О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Изучите графики функций Уолша на рис. 4.1 и найдите закономерность, которой подчинены значения функций на последнем интервале постоянства.7. Назовите и поясните существующие способы упорядоченияфункций Уолша.8. Укажите особенность функций Уолша, благодаря которой упрощается расчет коэффициентов ряда.9. Как из системы дискретных функций Уолша для N = 16 образовать аналогичную систему для N = 8 ?28Работа 5РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВПО СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ ХААРА5.1. Цель работыСовременные высокоэффективные алгоритмы сжатия при обработке изображений базируются в основном на методах вейвлет-анализа,среди которых заметное место занимает классический ортогональныйбазис Хаара.
Функции Хаара, как и функции Уолша, относятся к классукусочно-постоянных функций. Их существенное отличие от функцийУолша заключается в том, что они локализованы на отдельных частяхизучаемого интервала. Поэтому функции Хаара, которые позволяютоценить локальные свойства исследуемых сигналов, часто называютвейвлетами Хаара.Целью работы является изучение системы ортогональных функцийХаара, разложение сигнала заданной формы и исследование влияниячисла членов ряда на погрешность аппроксимации.5.2. Основные понятия и расчетные формулы5.2.1.
Функции ХаараРассматриваемую в работе систему впервые построил и начал изучать в 1909 г. А. Хаар. Система Хаара состоит из кусочно-постоянныхфункций, заданных на интервале [0, 1) . Для функций Хаара наряду содинарной (порядковой) нумерацией широко используется и двойнаянумерация. Двойная нумерация соответствует групповому принципуформирования функций Хаара.Первая функция системы Хаара постоянна:χ 0 (θ) ≡ 1, θ ∈ [0, 1) .(5.1)Остальные функции системы Хаара удобно строить по группам:группа с номером m содержит 2 m функций χ m k (θ) , m = 1,2,... ,k = 0,1,...,2 m − 1 .В первую группу ( m = 0 ) входит одна функция:⎧ 1, θ ∈ [0, 1 );⎪2(5.2)χ1 (θ) = χ 00 (θ) = ⎨1⎪− 1, θ ∈ [ , 1).⎩229Вторая группа ( m = 1 , k = 0,1 ) состоит из двух функций:χ 2 (θ) = χ10 (θ) и χ 3 (θ) = χ11 (θ) ; третья группа ( m = 2 , k = 0,1, 2, 3 ) – изчетырех функций: χ 4 (θ) = χ 20 (θ) , χ 5 (θ) = χ 21 (θ) , χ 6 (θ) = χ 22 (θ) ,χ 7 (σ) = χ 23 (θ) и т.
д.Для формирования функций Хаара используется следующая формула:⎧⎡ k k +1 2⎞m⎟;⎪ 2 , θ∈ ⎢ m ,m⎣⎠22⎪⎪⎡k + 1 2 k + 1⎞(5.3)χ m k (θ) = ⎨− 2 m , θ ∈ ⎢ m , m ⎟;⎣ 22 ⎠⎪⎪⎡ k k + 1⎞⎪ 0, θ ∉ ⎢ m , m ⎟ .⎣22 ⎠⎩На рис. 5.1 изображены первые восемь функций системы Хаара.Легко видеть, что первые две функции Хаара – такие же, как и соответствующие функции Уолша, упорядоченные по Уолшу или по Пэли. Остальные функции Хаара имеют локальный характер области определения.χ(0)(θ)χ(1)(θ)001020-2211θ0χ(1)(θ)2201 θ-201θ-1χ(1)1 (θ)21 θ2χ(2)(θ)221 θ0-2χ(2)1 (θ)01 θ2χ(3)(θ)221 θχ(4)(θ)201θ-2Рис.5.1. Графики первых восьми функций ХаараВ настоящее время функции Хаара называют и вейвлетами Хаара,поскольку они могут быть описаны с помощью формальных правил,принятых в теории вейвлет-анализа.
Скейлинг-функция и «материнский30вейвлет» Хаара совпадают соответственно с первой и второй функциями рассмотренной системы, то есть:ϕ(θ) = χ 0 (θ) ≡ 1, θ ∈ [0, 1) ;(5.4)1⎧θ∈1,[0,);⎪⎪2Ψ (θ) = ϕ(2θ) - ϕ(2θ - 1) = χ1 (θ) = ⎨(5.5)1⎪− 1, θ ∈ [ , 1).⎪⎩2Функции системы Хаара определяются согласно теории вейвлетовпутем масштабных преобразований и переносов «материнского вейвлета»:χ m k (θ) = 2 m ψ (2 − m θ − k ); m = 0, 1, 2, ...; k = 0, 1, ..., 2 m − 1 . (5.6)При использовании одинарной нумерации, как легко показать, номер функции Хаара, начиная с n = 1 , определяется по значениям m и kс помощью формулыn = 2 m + k ; m = 0, 1, 2, ...; k = 0, 1, ..., 2 m − 1 .(5.7)Иногда функции Хаара определяются иначе. На интервалах, гдефункции отличаются от нуля, значения их принимаются равными +1или –1.
Определенные таким образом функции Хаара ортогональны, ноне нормированы. Такие ненормированные функции Хаара удобно использовать при анализе и синтезе логических функций.5.2.2. Разложение непрерывных сигналов в базисе ХаараСистему ортогональных функций Хаара можно использовать в качестве базисной при разложении в равномерно сходящийся ряд Хааранепрерывного сигнала, заданного на отрезке [0, T ) .При использовании функций Хаара в качестве базисных для аппроксимации сигнала x(t ) на отрезке [0, T ) безразмерный аргумент θнеобходимо заменить на α t , где коэффициент α = 1 T задает необходимый временной масштаб функций и имеет размерность времени в минуспервой степени.Ряд Хаара одномерного сигнала x(t ), t ∈ [0, T ) будет иметь вид∞⎛t⎞⎝ ⎠n =1где коэффициенты рассчитываются по формуле1 T⎛t⎞cn =x(t ) χ n ⎜ ⎟ d t .∫T 0⎝T ⎠x(t ) =∑ cn χ n ⎜ T ⎟ ,31(5.8)(5.9)Усеченные ряды ХаараN −1⎛t⎞(5.10)⎝ ⎠n=0обладают равномерной, среднеквадратической сходимостью и сходимостью в среднем.
Они могут быть использованы для аппроксимации сигналов, описываемых интегрируемыми функциями.Средняя квадратическая погрешность аппроксимации при конечном числе ортогональных составляющих ряда Хаара рассчитывается поформулеx ∗N (t ) =∑ cn χ n ⎜ T ⎟2TN −1⎡⎛ t ⎞⎤−()(5.11)xt∑ cn χ n ⎜ T ⎟⎥ dt .∫⎢⎝⎠n=0⎦0 ⎣При использовании двойной нумерации ряд Хаара записываетсяследующим образом:1σ2 =T∞2 m −1⎛t⎞cm k χ m k ⎜ ⎟ .(5.12)T⎝⎠m=0 k =0Особенностью функций Хаара является сравнительная простота ихполучения (генерирование в радиоустройствах).
Базисную системуфункций Хаара целесообразно использовать для анализа и синтеза импульсных сигналов конечной длительности.Применение функций Хаара наиболее эффективно для анализа сигналов с сильно выраженными локальными особенностями в виде кратковременных всплесков и колебаний. Это объясняется тем, что аппроксимация этих всплесков и колебаний осуществляется ограниченнымчислом составляющих ряда, расположенных в соответствующей частиинтервала [0, T ) .x(t ) = c0 +∑ ∑5.3. Методические указанияПрограмма работы предусматривает разложение в ряд Хаара сигнала, описываемого на заданном интервале [0, T ) функцией x(t ) .
Чтобысоставить программу, пригодную для анализа функций на интервалахразличной длительности, функции Хаара рекомендуется сформироватьсначала на интервале [0, 1) относительного времени. При составлениипрограммы моделирования функций Хаара предлагается использовать«материнский вейвлет», описываемый функцией (5.5). Получить «материнский вейвлет» в масштабе относительного времени, в частности,можно с помощью условного оператора if:h ( t) := if ( t ≤ 0 , 0 , 1) − 2 if ( t ≤ 0.5 , 0 , 1) + if ( t ≤ 1 , 0 , 1) .32Один из возможных способов получения системы функций Хааразаключается в том, что формируется вектор-функция, каждая составляющая которого записывается согласно формуле (5.6) в масштабе относительного времени и с соблюдением одинарной нумерации.
Чтобыполучить функции Хаара для заданного интервала [0, T ) , в векторфункции выполняется указанная выше подстановка t = t T .Пример формирования вектор-функции Хаара приведен в приложении П.6.5.4. Программа работы5.4.1. Основное задание1. Составить программу моделирования функций Хаара χ n (t ) ,t ∈ [0, T ) , n = 0,1,..., N − 1, для N = 16 . Пронаблюдать графики функцийХаара и проверить их правильность.2. Убедиться в том, что функции Хаара удовлетворяют условию ортогональности. Для этого вычислить значения интегралов1T ⎛ t ⎞⎛t⎞χ n ⎜ ⎟ ⋅ χ m ⎜ ⎟ ⋅ dt∫T 0 ⎝T ⎠⎝T ⎠длянесколькихпроизвольныхзначенийn=mиn≠m(n, m = 0,1,..., N − 1).3.Сформировать в среде MathCAD заданную функцию x(t ) ,t ∈ [0, T ) .
Построить ее график.Примечание. Сигнал x(t ) задается преподавателем или определяется из приложения П.1 согласно заданному варианту. Длительностьсигнала выбирается произвольно: T = Tс ≠ 1 с .4. Рассчитать значения коэффициентов cn , n = 0,1,..., N − 1, разложения заданной функции x(t ) в базисе функций Хаара.5. Составить программу вычисления функцииN −1⎛t⎞∗x N (t ) = ∑ cn ⋅ χ n ⎜ ⎟, t ∈ [0, T ) .⎝T ⎠n =06. Построить спектральную диаграмму и сделать выводы о спектральном составе исследуемого сигнала x(t ) .7. Построить график ошибки аппроксимацииε N (t ) = x(t ) − x ∗N (t ) .Проанализировать характерные признаки ошибки аппроксимации.335.4.2.Дополнительное задание8.
Образовать аппроксимирующий сигнал x ∗N (t ) путем суммирования первых восьми членов ряда ( N = 8 ). Построить график ошибки аппроксимации ε N (t ) = x(t ) − x ∗N (t ) . Сделать выводы.9. Рассчитать значения средней квадратической ошибкиTσ = ∫ [ x(t ) − x ∗N (t )]2 dt20для N = 8 и N = 16 . Сделать выводы.5.5. Контрольные вопросы и задания1. Дайте определение функций Хаара.2. Изобразите график функции x(θ ) = χ 3 (θ ) + χ 7 (θ) .⎛t⎞⎛t⎞3.
Изобразите график функции x(t ) = χ 2 ⎜ ⎟ + χ 6 ⎜ ⎟ , если⎝T ⎠⎝T ⎠T = 0,1 с .4. Сколько функций образуют систему Хаара, если в ней использовано четыре группы?5. Сколько функций Хаара входит в группу m=6?6. К какой группе m принадлежит функция Хаара χ15 (θ) ? Изобразите ее график.7.
Покажите, что функции Хаара ортогональны.8. Найдите энергию функции Хаара χ 3 (t ) при T = 2 с .34Работа 6ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВНИЖНИХ И ВЕРХНИХ ЧАСТОТ6.1.Цель работыРешение задачи аппроксимации характеристик идеальных фильтров нижних и верхних частот (ФНЧ и ФВЧ) при помощи устойчивой ифизически реализуемой передаточной функции привело к созданию целого семейства типовых фильтров.
Наибольшую известность среди них,благодаря простоте, приобрели фильтры Баттерворта и Чебышева.Целью работы является изучение методов расчета ФНЧ и ФВЧ Баттерворта и Чебышева по заданным требованиям к амплитудночастотной характеристике (АЧХ) и построение характеристик рассчитанных фильтров.6.2. Основные понятия и расчетные формулы6.2.1. Нормированные аналоговые фильтры нижних частотНормированные передаточные функции фильтров Баттерворта иЧебышева (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
