О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При этом очень важным оказывается выбор интервала дискретизации. При большом интервале дискретизации быстрые изменения непрерывного сигнала могут остаться незамеченными. Выбор малого интервала дискретизации ведет к увеличению числа отсчетов и тем самымк увеличению времени обработки. Задача о выборе интервала дискретизации наиболее просто решается при помощи теоремы, доказаннойВ. А. Котельниковым в 1933 году. Эта теорема устанавливает условияточного восстановления мгновенных значений сигнала по его отсчетам,взятым через равные промежутки времени.Целью работы является определение периода дискретизации поспектральной характеристике заданного сигнала и оценка погрешностивосстановления сигнала при помощи ряда Котельникова.7.2. Основные понятия и расчетные формулыСигнал x(t ) и спектральная характеристика X ( jω) взаимно однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:X ( jω) =x(t ) =∞∫ x(t ) e− j ωtdt;(7.1)−∞∞1X ( jω) e j ω t dω .∫2π − ∞(7.2)Пусть спектральная характеристика X ( jω) равна нулю приω < −ωв и ω > ωв .
В этом случае ее можно преобразовать в периодическую с периодом W = 2ωв и представить в виде комплексного ряда Фурье. Заменив в формуле комплексного ряда Фурье переменную t на ω ипериод T на W = 2ωв получим2πjn ω1 ∞X ( jω) = ∑ An e W ,2 n = −∞41(7.3)где коэффициенты разложения2An =Wωв∫X ( jω) e−ωв− jn2πωWπω− jn1 вdω =X ( jω) e ωв∫ωв −ωωdω .(7.4)вСравнивая правые части выражений (7.2) и (7.4), замечаем, что2ππAn =x(− n ) = 2 T x(− nT ) ,(7.5)ωвωвгдеT = π ωв .При этом спектральная характеристика (7.3) примет видn∑X ( jω) = Tx(− nT ) e j n T ω = Tn = −∞n∑x(nT ) e − j n T ω .(7.6)(7.7)n = −∞Подставляя (7.7) в (7.2), меняя порядок действия интегрирования исуммирования и вычисляя интегралы, находимω∞1 вx(t ) =T ∑ x(nT ) e − j nT ω e j ω t d ω =∫2π − ω n=−∞в∞ω∞ Tsin ωв (t − nT )T вjω (t − nT )().= ∑xnTedω=x(nT )∑∫2()ππωt−nTвn = −∞n = −∞−ωвС учетом (7.6) окончательно получим∞sin ωв (t − nT )x(t ) = ∑ x(nT ).ω(t−nT)вn = −∞(7.8)На основании изложенного В.
А. Котельниковым была сформулирована следующаяТеорема. Любую функцию x(t ) , содержащую гармонические составляющие с частотами от 0 до ω в , можно представить в виде ряда(7.8) и, наоборот, любая функция, представленная формулой (7.8), содержит лишь гармонические составляющие с частотами от 0 до ωв .Полученную формулу (7.8) можно рассматривать как разложениесигнала x(t ) по функциямsin ωв (t − nT )ϕ n (t ) =,(7.9)ωв (t − nT )причем в качестве коэффициентов ряда выступают значения сигналаx(t ) в дискретные моменты времени t n = nT , n ∈ (−∞, ∞) .42Функция ϕ n (t ) , называемая отсчетной функцией, отображает собой колебания с максимальным значением при t n = nT (на рис.
7.1,апредставлен график отсчетной функции для n = 4 ). В другие дискретные моменты времени функция равна нулю. Легко проверить, что отсчетные функции ортогональны на интервале времени, то есть∞⎧⎪d n при n = m,(7.10)ϕ(t)ϕ(t)dt=⎨m∫ n⎪0приn≠m,⎩−∞где2∞⎡ sin ωв (t − nT ) ⎤πdn = ∫ ⎢(7.11)dt ==T .⎥tnTω()ω−⎦вв−∞ ⎣Представление функции x(t ) рядом (7.8) показано на рис. 7.1,б.В каждой точке t = nT только один член ряда, стоящего в правой частивыражения (7.8), отличен от нуля и этот член равен x( nT ) .
Следовательно, в точках t = nT справедливость формулы (7.8) очевидна. В промежутках между указанными точками точное значение функции x(t )обеспечивается суммированием бесконечного числа функций вида (7.9).а0б0Рис. 7.1. Представление сигнала в виде ряда Котельникова:а – отсчетная функция; б – составляющие рядаТаким образом, функция x(t ) с ограниченным спектром, с однойстороны, может быть полностью задана множеством ее мгновенныхзначений, взятых через равные промежутки времени T . С другой стороны, если имеются числовые значения функции x(nT ) для всех n , то онаможет быть полностью восстановлена по формуле (7.8).43При практическом использовании теоремы Котельникова для восстановления непрерывного сигнала по его отсчетам необходимо учитывать следующее.
Сигналы с ограниченным спектром, для которых справедлива теорема, бесконечны во времени. Реальные же сигналы ограничены по времени интервалом [0, Tс ] и обладают, следовательно, неограниченным по времени спектром. Однако всегда можно выделить интервал частот [0, ω в ], в котором заключена основная часть энергии сигнала,а на долю составляющих спектра с частотой ω > ω в приходится малаячасть энергии сигнала.Сигнал, ограниченный по времени, приближенно описывается рядом (7.8), состоящим из конечного числа членов:Nsinωв (t − nT )∗(7.12)xN (t ) = ∑ x(nT ).ω(t−nT)вn =0При суммировании членов ряда (7.12) сигнал x(t ) воспроизводитсяточно только в точках отсчета tn = nT .
В промежутках между отсчетами возникает ошибка аппроксимации, величина которой зависит от отбрасываемой части спектра сигнала. Чтобы уменьшить ошибку, интервал дискретизации T рекомендуют принимать в 2–5 раз меньше величины, определяемой по формуле (7.6). Ряд Котельникова для восстановления сигналов используется редко. Он имеет скорее теоретическое значение, позволяя получить полезные выводы. Для восстановления жесигналов по дискретным отсчетам на практике чаще используются другие методы, например методы линейной и квадратичной интерполяции.7.3. Методические указанияВ работе исследуется сигнал x(t ) , представляющий собой одиночный импульс заданной формы (см. приложение П.1).
Программа работыпредусматривает дискретизацию заданного сигнала, восстановление егопо дискретным отсчетам и оценку погрешности восстановления.Период дискретизации T находится по формуле (7.6). Для определения граничной частоты ω в , которая используется в формуле (7.6),строится амплитудная спектральная характеристика X ( jω) =| X ( jω) |сигнала. По этой характеристике определяется граница интервала ω в ,в котором заключена основная часть энергии сигнала (рис.
7.2). Значение ω в находится из условия, что при ω > ω в выполняется неравенствоX (ω) ≤ A ,где A – заданная величина.44AРис. 7.2. Определение границы частотного интервалаПри составлении программы восстановления сигнала по формуле(7.12) надо принять во внимание, что входящие в нее отсчетные функции (7.9) имеют неопределенность при t = nT . Чтобы устранить эту неопределенность, в программе рекомендуется использовать условныйоператор, имеющийся в составе системы MatchCAD. Например, программа вычисления функцииy ( x) = sin x x(7.13)с помощью условного оператора может быть записана в видеy ( x) := if ( x ≈ 0, 1, sin x x) .(7.14)Как отмечалось выше, ряд (7.8) точно воспроизводит сигнал x(t ) вточках отсчета tn = nT .
Следовательно, в этих точках ошибка аппроксимации равна нулю, максимумы же ошибки следует ожидать примернопосередине интервалов между соседними точками отсчета. Поэтому длябыстрой оценки погрешности аппроксимации можно вычислить значения ошибки ε(nT + 0.5T ).7.4. Программа работы7.4.1. Основное задание1. Найти спектральную характеристику отсчетной функцииsin ωв (t − nT )ϕ n (t ) =.ωв (t − nT )Построить ее для произвольного значения n и T = π ωв = 1 .2. Сформировать в среде MatchCAD математическую модель сигнала x(t ) , заданного преподавателем (варианты сигналов приведены вприложении П.1). Построить график функции x(t ) .3. Составить программу расчета спектральной характеристики∞X ( jω) = ∫ x(t )e − j ω t dt045заданного сигнала x(t ) .
Построить амплитудную спектральную характеристику X (ω) =| X ( jω) | .4. По амплитудной спектральной характеристике X (ω) определитьзначение частоты ωв из условия, что X (ω) ≤ 0.05 max X (ω) при ω ≥ ωв .ω5. Определить интервал дискретизации Котельникова T = π ωви сформировать дискретную последовательностьx(n) = x(nT ) , n = 0,1,..., N = Tc T ,где Tс – интервал определения заданного сигнала x(t ) .6. Составить программу расчета сигнала x∗N (t ) , восстанавливаемогоиз дискретной последовательности x(nT ) , n = 0,1,..., N , при помощи ряда Котельникова. Построить на одном рисунке графики функций x(t )и x∗N (t ) .7. Сформировать сигнал ошибки ε(t ) = x(t ) − x∗N (t ) .
Определитьмаксимальную абсолютную ошибкуε max = max | ε (t ) | .t7.4.2. Дополнительное задание8. Повторить пункты 4–6 программы, уменьшив период дискретизации T в 2–5 раз.7.5. Контрольные вопросы и задания1. Как осуществляется дискретизация непрерывного сигнала повремени?2. Покажите, что отсчетные функции ϕ n (t ) ортогональны на интервале времени (−∞, ∞) .3.
Как изменяются отсчетные функции ϕ n (t ) при уменьшении(увеличении) периода дискретизации?4. Как выглядит спектральная характеристика отсчетной функции?5. Что понимают под числом степеней свободы сигнала x(t ) ?6. Какие методы, кроме ряда Котельникова, используются для восстановления сигнала по его отсчетам в дискретные моменты времени?46Работа 8ДИСКРЕТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ8.1. Цель работыВ задачах обработки сигналов часто возникает необходимость преобразования сигналов путем их интегрирования и дифференцирования.Например, в системах управления с целью улучшения процесса управления вводятся воздействия по производной и интегралу. В медицинских информационных системах получение диагностических показателей основано на интегрировании или дифференцировании сигналов.Для таких систем необходимы алгоритмы цифрового интегрирования идифференцирования, реализуемые в режиме реального времени.Целью работы является изучение некоторых алгоритмов цифровогоинтегрирования и дифференцирования сигналов, представленных в видеконечных дискретных последовательностей.8.2.
Основные понятия и расчетные формулы8.2.1. Дискретное интегрированиеИнтегрирование непрерывного сигнала описывается уравнениемty (t ) = ∫ x(τ) dτ .(8.1)0Для приближенной реализации интегрирования в дискретной форме имеется ряд алгоритмов.
Ограничим класс рассматриваемых алгоритмов дискретного интегрирования алгоритмами, которые можно описать разностным уравнениемy (n) = y (n − 1) + δ y [ x(n), x(n − 1), T ] ,(8.2)где y (n) – выходная последовательность, представляющая собой оценку интеграла, δ y[ x(n), x(n − 1), T ] – величина приращения на очередноминтервале дискретизации, зависящая от применяемого способаинтегрирования.Интегрирование по методу прямоугольников. Величина приращения в уравнении (8.1) находится как площадь прямоугольника(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
