих разложений можно было бы рассматривать как варианты описания алгоритмов дифференцирования. Однако одно из этихразложений приводит к неустойчивому алгоритму дифференцирования,а другое – к алгоритму дифференцирования, который не может бытьреализован в системах, работающих в реальном времени. Третий способразложения приводит к двум следующим алгоритмам.Дифференцирование по методу простой разности.
Запишемфункцию (8.12) в виде ряда:1⎡11⎤s = ⎢(1 − z −1 ) − (1 − z −1 ) 2 + (1 − z −1 ) 3 − ...⎥ .(8.13)T⎣23⎦Удержав в (8.13) первое слагаемое, получим передаточную функцию цифрового дифференциатораY ( z) 1(8.14)H дп ( z ) == (1 − z −1 ) .X ( z) T49Отсюда найдем разностное уравнение1y (n) = [ x(n) − x(n − 1)] .(8.15)TДифференцирующий нерекурсивный фильтр. Если в (8.13)учесть два первых члена ряда, то после преобразований получимY ( z)1(8.16)H дн ( z ) ==(3 − 4 z −1 + z − 2 ) .X ( z ) 2TПередаточной функции (8.14) соответствует разностное уравнение1[3 ⋅ x(n) − 4 ⋅ x(n − 1) + x(n − 2)] .y (n) =(8.17)2TДифференцирующий рекурсивный фильтр.
Считая дифференцирование как действие, обратное интегрированию, рассмотрим фильтр,передаточная функция которого получена инвертированием (8.8). Этотфильтр неустойчив, так как имеет полюс z1 = 7 . Чтобы получить устойчивый фильтр, предлагается 2 отобразить неустойчивый полюс в областьвнутри единичной окружности и изменить коэффициент передачи. Врезультате передаточная функция дискретного дифференциатора принимает вид8 1 − z −1⋅H др ( z ) =.(8.18)7T 1 + 1 z −17Отсюда получим разностное уравнение18(8.19)y (n) = − y (n − 1) +⋅ [x(n) − x(n − 1)].77T8.3. Методические указанияВ работе проводится исследование описанных выше алгоритмовдискретного интегрирования и дифференцирования на соответствие иххарактеристик идеальным. Для этого предлагается провести два видаисследования:• построение АЧХ и ФЧХ дискретных интеграторов и дифференциаторов и сравнение этих характеристик с соответствующими характеристиками идеальных интегратора и дифференциатора;• расчет реакции дискретных интеграторов и дифференциаторовна входную тестовую последовательность и сравнение с реакцией идеальных интегратора и дифференциатора.2Там же.50АЧХ H (ω) =| H (e jωT ) | и ФЧХ ϕ(ω) = arg( H (e jωT )) рекомендуется~ = ωT .строить в интервале [0, π] нормированной частоты ωИдеальный интегратор имеет АЧХ и ФЧХ, определяемые выражениями:11π= ; ϕ(ω) = − .(8.20)H и (ω) =jω ω2АЧХ и ФЧХ идеального дифференциатора описываются формулами:πH д (ω) = jω = ω ; ϕ(ω) = .(8.21)2В качестве тестовой последовательности для исследования дискретных интеграторов и дифференциаторов во временной области используется гармоническая дискретная последовательность⎛ 2π ⎞x(n ) = sin ⎜ n ⎟ .(8.22)⎝M ⎠Дискретная последовательность y (n) на выходе дискретного интегратора (или дифференциатора) рассчитывается непосредственно поразностному уравнению.
Рассчитанная последовательность сравнивается с дискретной последовательностью, которая могла бы быть полученав результате дискретизации выходного сигнала идеального интегратора(или дифференциатора). Легко показать, что указанные последовательности описываются выражениями:M⎛ 2π ⎞(8.23)yии (n) = − ⋅ cos ⎜ n ⎟ ,2π⎝M ⎠M⎛ 2π ⎞(8.24)yии (n) =⋅ cos ⎜ n ⎟ .2π⎝M ⎠Сравнивая соответствующие последовательности, следует учесть наличие переходного процесса.8.4.
Программа работы8.4.1. Основное задание1. Составить программы расчета АЧХ H (ω) и ФЧХ ϕ(ω) дискретных интеграторов, реализующих интегрирование по методам прямоугольников и трапеций. Построить АЧХ и ФЧХ интеграторов и сравнить их с одноименными характеристиками идеального интегратора,построенными на тех же графиках.512. Составить программы расчета дискретной последовательностиy (n) на выходе дискретных интеграторов, реализующих интегрированиепо методам прямоугольников и трапеций. Построить графики y (n) исравнить их с графиками yии (n) идеального интегратора.3.
Составить программы расчета АЧХ H (ω) и ФЧХ ϕ(ω) дискретного дифференциатора, реализующего метод простой разности. Построить АЧХ и ФЧХ дифференциатора и сравнить их с одноименными характеристиками идеального дифференциатора, построенными на тех жеграфиках.4. Составить программы расчета дискретной последовательностиy (n) на выходе дискретного дифференциатора, реализующего методпростой разности. Построить графики y (n) и сравнить их с графикамиyии (n) идеального дифференциатора.8.4.2. Дополнительное задание5.
По аналогичной программе исследовать:• дискретные интеграторы, описываемые передаточными функциями (8.8) и (8.10);• дискретные дифференциаторы, описываемые передаточнымифункциями (8.16) и (8.18).8.5. Контрольные вопросы и задания1. Дан гармонический сигнал x(t ) = 10 ⋅ sin (0,5 ⋅ t ) . Осуществленадискретизация сигнала с периодом T = 0,05 с .
Запишите x(n) .2. На вход дискретного интегратора, описываемого уравнением(8.3), подано воздействие x(n) = δ(n) . Найдите y (n) , если y (0) = 0и T = 0,5 с .3. На вход дискретного дифференциатора, описываемого уравнением (8.15), подано ступенчатое воздействие x(n) = 1(n) . Найдите y (n) ,если T = 0,25 с .4.
Нарисуйте структурную схему дискретного интегратора, реализующего интегрирование по методу прямоугольников (трапеций).5. Запишите разностное уравнение дискретного интегратора, реализующего интегрирование по методу прямоугольников, если на входинтегратора подан сигнал x(t ) = 2 t и T = 0,2 с .6.
Запишите разностное уравнение дискретного интегратора, реализующего интегрирование по методу трапеций, если на вход интегратора подан сигнал x(t ) = 1(t ) и T = 0,5 с .52Работа 9СГЛАЖИВАНИЕДИСКРЕТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ9.1. Цель работыПри исследовании реальных процессов, как правило, вместо истинной физической величины регистрируется случайная величина x(t ) ,представляющая собой аддитивную смесь самой величины f (t )и помехи r (t ) , то есть x(t ) = f (t ) + r (t ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
