О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 15
Текст из файла (страница 15)
14.1,а. Последовательности x1 (n), x2 (n), x3 (n) подвергаютсяпреобразованию при помощи оконной функции w(n) заданного вида(см. табл. 14.1. и приложение П.3):yi (n) = xi ( n) ⋅ w( n), i = 1, 2, 3.(14.17)Преобразование дискретных последовательностей yi (n) по Фурьеосуществляется при помощи алгоритма БПФ, реализованного в системеMathCAD. Обращение к нему осуществляется в следующем виде:X = fft (x),(14.18)где x – вектор, образованный значениями дискретной последовательности; X – вектор, составляющими которого являются значения спектральной характеристики (спектральной плотности) в дискретных точках частотного интервала.
Обращаем внимание на то, что размерностивекторов x и X должны удовлетворять определенным требованиям,которые описаны в приложении П.5.Оценка спектральной плотности будет получена в виде дискретнойпоследовательности S x* (k ), k = 0, 1, ..., 512 . График оценки S x* (k ) можетвыглядеть, например, так, как показано на рис. 14.2.0.037Sk4.349× 10− 50.040.0200501001502002500300350400450k500550512Рис.
14.2. Оценка спектральной плотности мощности,полученная при помощи метода периодограммЧтобы оценить значения ω1 и ω2 , необходимо найти значения k1* иk 2* , соответствующие точкам максимума. Легко убедиться, чтоππω1* =k1* , ω*2 =k 2* .(14.19)512 ⋅ T512 ⋅ T8714.4. Программа работы14.4.1. Основное задание1. Сформироватьисследуемуюпоследовательностьx(n),n = 0, 1, ..., N − 1 ( N = 2048) , задав параметры регулярной составляющей из табл.14.1 согласно заданному варианту и приняв для случайнойсоставляющей произвольное значение b из интервала [5; 10].
Пронаблюдать на экране полезную и случайную составляющие, а также исследуемую последовательность в целом.2. Разбить последовательность x(n), на сегменты с коэффициентомперекрытия D = 0.5 и сформировать три последовательностиx1 (n), x2 (n), x3 (n) .3. Рассчитать спектральные характеристики X 1 (k ) , X 2 (k ) , X 2 (k )и периодограммы Px1 (k ) , Px 2 (k ) , Px3 (k ) .4.
Получить оценку спектральной плотности мощности S x* (k ) ирассчитать оценки ω1* и ω*2 .14.4.2. Дополнительное задание5. Повторить пункты 2–4 программы, предварительно подвергнувпоследовательности x1 (n), x2 (n), x3 (n) преобразованию при помощи заданной в табл. 14.1 оконной функции. Сделать выводы.14.5. Контрольные вопросы и задания1. Какие составляющие входят в процесс X (t ) , если его спектральная плотность имеет видS *x (ω) = 2 ⋅ π ⋅ δ(ω) + 5 ⋅ π ⋅ [δ(ω − 9) + δ(ω + 9)] ?2. Дайте понятие быстрого преобразования Фурье (БПФ).88ПРИЛОЖЕНИЯП.1.
Варианты исследуемых функций⎧( A τ) ⋅ t при 0 ≤ t ≤ τ ,⎪x(t ) = ⎨ A ⋅ (t − Tс ) (τ − Tс ) при τ ≤ t ≤ Tс ,⎪0 при других t .⎩⎧ A ⋅ exp(− t τ) при 0 ≤ t ≤ Tс ,x(t ) = ⎨⎩0 при других t .⎧⎛ π ⎞⎪ A ⋅ sin ⎜⎜ ⋅ t ⎟⎟ при 0 ≤ t ≤ Tс ,x(t ) = ⎨⎝ Tс ⎠⎪⎩0 при других t .⎧⎞2⎛ π⎪ A ⋅ sin ⎜⎜ ⋅ t ⎟⎟ при 0 ≤ t ≤ Tс ,x(t ) = ⎨⎝ Tс ⎠⎪⎩0 при других t .⎧t 2 при 0 ≤ t ≤ Tс 2 ,⎪⎪x(t ) = ⎨(t − Tс ) 2 при Tс 2 ≤ t ≤ Tс ,⎪0 при других t .⎪⎩⎧t ⋅ exp(−α t ) при 0 ≤ t ≤ Tс ,x(t ) = ⎨⎩0 при других t .⎧⎪t 2 ⋅ exp(−α t ) при 0 ≤ t ≤ Tс ,x(t ) = ⎨⎪⎩0 при других t .⎧2( A Tс ) ⋅ t при 0 ≤ t ≤ Tс 2 ,⎪при Tс 2 ≤ t ≤ Tс ,x (t ) = ⎨ A⎪0 при других t .⎩89П.2. Передаточные функции нормированных ФНЧbWн ( s) = 0 ,A( s )A( s) = ( s − α 0 )nn2A( s) = ∏ ( s 2 + α1i s + α 2i ) , если n – четное;i =1( n −1) 2∏i =1( s 2 + α1i s + α 2i ) , если n – нечетное.b0A(s)Фильтр Баттерворта11s +121s2 + 2 ⋅ s + 131( s + 1)( s 2 + s + 1) = s 3 + 2 s 2 + 2 s + 141( s 2 + 0.765s + 1)( s 2 + 1.848s + 1)Фильтр Чебышева с неравномерностью 0.1 дБ (ε = 0,153) (Чеб 1)16.552s + 6.55223.276s 2 + 2.372s + 3.31431.638( s + 0.969)( s 2 + 0.969 s + 1.69)40.819( s 2 + 1.275s + 0.623)( s 2 + 0.528s + 1.33)Фильтр Чебышева с неравномерностью 0.5 дБ (ε = 0,349) (Чеб 2)12.863s + 2.86321.431s 2 + 1.426s + 1.51630.715( s + 0.626)( s 2 + 0.626 s + 1.142)40.358( s 2 + 0.847 s + 0.356)( s 2 + 0.351s + 1.064)Фильтр Чебышева с неравномерностью 1 дБ (ε = 0.509) (Чеб 3)11.965s + 1,96520.983s 2 + 1.098s + 1.10330.491( s + 0,494)( s 2 + 0,494 s + 0,994)40.245( s 2 + 0.674s + 0.279)( s 2 + 0.279 s + 0,987)90П.3.
Характеристики оконных функцийПрямоугольное (равномерное) окноw(n)w(n) = 1 , 0 ≤ n ≤ N − 1246Aпл = −13 ; Δω = 4π N ; Aмин = −218101214 16n8101214 16n8101214 16n8101214 16n8101214 16nТреугольное окно (окно Бартлетта)w(n)N −1⎧ 2n⎪⎪ N − 1 , 0 ≤ n ≤ 2 ,w(n ) = ⎨⎪2 - 2 n , N − 1 ≤ n ≤ N − 1 ,⎪⎩ N − 1 2246Aпл = −25 ; Δω = 8π N ; Aмин = −25Косинус-квадрат (окно Хэнна)w(n)w(n) = 0.5{1 − cos[2πn ( N − 1)]} ,0 ≤ n ≤ N -1 ;246Aпл = −31 ; Δω = 8π N ; Aмин = −44Приподнятый косинус (окно Хэмминга)w (n )w(n) = 0,54 − 0,46 ⋅ cos[2πn /( N − 1)],0 ≤ n ≤ N −1246Aпл = −41 ; Δω = 8π N ; Aмин = −53Окно Блэкманаw(n) = 0.42 − 0.5 ⋅ cos(+ 0.08 ⋅ cos(w (n )2πn) +N −14πn) ; 0 ≤ n ≤ N − 1N −1246Aпл = −57 ; Δω = 12 π N ; Aмин = −74Aпл – амплитуда пика бокового лепестка, дБΔω – ширина переходной полосы главного лепестка;Aмин – минимальное затухание в полосе задерживания, дБ.91П.4.
Встроенные операторы MathCADОператор, его обозначение, клавиши и описание оператораСложениеx+ y+Вычитаниеx− y–УмножениеДелениеx∗zx/ z∗/a2^Возведение числа a в степень 2An^Вычисляет произведение n матриц Ax\Вычисляет квадратный кореньВозведениев степеньВозведение матрицы в степень,инвертированиематрицыКвадратный кореньКорень n -й степениНижний индексnxanCtrl+\ Вычисляет n -й корень[Задание индексированной переменнойВычисляет факториал для целого!неотрицательного nCtrl+1 Транспонирование матрицы AФакториалn!ТранспонированиеМодульAT| x||ДетерминантматрицыСуммирование|A||n∑ xii =mnПроизведение∏ xii=mПределLimf ( x)Интегралbx →a∫ f (t ) dtaПроизводнаяdf (t )dtВыполняет скалярное или векторное сложениеВыполняет скалярное или векторное вычитаниеВычисляет произведение x на zДеление выражения x на скалярz , не равный нулюCtrl+Shift+4Ctrl+Shift+3Вычисляет модуль комплексногочислаВозвращает определитель квадратной матрицы AВычисляет сумму xi дляi = m, m + 1,..., nВычисляет произведение xi дляi = m, m + 1,..., nCtrl+L Вычисляет предел функции f ( x)по мере приближения x к значению aВычисляет определенный инте&грал f (t ) на интервале [a, b]?Вычисляет производную f (t )92П.5.
Встроенные функции MathCADП.5.1. Тригонометрические функции••••••••sin(x) – вычисление синуса x (угол x – в радианах);cos(x) – вычисление косинуса x (угол x – в радианах);tan(x) – вычисление тангенса x (угол x – в радианах);cot(x) – вычисление котангенса x (угол x – в радианах);asin ( x) – вычисление арксинуса;acos( x) – вычисление арккосинуса;atan ( x) – вычисление арктангенса;acot ( x) – вычисление арккотангенса.П.5.2. Комплексные числа• arg( x) – вычисление аргумента (в радианах) комплексного числа x ;• Im( x) – выделение мнимой части комплексного числа x ;• Re( x) – выделение вещественной части комплексного числа x .П.5.3. Логарифмические и экспоненциальные функции••••exp( x) – вычисление экспоненциальной функции ( e в степени x );ln ( x) – вычисление натурального логарифма (основание e ) от x ;log( x) – вычисление десятичного логарифма x ;log( x,[b]) – вычисление логарифма x по основанию b .П.5.4.
Кусочно-непрерывные функции• Φ (t ) – вычисление ступенчатой функции (функции Хевисайда)Φ (t ) = 1 при t ≥ 0,0 при t < 0.Прописной символ «фи» вводится набором клавиш F + Ctrl + G ;• sign(t ) – функция знака:⎧⎪ 1, если t > 0,sign(t ) = ⎨ 0, если t = 0,⎪⎩−1, если t < 0.• if (условие, x, y ) – функция логического условия:if (условие, x, y ) = x, если условие выполнено,y, если условие не выполнено.{{93П.5.5. Случайные числа. Статистика• rnd( x) – формирование вектора из m случайных чисел, имеющихравномерное распределение на интервале [0, x] ;• mean( A, B, C ,..) – вычисление среднего арифметического элементовA, B, C ,.. , где A, B, C ,.. – массивы или скаляры;• hist(интервал, A) – вычисление вектора частот попадания величин измассива данных А в интервалы, полученные в интервал;• histogram(n, data) – вычисление матрицы с двумя столбцами.
Первыйсодержит координаты середин равных интервалов разбиения отрезка.Второй – вектор частот (см. выше).П.5.6. Решение алгебраических уравнений и систем• polyroots( v ) – вычисление корней многочлена, коэффициенты которого заданы в векторе v ;• root ( f ( x), x,[a, b]) – вычисление значений x в диапазоне [a, b] , которое обращает в ноль f (x) (должна предваряться начальным приближением для x );• lsolve(M, v ) – решение линейной системы уравнений вида M ∗ x = v .П.5.7.
Преобразование Фурье• fft(v) – вычисление быстрого преобразования Фурье вещественныхданных ( v – вещественный вектор с 2 n компонентами, n – целое,результат – в виде вектора размера 2 n −1 + 1 );• ifft(u) – вычисление обратного преобразования Фурье, соответствующего fft (исходный вектор u имеет размерность 2 n −1 + 1 , результат – в виде вектора размера 2 n );• cfft(A) – вычисление быстрого преобразования Фурье комплексныхданных;• icfft(A) – вычисление обратного преобразования Фурье, соответствующего cfft .94П.6.
Примеры программ в системе MathCADП.6.1. Составление модели сигналаМодель интервально-аналитического сигнала может быть полученаразличными способами. На рис. П.1 показано использование программного блока и ступенчатой функции (функции Хевисайда).t := −0.5, −0.499.. 4x( t) :=1 if 0 ≤ t ≤ 1t if T ≤ t ≤ 2y ( t) := Φ ( t) + Φ ( t − 1) − 2⋅ Φ ( t − 2)0 if t > 20 if t < 022x( t )y ( t)0002402t4tРис. П.1. Использование программного блокаи ступенчатой функции в модели сигналаП.6.2. Формирование функций ХаараДля получения функций Хаара сначала формируется материнскийвейвлет, который затем преобразуется путем масштабирования и переносов.
На рис. П.2 функции Хаара представлены в виде вектор-функции.Такое представление облегчает процедуру спектрального анализа.1⎛⎞⎜⎟h ( t)⎜⎟h ( t) := if( t ≤ 0 , 0 , 1) − 2 if( t ≤ 0.5, 0 , 1) + if( t ≤ 1 , 0 , 1)2 ⋅ h ( 2t)⎜⎟⎜ 2 ⋅ h ( 2 ⋅ t − 1) ⎟⎜⎟H( t ) := ⎜ 2 ⋅ h 22 ⋅ t⎟⎜⎟⎜ 2 ⋅ h 22 ⋅ t − 1 ⎟⎜⎟2H1( t ) 6 0⎜ 2⋅ h 2 ⋅ t − 2 ⎟⎜⎟2⎝ 2⋅ h 2 ⋅ t − 3 ⎠T := 2t := 0 , 0.001.. T(((01()2tРис. П.2. Формирование функций Хаара95)))H1( t) := H⎛⎜t⎞⎟⎝ T⎠П.6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
