О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому точное восстановление заданногосигнала согласно формуле (2.15) требует интегрирования на полубесконечном интервале [0, ∞) . На практике интегрирование осуществляют наограниченном интервале [0,ωс ], вследствие чего появляется ошибкавосстановления. Правая граница ωс частотного интервала и число точек, в которых рассчитываются значения спектральной характеристики,выбираются так, чтобы были учтены все ее особенности.2.4.
Программа работы2.4.1. Основное задание1. Сформировать в среде MathCAD математическую модель x(t )сигнала, представляющего собой импульс заданной формы.Примечание: Форма и параметры импульса задаются преподавателем или выбираются согласно заданному варианту из приложения П.1и табл. 1.1. Параметр α в вариантах 6, 7 подбирается студентом самостоятельно.2. Составить программу вычисления спектральной характеристикиX ( jω) данного сигнала x(t ) по формулам прямого преобразования Фурье.
Выбрать интервал [0,ωс ]. Построить амплитудную X (ω) и фазовую ϕ(ω) спектральные характеристики.3. Составить программу восстановления сигнала x(t ) по полученной спектральной характеристике X ( jω) с помощью формулы обратного преобразования Фурье. Построить графики исходного x(t ) и восстановленного xв (t ) сигналов. Сравнить их между собой и сделать качественные выводы по результатам восстановления.4. Изменить интервал интегрирования [0,ωс ] и повторить процедуру восстановления.
Сравнить с результатами, полученными в п. 3.152.4.2. Дополнительное заданиеy5. Для сигнала y (t ) , график которогоизображен на рис. 2.3, по формуле (2.8) Aполучить аналитическое выражение дляY ( jω) .спектральнойхарактеристикиTc tЗаписать аналитические выражения дляРис. 2.3функций a(ω), b(ω) .Примечание: Параметры импульса задаются непосредственно преподавателем или согласно вариантам из табл. 1.1.6. Составить программу вычисления спектральной характеристики Y ( jω) .
Построить амплитудную и фазовую спектральные характеристики исследуемого сигнала.2.5. Контрольные вопросы и задания1. Поясните отличие между понятиями ряда и интеграла Фурье.2. При каких условиях можно пользоваться формулой прямогопреобразования Фурье?3. Справедлив ли принцип суперпозиции для преобразования Фурье?4. Дана функция x(t ) = δ(t + τ) + δ(t − τ) . Найдите спектральнуюхарактеристику X ( jω) .5.
Поясните отличие между односторонним и двусторонним преобразованиями Фурье.6. Назовите особенности спектральных характеристик сигналов,описываемых нечетной и четной функциями.7. Какая связь существует между спектром одиночного импульса испектром периодического сигнала, образованного из таких импульсов?8. Как изменяются амплитудная и фазовая спектральная характеристики сигнала при его запаздывании?9. Что происходит со спектральной характеристикой при сжатии(растяжении) сигнала?10.
Как при помощи преобразования Фурье вычислить энергиюсигнала?16Работа 3РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВПО СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ ЛАГЕРРА3.1. Цель работыСреди всего многообразия используемых систем ортогональныхфункций заметное место занимает система функций Лагерра. Это объясняется тем, что функции Лагерра обладают рядом достоинств. Онинашли применение в задачах формирования математических моделейпромышленных объектов управления на основе временных характеристик, полученных экспериментально.Целью работы является изучение системы функций Лагерра, аппроксимация заданного сигнала с помощью функций Лагерра и изучение влияния количества членов ряда на качество аппроксимации.3.2.
Основные понятия и расчетные формулыФункции Лагерра образуют с помощью ортогональных полиномов,расчетная формула которых имеет видeτ d nLn (τ ) = ⋅ n τ n e − τ , τ ≥ 0 .(3.1)n ! dτ()Первые пять полиномов, образуемые по этой формуле, описываютсяследующими выражениями:L0 (τ) = 1;L1 (τ) = 1 − τ;L2 (τ ) = 1 − 2τ + τ 2 / 2;(3.2)23L3 (τ) = 1 − 3τ + 3τ 2 − τ 6 ;L4 (τ ) = 1 − 4τ + 3τ 2 − 2τ3 / 3 + τ 4 / 24.Полиномы Лагерра ортогональны на полуоси [0, ∞) с весомρ(τ ) = e − τ , то есть они удовлетворяют условию∞⎧ rn при n = m,−τ(3.3)∫ e Ln (τ) Lm (τ) dτ = ⎨ 0 при n ≠ m.⎩0Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся приτ → ∞ функций, удобнее пользоваться функциями Лагерраln (τ) = e - τ 2 Ln (τ) .(3.4)17После замены в (3.4) τ = 2αt и умножения на нормирующий коэффициент 2α функции Лагерра принимают следующий вид:l0 (t ) = 2α ⋅ exp(−αt ) ;l1 (t ) = 2α ⋅ exp(−αt ) ⋅ (1 − 2αt ) ;l2 (t ) = 2α ⋅ exp(−αt ) ⋅ (1 − 4αt + 2α 2t 2 ) ;l3 (t ) = 2α ⋅ exp(−αt ) ⋅ (1 − 6αt + 6α 2t 2 − 4α 3t 3 3) ;(3.5)l4 (t ) = 2α ⋅ exp(−αt ) ⋅ (1 − 8αt + 12α 2t 2 − 16α 3t 3 3 + 2α 4t 4 3) ;..........................................................................jnj Cn⋅ ( 2α t ) j .ln (t ) = 2α ⋅ exp(−αt ) ⋅ ∑ (−1) ⋅j!j =0Здесь α – масштабный коэффициент, C nj – число сочетаний из n по j .Функции Лагерра образуют полную систему ортонормированныхфункций.
Для них выполняется условие∞⎧1 при n = m,(3.6)l(t)l(t)dt=⎨nm∫0приn≠m.⎩−∞Из графиков функций Лагерра (рис. 3.1) следует, что номер функции Лагерра соответствует числу пересечений ею нулевого уровня.С повышением номера длительность функции возрастает.l k (t )1.0l00.5l20l3−0.5−1.0l10123456789αtРис. 3.1. Графики первых четырех функций ЛагерраРазложение сигнала по системе функций Лагерра записывается ввиде следующего рядаx(t ) =∞∑ cn ln (t ) ,(3.7)cn = ∫ x(t ) ln (t ) d t(3.8)n =0где∞018В практических задачах сигнал x(t ) задается на ограниченном интервале [0, T ] и число учитываемых членов ряда конечно.
Тогда функция x(t ) аппроксимируется рядомx ∗N (t ) =N −1∑ cn ln (t ) ,(3.9)n=0гдеTcn = ∫ x(t ) ln (t ) d t , n = 0,1,..., N − 1.(3.10)0Показано, что энергия сигнала, представленного в виде ряда (3.7),определяется выражением∞E x = ∫ x 2 (t ) d t =0∞∑ ci2 .(3.11)ci2(3.12)i =0Величина∗E xN=N −1∑i =0определяет часть энергии сигнала, приходящуюся на первые N членовразложения.Теоретические исследования и результаты применения на практикепоказали, что необходимая точность аппроксимации слабоколебательных сигналов усеченным рядом (3.9) достигается при N = 4–7. Прибольшем числе функций в усеченном ряде возникают трудности вычислительного характера, которые обусловлены, во-первых, необходимостью вычисления степенных рядов а, во-вторых, тем, что вычисленияфункций Лагерра с большими номерами требует малого интервала дискретизации на начальных участках.3.3.
Методические указанияФункции Лагерра часто используются для аппроксимации временных характеристик динамических систем. К ним, в частности, относитсяимпульсная переходная функция (ИПФ) w(t ), которая представляет собой реакцию системы на входной сигнал в виде δ –функции.В данной работе в качестве объекта исследования используетсяИПФ системы второго порядка. ИПФ системы, имеющей два вещественных полюса p1 = −a, p 2 = −b (a > 0, b > 0) , определяется формулойw(t ) =1 −a t1 −b tee .+b−aa−b19(3.13)ИПФ системы, которая имеет пару комплексно сопряженных полюсовp1, 2 = − a ± jb (a > 0, b > 0 ) , описывается выражениемw(t ) = e − a t sin bt .(3.14)Графики функций показаны на рис.
3.2.абРис. 3.2. Импульсные переходные функции системы второго порядка:а – с вещественными полюсами; б – с комплексно-сопряженными полюсамиИнтервал моделирования сигнала w(t ) выбирается так, чтобы запределами этого интервала значение сигнала не превышало 0.05 % отмаксимального значения. На этом интервале выбирается не менее 50дискретных значений функции.Важным моментом использования функций Лагерра для решенияпрактических задач является выбор значения масштабного коэффициента α .
Обычно это значение выбирают по имеющейся априорной информации об аппроксимируемом сигнале, а затем, после получения ианализа результатов разложения, уточняют.В работе значение коэффициента α рекомендуется выбирать так,чтобы длительности исследуемого сигнала и функций Лагерра, используемых для аппроксимации, приближенно были равны.
Исходя из этого,для ИПФ, описываемой выражением (3.13), получимα ≈ 2 ⋅ min (a, b ) ,(3.15)а для ИПФ, описываемой выражением (3.14), будем иметьα ≈ 2a .(3.16)Значение коэффициента α можно уточнить непосредственно пографикам аппроксимируемой функции w(t ) и функций Лагерра.3.4. Программа работы3.4.1. Основное задание1. Составить программу моделирования заданного сигнала w(t ).Построить график функции w(t ).
Выбрать значение α .20Примечание: Значения параметров сигнала w(t ) задаются преподавателем или определяются согласно заданному варианту из табл. 3.1.Таблица 3.1a12210Номера вариантов3456401202.515b42560ИПФw(t ) =Параметры18042073088050120w(t ) = e − at sin bt1 −a t1 −b tee+b−aa−b2. Составить программу моделирования первых пяти функций Лагерра.
Построить их графики при значении α , найденном выше. Проверить правильность выбора значения α .Примечание: Графики функций Лагерра строятся для проверкиправильности набора математических выражений, в отчете их можно неприводить.3. Вычислить значения интегралаT∫ l n (t ) l m (t ) dt0()для нескольких произвольных значений n, m n, m = 0,4 . Объяснить полученный результат.4. Составить программу для расчета значений коэффициентов ряда.Рассчитать значения коэффициентов cn , n = 0,4 . Построить спектральную диаграмму.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
