О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Основные понятия и расчетные формулы10.2.1. Нормированные аналоговые фильтры нижних частотВ работе рассматриваются фильтры, нормированные передаточныефункции которых не содержат нулей и могут быть представлены в видеb0B( s)H на (s ) =.(10.1)= nA ( s ) s + an−1 ⋅ s n−1 + ... + a1 ⋅ s + a0Обычно фильтр реализуют в виде последовательного соединениязвеньев первого и второго порядка. Поэтому знаменатель передаточнойфункции (10.1) представляют в виде произведения сомножителей невыше второго порядка. Тогда⎧n 2 2⎪ ∏ ( s + α1i s + α 2i ) при четных n ,⎪A( s ) = ⎨i = 1(10.2)( n −1) 22⎪( s − α ) ∏ ( s + α s + α ) при нечетных n.01i2i⎪⎩i =1Параметры нормированных передаточных функций ФНЧ, исследуемых в работе, приведены в приложении П.2.5910.2.2. Билинейное преобразованиеПередаточная функция цифрового фильтра может быть полученапутем преобразования передаточной функции аналогового фильтра.
Дляэтих целей, как правило, используется метод билинейного преобразования, имеющий некоторые преимущества перед другими методами. Основу метода составляет конформное отображение s -плоскости в z плоскость при помощи соотношения2 1 − z −1s= ⋅.(10.3)T 1 + z −1Каждой точке комплексной плоскости s = δ + j ω выражение (10.3)ставит в соответствие определенную точку на плоскостиz = exp[(δ + j ω) T ] и при этом отображает:1) открытую левую s -полуплоскость в область, расположеннуювнутри единичного круга (| z |< 1);2) мнимую ось s -плоскости в единичную окружность ( | z |= 1 );3) открытую правую полуплоскость s в область, расположеннуювне единичного круга (| z |> 1 ).Подстановкой (10.3) в передаточную функцию H а ( s) аналоговогофильтра получают передаточную функцию H (z ) цифрового фильтраH ( z ) = H а ( s ) s = 2 ⋅1 − zT 1+ z−1−1.(10.4)Однако соотношение между частотой Ω аналогового фильтра и частотой ω цифрового фильтра оказывается существенно нелинейным.
Действительно, из формулы (10.3) при s = j Ω и z = exp( j ω T ) следует, что2⎛ ωT ⎞Ω = ⋅ tg⎜(10.5)⎟.T⎝ 2 ⎠При переходе от частоты Ω к частоте ω длительности полос пропускания и задерживания частотных интервалов деформируются. Но всемаксимумы и минимумы АЧХ аналогового фильтра сохраняются и вАЧХ цифрового фильтра. При этом сохраняются основные свойствафильтров (тип, неравномерность АЧХ для соответствующих диапазоновчастот и др.). Деформация шкалы частот проявляется и в искаженияхФЧХ фильтра.Все полюса аналогового фильтра, расположенные в левой половинеs -плоскости, при билинейном преобразовании отображаются во внутреннюю область единичного круга, поэтому цифровой фильтр будет устойчивым, если устойчив аналоговый прототип.6010.2.3.
Определение передаточной функции ФНЧ и ФВЧНормированные ФНЧ (см. приложение П.2), имеют частоту среза Ω с = 1 . Переход от передаточной функции H н (s ) нормированногоФНЧ к передаточной функции H цнч ( z ) цифрового ФНЧ с заданной частотой среза ωс выполняется в три этапа:1) определение частоты среза Ω с аналогового фильтра-прототипа2⎛ω T ⎞(10.6)Ω с = ⋅ tg⎜ с ⎟ ;T⎝ 2 ⎠2) определение передаточной функции H анч ( s ) аналогового фильтра-прототипа с помощью процедуры денормирования:(10.7)H анч (s ) = H н (s ) s = s ;Ωс3) определение передаточной функции H цнч ( z ) цифрового ФНЧс помощью билинейного преобразования:H цнч ( z ) = H анч (s ) s = 2 ⋅1− z .−1T 1+ z−1(10.8)Пусть требуется получить передаточную функцию цифрового ФНЧБаттерворта первого порядка с частотой среза ω с = 5 рад/с и периодом T = 0,2 с .
Определим частоту среза аналогового фильтра-прототипа2⎛ω T ⎞Ω с = ⋅ tg⎜ с ⎟ = 10 ⋅ tg (0,5) = 5,463 рад/с.T⎝ 2 ⎠Согласно таблице, приведенной в приложении П.2, запишем передаточную функцию нормированного ФНЧ заданного типа:1H н (s) =.s +1После денормирования с помощью подстановки s = s Ω с получимпередаточную функцию аналогового фильтра-прототипаΩс5,463H анч (s ) =.=s + Ω с s + 5,463Выполнив билинейное преобразование H анч (s ) , найдем передаточную функцию искомого цифрового ФНЧb0 + b1 z −1−121−z,H цнч ( z ) = H анч (s ) s = ⋅=T 1+ z −1a0 + a1 z −1где a0 = Ω с +22; a1 = Ω с − ; b0 = b1 = Ω с .TT61Подставив численные значения, получим5,463 + 5,463 z −1 0,353(1 + z −1 )H цнч ( z ) ==.15,463 − 4,537 z −1 1 − 0,293 z −1Передаточная функция H цвч ( z ) цифрового ФВЧ с заданной частотой среза Ω с определяется в те же три этапа:1) определение частоты среза Ω с по формуле (10.6);2) определение передаточной функции H авч ( s ) аналогового фильтра-прототипа с помощью процедуры трансформации:H авч (s ) = H н (s ) s = Ω с ;(10.9)s3) определение передаточной функции H цвч ( z ) цифрового ФВЧс помощью билинейного преобразования:H цвч ( z ) = H авч (s ) s = 2 ⋅1− z−1T 1+ z −1.(10.10)Пусть требуется получить передаточную функцию цифрового ФВЧЧебышева ( ε = 0,153 ) первого порядка с частотой среза ω с = 5 рад/си периодом дискретизации T = 0,2 с .
Частота среза аналогового фильтра-прототипа будет той же: Ω с = 5,463 рад/с. В приложении П.2 найдемпередаточную функцию нормированного ФНЧ заданного типа:6,552.H н (s) =s + 6,552Денормирование и трансформация путем подстановки s = Ω с s дает передаточную функцию аналогового фильтра-прототипаs6,552 sH авч (s ) =.=6,552 s + Ω с s + 0,834Выполнив билинейное преобразование H авч (s ) , найдем передаточную функцию H цвч ( z ) искомого цифрового ФНЧH цвч ( z ) = H авч (s )2 1− z −1s= ⋅T 1+ z −1=b0 + b1 z −1a0 + a1 z −1,222; a1 = Ω с − 6,552 ⋅ ; b0 = −b1 = 6,552 ⋅ .TTTПодставив численные значения, будем иметь65,52 + 65,52 z −10,923(1 − z −1 )H цнч ( z ) ==.70,985 − 60,057 z −1 1 − 0,846 z −1где a0 = Ω с + 6,552 ⋅6210.3.
Методические указанияВ работе исследуются цифровые фильтры второго порядка. Передаточные функции исследуемых фильтров определяются по описаннойвыше методике. Все исследования проводятся по полученным передаточным функциям.Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) цифровых фильтров рассчитываются по передаточной функции и строятся с учетом их периодичности в интервале частот [0, π / T ] .Для проверки фильтрующих свойств цифрового фильтра формируется входная дискретная последовательностьx(n) = sin (ω1T ⋅ n) + cos(ω2T ⋅ n) , n = 0, 1, ..., N -1 (N ≈ 500) , (10.11)где значение ω1 выбирается из полосы пропускания фильтра, а значение ω2 – из полосы задерживания фильтра.Выходной сигнал y (n) цифрового фильтра рассчитывается по разностному уравнению, полученному из передаточной функции.10.4.
Программа работы10.4.1. Основное задание1. Использовав в качестве прототипа нормированную передаточную функцию второго порядка (см. приложение П.2) и заданные втабл.10.2 тип фильтра и значение частоты среза ωс , найти передаточную функцию цифрового ФНЧ.Таблица 10.1Типи параметрыНомера вариантов123456780.050.08Tсωсрад/с1501201008040503025ФНЧ–БатЧеб2БатЧеб1БатЧеб3БатЧеб2ФВЧ–Чеб1БатЧеб3БатЧеб2БатЧеб1Бат0.008 0.01 0.012 0.02 0.025 0.042. Составить программу расчета коэффициентов передаточнойфункции цифрового ФНЧ. Рассчитать коэффициенты передаточнойфункции фильтра для заданных в табл.10.2 значений ωс и T .3.
Составить программу расчета АЧХ и ФЧХ цифрового ФНЧ приω∈ [0, π / T ] . Построить АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра.634. Сформировать согласно (10.11) дискретную последовательность x(n) , n = 0,1,..., N − 1 , ( N ≈ 500).5. По найденной ранее передаточной функции записать разностноеуравнение цифрового фильтра и составить программу расчета выходнойпоследовательности y (n) цифрового фильтра при входной последовательности x(n) . Пронаблюдать на экране дискретные последовательности x(n) , y ( n) и сделать вывод о работе фильтра.6. Повторить пункты 1–5 для заданного цифрового ФВЧ.10.4.2.
Дополнительное задание7. Уменьшить значение периода дискретизации T на 20%. С помощью составленной программы рассчитать коэффициенты передаточной функции, АЧХ и ФЧХ цифровых ФНЧ и ФВЧ. Сравнить АЧХ иФЧХ при двух значениях периода дискретизации и сделать вывод.10.5. Контрольные вопросы и задания1. Дайте понятие цифрового фильтра.2. Чем отличается деление цифровых фильтров по признакам «нерекурсивный и рекурсивный» и «конечная и бесконечная импульсныехарактеристики»?3. Какие методы используются для преобразования передаточнойфункции аналогового фильтра-прототипа в передаточную функциюцифрового фильтра?4. Каким условиям должна удовлетворять процедура преобразования передаточной функции аналогового прототипа в передаточнуюфункцию цифрового фильтра?5. Поясните основной недостаток билинейного преобразования.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
