О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для того чтобы оценить значения ω1 иω2 по графику, необходимо найти значения k1* и k 2* , соответствующиеточкам максимума. Легко убедиться, что искомые оценкиππω1* =k1* , ω*2 =k 2* .(13.13)128 ⋅ T128 ⋅ T803.664s4k20.09200204060800100120140128kРис. 13.1. Оценка спектральной плотности мощности,полученная при помощи метода коррелограмм13.4. Программа работы13.4.1. Основное задание1. Для гармонической функции x(t ) = A ⋅ sin (ω1t + ϕ) получить аналитические выражения корреляционной функции R x (τ) и спектральнойплотности S x (ω) . Построить график спектральной плотности.x(n),2. Сформироватьисследуемуюпоследовательностьn = 0, 1, ..., N − 1 ( N = 512) , приняв параметры регулярной составляющей из табл.13.1 согласно заданному варианту, а для случайной составляющей значение b = 5 .
Пронаблюдать на экране полезную и случайнуюсоставляющие, а также исследуемую последовательность в целом.3. Составить программу расчета оценки S *x (ω) спектральной плотности по методу коррелограмм с прямоугольным окном. Построитьграфик оценки S *x (ω) спектральной плотности и определить оценкичастот ω1 и ω2 .Таблица 13.1Номера вариантовПараметры12345678T,с0.010.02ω1 ,рад/с9481360300200150180280ω2 ,рад/с5.214120801202050100ОконнаяфункцияБартлетта0.002 0.012 0.005 0.015 0.008 0.004Хэнна81ХэммингаБлэкмана4. Составить программу расчета оценки S *x (ω) спектральной плотности по методу коррелограмм с использованием оконной функции, заданной в табл.
13.1. Построить график оценки S *x (ω) спектральнойплотности и определить оценки частот ω1 и ω2 .5. Сравнить результаты, полученные в пп. 3 и 4. Сделать выводы овлиянии оконной функции на качество оценивания.13.4.2. Дополнительное задание6. Исследовать влияние уровня случайной составляющей (помехи)на качество оценивания.Примечание.
Значение b , определяющее уровень случайной составляющей, изменять в интервале от 5 до 10.7. Исследовать работу коррелограммного метода для близких значений ω1 и ω2 .13.5. Контрольные вопросы и задания1. Дайте физическое понятие спектральной плотности мощности.2. Докажите, что S x ( −ω) = S x (ω) .3. Как выглядит график спектральной плотности «белого шума»?4.
Объясните физический смысл спектральной плотности «белогошума».5. Определите спектральную плотность мощности случайного процесса с корреляционной функциейR x (τ) = σ 2 exp(−α⋅ | τ |), α > 0 .6. Докажите, что если спектральная плотность случайного процесса S x (ω) = 0 при ω = 0 , то его автокорреляционная функция удовлетворяет соотношению∞∫ R(τ)dτ = 0 .-∞7. Чем объясняется просачивание энергии при использованиипрямоугольного окна?82Работа 14СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕПРИ ПОМОЩИ ПЕРИОДОГРАММНОГО МЕТОДА14.1. Цель работыПериодограммный метод относится к классическим методам спектрального оценивания. В этом методе преобразование Фурье применяется непосредственно к последовательности, полученной в результатедискретизации конечной реализации случайного процесса.Целью работы является изучение периодограммного метода оценивания спектральной плотности и его практическое освоение на примереанализа тестовой дискретной последовательности, содержащей две гармонические составляющие и помеху.14.2.
Основные понятия и расчетные формулы14.2.1. Периодограммный метод оцениванияспектральной плотностиСпектральная плотность мощности случайного процесса можетбыть получена в результате непосредственного преобразования Фурьеслучайного процесса. Преобразование Фурье реализации случайногопроцесса xр (t ) имеет вид∞X р ( jω) =∫xр (t ) e − j ω t dt .(14.1)−∞Спектральная плотность мощности определяется по формуле:1S x (ω) = limM [ | X р ( jω) |2 ] .Tр → ∞ 2 ⋅ Tр(14.2)Оценка спектральной плотности производится по известной реализации xр (t ) случайного процесса путем формирования из нее дискретной последовательности x(n), n = 0,1, ...
, N − 1 и обработки этой последовательности в соответствии с приведенными выше формулами.Преобразование Фурье действительной последовательности конечной длины x(n), n = 0,1, ..., N − 1, равноX (ej ωT)=N −1∑n=083x ( n) e − j ω T n .(14.3)Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания вформуле (14.2), в качестве оценки спектральной плотности используютфункцию1Px (ω) =(14.4)|X (e j ωT ) |2 .NОценка спектральной плотности, полученная с помощью прямогопреобразования Фурье согласно формулам (14.3) и (14.4), получила название периодограммы.При использовании дискретного преобразования Фурье формулы(14.3) и (14.4) принимают следующий вид:X (k ) =N −1∑ x(n) ⋅ e− j Ω T k n ,k = 0,1,..., N − 1,(14.5)n =01(14.6)|X (k )|2 , k = 0,1,..., N − 1.NВ общем случае, поскольку была опущена операция математического ожидания, периодограмма не является состоятельной оценкой исуществует возможность ее флуктуации около истинного значения спектра.
Для получения состоятельной оценки спектра используютсяфильтры и методы усреднения периодограмм.Используя фильтр нижних частот с частотной характеристикойH (k ) , получают модифицированную периодограмму~Px (k ) = H (k ) Px (k ) .(14.7)Px (k ) =В частности, фильтрация может быть выполнена с помощью алгоритмаскользящего усреднения, рассмотренного в работе 9 (см. стр. 53).При использовании метода усреднения периодограмм из исходнойпоследовательности данных формируется псевдоансамбль дискретныхпоследовательностей (сегментов) и соответствующий псевдоансамбльпериодограмм. Получили известность алгоритмы Бартлетта и Уэлча.
Валгоритме Бартлетта исходная дискретная последовательность из N отсчетов разбивается на V неперекрывающихся сегментов. Основное отличие алгоритма Уэлча состоит в том, что используется перекрывающееся сегментирование исходной последовательности отсчетов.Рассмотрим последовательность действий при использовании алгоритма Уэлча.
На первом этапе из анализируемой дискретной последовательности x(n), n = 0, 1, ... , N − 1 , формируется несколько сегментов.При этом выбирается коэффициент D перекрытия соседних сегментов иопределяется число V сегментов. Как правило, коэффициент перекрытия D = 0.5 или D = 0.75 .84Число V сегментов определяется по формулеV = Eц [( N − D ⋅ L ) ( L − D ⋅ L )] ,(14.8)где N – общее количество отсчетов анализируемого процесса, L – количество отсчетов в формируемых сегментах, Eц означает «целая частьчисла, заключенного в квадратные скобки».После этого из заданной дискретной последовательности формируетсяVдискретных последовательностейxr (l ) ,r = 1,...,V ,l = 0,1,..., L − 1.
Варианты перекрытия сегментов, соответствующие данным значениям коэффициента V = 3 , показаны на рис. 14.1.x(n)aсегмент 1сегмент 2x(n)сегмент 3бсегмент 1сегмент 2сегмент 3Рис. 14.1. Варианты перекрытия сегментов:а – с коэффициентом перекрытия D = 0.5 ;б – с коэффициентом перекрытия D = 0.75На втором этапе выбирается оконная функция w(l ) , осуществляется преобразование дискретных последовательностей xr (l ) ⋅ w(l ),r = 1,...,V , l = 0,1,..., L − 1 по Фурье:X r (k ) =L −1∑l =0xr (l ) ⋅ p (l ) ⋅ e − j Ω T k l , k = 0,1,..., N − 1 , r = 1,...,V(14.9)и производится расчет функций:1| X r (k ) |2 .(14.10)NНа третьем этапе выполняется усреднение результатов, полученных для нескольких сегментов, с целью уменьшения дисперсии оценки.Усредненная оценка рассчитывается по формуле1 VS x* (k ) =(14.11)∑ Pxr (k ) .V r =1Pxr (k ) =85Для вычисления спектральных характеристик X (k ) могут быть использованы алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ).14.3.
Методические указанияДля исследования описанных выше методов оценивания спектральной плотности формируется тестовая последовательностьx(n ) = f (n) + r (n), n = 0, 1, ..., N ,(14.12)в которой полезная составляющая f (n ) образуется путем дискретизации сигнала f (t ) , состоящего из двух гармонических составляющих сразличными частотами:f (n) = sin (ω1T n) + cos(ω2T n) ,(14.13)а помеха r (n ) представляет собой центрированную случайную последовательность, генерируемую при помощи стандартных функций системы MathCAD. Нецентрированная случайная последовательность r1(n )формируется при помощи стандартной функции rnd( x ) :r1(n ) = rnd(b ) ,(14.14)где b – верхняя граница интервала разброса случайных чисел. Эта последовательность центрируется при помощи функции mean(r1) . В результате будем иметьr (n ) = r1(n ) − mean(r1) .(14.15)Таким образом, тестовая последовательность окончательно принимает видx(n ) = sin (ω1T n) + cos(ω1T n) + r (n ) .(14.16)Число элементов в этой последовательности принимается равнымN = 2 m , где m – целое число.
Значения параметров последовательностиприведены в табл. 14.1. Целью работы является оценивание значений ω1 и ω2 .Таблица 14.1Номера вариантовПараметры12345678T,с0.010.020.002 0.012 0.005 0.015 0.008 0.004ω1 ,рад/с9481360300200150180280ω2 ,рад/с5.214120801202050100ОконнаяфункцияБартлеттаХэнна86ХэммингаБлэкманаОценивание спектральной плотности по методу периодограммосуществляется согласно описанному выше алгоритму, например, приN = 2048 , L = 1024 и D = 0.5 . При этом согласно формуле (14.7) имеемчисло интервалов V = 3 , то есть исследуемая последовательность x(n)разбивается на три последовательности x1 (n), x2 (n), x3 (n) , как показанона рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
