О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 6
Текст из файла (страница 6)
приложение П.2) могут быть представлены в видеbb0.(6.1)H на ( s ) = 0 = nA(s ) s + an −1 ⋅ s n −1 + ... + a1 ⋅ s + a0Свойства этих фильтров подробно описаны в литературе. Существуют и другие фильтры, имеющие передаточные функции вида (6.1) исочетающие свойства фильтров Баттерворта и Чебышева. Фильтр Лежандра, например, имеет в полосе затухания наклон АЧХ такой же крутой, как и фильтр Чебышева, и монотонную АЧХ в полосе пропускания.В фильтре Баттерворта–Томсона скомбинированы максимально плоскаяАЧХ фильтра Баттерворта и линейная ФЧХ фильтра Бесселя.Обычно фильтр реализуют в виде последовательного соединениязвеньев первого и второго порядка. Поэтому знаменатель передаточнойфункции (6.1) представляют в виде произведения сомножителей не выше второго порядка.
Тогда⎧n 2 2⎪ ∏ ( s + α1i s + α 2i ) при четных n ,⎪(6.2)A( s ) = ⎨i = 1( n −1) 2⎪( s − α ) ∏ ( s 2 + α s + α ) при нечетных n.01i2i⎪⎩i =1356.2.2. Фильтр БаттервортаАЧХ фильтра Баттерворта описывается выражением1H (ω) =,(6.3)1 + ( ω ωс ) 2 nгде ωс – граничная частота, n – порядок фильтра.Фильтры Баттерворта имеют максимально плоскую АЧХ в полосепропускания и монотонную характеристику в полосе задерживания.АЧХ фильтров Баттерворта для n = 2, 4 и 8 показаны на рис.
6.1.H(ω) 1.00.8n =2480.60.40.2001234 ωРис. 6.1. АЧХ нормированных фильтров БаттервортаПо мере возрастания порядка n фильтра Баттерворта коэффициентпередачи в полосе пропускания все в большей степени приближается кединице, переходная область все в большей степени сужается, а в полосе задерживания функция передачи все ближе и ближе подходит к нулю. При n → ∞ АЧХ фильтра Баттерворта приближается к идеальной.Фильтр Баттерворта имеет следующие свойства.1. При любом n справедливы соотношения:H (0 ) = 1;H ( ωc ) = 12;lim H (ω) = 0 .ω→ ∞(6.4)2. Функция H ( ω) фильтров Баттерворта монотонно убывает приω ≥ 0 .
Следовательно, АЧХ имеет максимальное значение при ω =0.3. Все производные функции (6.3) по частоте ω от первой до(n − 1) − й включительно при ω = 0 равны нулю. Именно по этой причине фильтр Баттерворта называют фильтром с максимально плоскойАЧХ.4. Крутизна АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка на высокихчастотах составляет 20n дБ/дек.36Таким образом, n и ωс являются теми параметрами, выбор которых позволяет удовлетворить заданный набор требований к фильтрув полосе пропускания и полосе задерживания.Передаточная функция фильтра Баттерворта не имеет нулей, а ее nполюсов располагаются в левой полуплоскости на окружности с радиусом, равным ωс .6.2.3.
Фильтр Чебышева первого родаАмплитудно-частотная характеристика ФНЧ Чебышева первогорода определяется выражением:1H (ω) =,(6.5)2 21 + ε Vn (ω ωс )где Vn – полином Чебышева порядка n , который может быть образованс помощью рекуррентной формулыVn +1 ( x) − 2 x Vn ( x) + Vn −1 ( x) = 0 .(6.6)Здесь первые два полинома принимаются равными: V0 ( x) = 1 ; V1 ( x) = x .На рис. 6.2 показаны АЧХ фильтра Чебышева первого рода. АЧХимеет равновеликие пульсации в полосе пропускания и монотонную характеристику в полосе задержания.
Размах пульсации АЧХ равенδ = 1 − 1 1 + ε2 .(6.7)Таким образом, ε представляет собой свободный параметр, который устанавливает величину неравномерности передачи в полосе пропускания. Чем меньше значение ε , тем меньше ширины полосы, в которой колеблется АЧХ в полосе пропускания.H(ω) 1.01/ 1+ε 20.8n =30.640.40.200123Рис.
6.2. АЧХ нормированных фильтровЧебышева первого типа ( ε =0.765)374 ωФильтр Чебышева имеет следующие свойства:1. АЧХ удовлетворяет условиям:H ( ωc ) = 11 + ε2 ;(6.8)если п четно,⎧⎪1,H (0) = ⎨(6.9)2⎪⎩1 1 + ε ,если п четно.2. На интервале [0, ωс ] значения функции H (ω) лежат в пределахот 1 1 + ε 2 до 1. В общей сложности, на этом интервале имеетсяn критических точек, в которых функция H (ω) достигает минимального значения 1 1 + ε 2 , или максимального значения, равного 1.3. При ω ≥ ωс функция H (ω) монотонно убывает и стремится к нулю. Крутизна спада на высоких частотах составляет 20n дБ/дек.Выбирая значения n и ε , можно удовлетворить заданныйнабор требований к фильтру в полосе пропускания и полосезадерживания. Передаточная функция фильтра Чебышева первого рода не имеет нулей.
Все полюсы располагаются в левойполуплоскости на эллипсе, большая ось которого располагается наоси ординат, а малая – на оси абсцисс.6.2.4. Денормирование и трансформация фильтровПроектирование ФНЧ и ФВЧ начинается с определения передаточной функции нормированного ФНЧ.
Под нормированным фильтромпри этом подразумевается фильтр с частотой среза полосы пропусканияω c = 1. Передаточные функции фильтров с заданными частотами срезаполучают с помощью операций денормирования (масштабированияпо частоте) и трансформации (преобразование типа фильтра).Для получения передаточной функции ФНЧ с требуемой частотойсреза используется операция денормирования (масштабированияпо частоте).
В передаточной функции нормированного ФНЧ оператор s заменяется на оператор s ωc , то есть искомая передаточная функция ФНЧ будет равнаH ( s ) = H н ( s / ωс ) .(6.10)Для того чтобы получить передаточную функцию ФВЧ с требуемой частотой среза, одновременно проводятся операции денормирования и трансформации. Указанные операции осуществляются путем за-38мены оператора s в передаточной функции нормированного ФНЧ наоператор ωc s . Передаточная функция ФВЧ определится так:H ( s ) = H н ( s / ωс ) .(6.11)6.3. Методические указанияВ работе исследуются частотные характеристики фильтров нижнихи верхних частот.
Частотные характеристики рассчитываются непосредственно по частотной передаточной функцииH ( jω) = H ( s ) s = jω .Частоту ω при построении частотных характеристик рекомендуетсяменять в диапазоне от 0 до 3ωс .Для расчета полюсов фильтра используются имеющиеся в системеMathCAD функции root(f(x),x) или polyroots(v).
Пример определениякорней полинома с помощью функции polyroots( v ) приведен в приложении П.6.Импульсная переходная функция определяется как обратное преобразование Лапласа передаточной функции H ( s ) = B ( s ) A( s ) :c + j∞1h(t ) = L {H ( s )} =H ( s )e st ds .∫2πj c − j∞−1(6.12)С учетом, что полюсы исследуемых в работе фильтров простые иненулевые, импульсная переходная функция может быть определена вследующем виде:nh(t ) = ∑ Ci ⋅ e si ⋅t ,(6.13)i =1где si – полюсы фильтра; Ci – постоянные, вычисляемые по формулеB ( si )Ci =.(6.14)A′( si )6.4.
Программа работы6.4.1. Основное задание1. Рассчитать коэффициенты передаточных функций ФНЧ и ФВЧ2-го и 3-го порядка с заданными типом и значением частоты среза ωс .Примечание. Типы исследуемых фильтров и значение частотысреза предлагаются преподавателем или, по согласованию, определяются студентом согласно варианту из табл. 6.1.39Таблица 6.1Тип и параметрыфильтраНомера вариантов12345678Тип ФНЧ–БатЧеб1БатЧеб2БатЧеб3БатЧеб4Тип ФВЧ–Чеб1БатЧеб2БатЧеб3БатЧеб4Батωсрад/с150135120105907560452. Составить программы для расчета АЧХ H (ω) и ФЧХ ϕ(ω)фильтров.3. Построить АЧХ H (ω) и ФЧХ ϕ(ω) фильтров.
Сравнить характеристики однотипных фильтров различных порядков и сделать выводы.3. Рассчитать полюсы исследуемых фильтров и показать расположение полюсов на комплексной плоскости. Сравнить расположение полюсов однотипных фильтров различных порядков и сделать выводы.6.4.2.
Дополнительное задание4. Рассчитать и построить импульсные переходные функции w(t )фильтров. Сравнить характеристики однотипных фильтров и сделатьвыводы.6.5. Контрольные вопросы и задания1. Дайте определение амплитудно-частотной характеристики.2. Поясните понятия полосы пропускания и полосы задерживанияфильтра.3. Дайте понятия фильтров нижних и верхних частот.4. Найдите значение ε , при котором величина неравномерностипередачи в полосе пропускания у фильтра Чебышева равна 0,1.4. Объясните смысл операции денормирования.5.
Объясните смысл операции трансформации.6. Поясните, каким образом преобразовать передаточную функциюФНЧ в передаточную функцию ФВЧ.7. Как отличаются АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева в полосе пропускания?40Работа 7ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ПРИ ПОМОЩИРЯДА КОТЕЛЬНИКОВА7.1. Цель работыПервым этапом цифровой обработки сигналов является дискретизация. В результате дискретизации непрерывный сигнал заменяется отсчетами, взятыми через определенные, обычно равные интервалы времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
