О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пронаблюдать дискретные последовательности x(n), y (n) и сделать заключение об искажении выходной последовательности по форме.8. Принять N = 31 и с помощью составленной программы рассчитать импульсную и частотные характеристики фильтра, полученного спомощью заданной оконной функции. Построить их вместе с одноименными характеристиками фильтра с N = 21 и сравнить.11.4.2. Дополнительное задание9. Изменить значение периода дискретизации T на 20% в ту и другую сторону при N = 31 и с помощью составленной программы рассчитать импульсную и частотные характеристики фильтра, полученного спомощью заданной оконной функции.
Построить их вместе с одноименными характеристиками фильтра , полученными выше, и сравнить.11.5. Контрольные вопросы и задания1. Запишите условия неискаженного воспроизведения сигнала линейной стационарной системой.2. Чем отличаются нерекурсивные фильтры с симметричными иантисимметричными импульсными характеристиками?3. Поясните отличия между каузальными и некаузальными цифровыми фильтрами.4.
Почему нерекурсивные цифровые фильтры всегда устойчивы?5. Получите формулу (11.6), использовав в качестве исходного выражение (11.5).6. Как выглядит амплитудно-фазовая частотная характеристиканерекурсивного цифрового фильтра?7. Перечислите известные Вам методы расчета нерекурсивныхцифровых фильтров.8. Поясните характерные особенности оконных функций.70Работа 12ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКСТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА12.1. Цель работыПри решении многих прикладных задач необходимо знать статистические характеристики случайных процессов. Обычно эти характеристики определяют по реализациям случайного процесса, полученнымэкспериментально.
Наиболее просто эта задача решается для стационарного случайного процесса, статистические характеристики которого неизменяются во времени. Если стационарный случайный процесс обладает эргодическим свойством, то его статистические характеристикимогут быть определены по одной реализации, наблюдаемой на достаточно большом интервале времени.Целью работы является определение оценок математического ожидания, дисперсии, плотности распределения вероятности и корреляционной функции стационарного случайного процесса по его заданнойреализации.12.2. Основные понятия и расчетные формулы12.2.1. Подготовка данныхПусть дана реализация xр (t ) стационарного случайного процессадлительностью Tр (рис.
12.1).Рис. 12.1. Дискретизация реализации случайного процессаНа основании эргодического свойства математическое ожидание,дисперсия и корреляционная функция этого стационарного случайногопроцесса определяются соответственно выражениями:711m x = limTр →∞ Tр1D x = limTр →∞ TрTр1R x (τ) = limTр →∞ TрTр∫Tр∫xр (t ) dt ,(12.1)0[ xр (t ) − m x ] 2 dt ,(12.2)[ xр (t ) − m x ][ xр (t + τ) − mx ] dt .(12.3)0∫0Оценки приведенных выше статистических характеристик находятся по имеющейся реализации xр (t ) заданной длины по следующимформулам, полученным из (12.1) – (12.3):m∗xR x∗ (τ ) =Tр1=∫ xр (t ) dt ,Tр 0Tр1∗Dx =∫Tр 0T р−τ1Tр − τ∫(12.4)[ xр (t ) − m∗x ] 2 dt ,(12.5)[ xр (t ) − m∗x ][ xр (t + τ) − m∗x ]dt .(12.6)0Расчет численных значений оценок математического ожидания m ∗x ,дисперсии D x∗ и ординат функции R x∗ (τ) , являющейся оценкой корреляционной функции, производится путем дискретизации реализации xр (t )случайного процесса и заменой интегралов в выражениях (12.4)–(12.6)суммами.
Для этого интервал наблюдения [0, Tр ] случайного процесса(рис. 12.1) разбивается на N достаточно малых интервалов длительностью T . В начале каждого из этих интервалов определяются значенияx(0) = xр (0 ), x(1) = xр (T ), ... , x( N − 1) = xр ( ( N − 1) T ) .(12.7)При этом возникает задача выбора необходимой длины Tр реализации случайного процесса и длительности T интервала дискретизации.Необходимая длина реализации в основном определяется требуемойточностью оценивания корреляционной функции и ее свойствами. Разработаны методики, которые позволяют оценить необходимую длинуреализации для получения корреляционной функции с заданной точностью непосредственно по отрезку реализации случайного процесса.
Например, для определения Tр используется связь среднего числа макси72мумов и нулей случайного процесса в единицу времени с параметрамикорреляционной функции. Шаг дискретизации T рекомендуют выбирать так, чтобы на «полупериод» (время между двумя пересечениямиграфиком случайной функции линии математического ожидания) реализации случайного процесса приходилось около семи дискретных значений.12.2.2. Оценки математического ожидания и дисперсииДля оценки математического ожидания, заменив в (12.4) интегралсуммой, получим1 N −11 N −1∗mx =(12.8)∑ x ( n) ⋅ T = N ∑ x ( n) .N ⋅T n=0n=0Таким образом, оценка математического ожидания равна среднемуарифметическому значений x(0), x(1), ... , x( N − 1) реализации случайногопроцесса в дискретные моменты времени.Для оценки дисперсии из формулы (12.5) найдем1 N −1*Dx =[ x(n) − m*x ] 2 .(12.9)∑N n=0Однако эта оценка дисперсии оказывается смещенной.
На практикеприменяется формула, которая удовлетворяет условию несмещенности:1 N −1D*x =[ x(n) − m*x ] 2 .(12.10)∑N −1 n=012.2.3. Оценка одномерной плотности распределенияОценка одномерной плотности распределения вероятности случайного процесса сводится к построению гистограммы распределения значений x(0), x(1), ... , x( N − 1) реализации. Для этого следует разбить полученный диапазон значений случайных чисел на равные интервалы ивычислить частоты попадания случайных чисел в эти интервалы.Большое значение при построении гистограммы имеет разбиениеинтервала изменения случайных чисел на интервалы группировки. Прислишком большом числе интервалов группировки некоторые из нихоказываются слабозаполненными и гистограмма получается изрезаннойи многолепестковой.
При малом числе интервалов гистограмма утрачивает детальность и становится малоинформативной. В работе рекомендуется принять L ≈ N ( L –целое).7312.2.4. Оценка корреляционной функцииПо формуле (12.6) для значений оценки корреляционной функции вдискретные моменты времени τ m = m ⋅ T (m = 0 ,1, ...) получим1 N − m −1(m ) =[ x(n) − m*x ] [ x(n + m) − m*x ] ,∑(12.11)N − m n =0m = 0, 1, ... , M − 1.Показано, что чем больше m, тем больше ошибка определения корреляционной функции. Поэтому формулу (12.11) рекомендуют использовать при M < N 10 .
Найденную по формуле (12.11) оценку корреляционной функции необходимо дополнить симметричными отсчетамидля отрицательных m = − M + 1, ..., − 1 .Rx*12.3. Методические указанияВ качестве объекта исследования используется последовательностьслучайных чисел x(0), x(1), ... , x( N − 1) , моделирующая некоторый стационарный случайный процесс. Для получения этой последовательности используется генератор случайных чисел, имеющийся в составе системы MathCAD, и линейный дискретный фильтр (рис.
12.2).(n)Генераторслучайныхчиселx(n)ЦифровойфильтрРис. 12.2. Формирование последовательности случайных чиселФункция v(n) = rnd(b) в системе MathCAD генерирует случайныечисла с равномерным распределением в интервале [0 ,b] . Линейныйфильтр первого порядка описывается разностным уравнениемx(n) = (1 − a ) ⋅ x(n − 1) + a ⋅ v(n), n = 1, 2, ..., N − 1 ,(12.12)где a – постоянный коэффициент и x(0) – первый элемент генерируемой последовательности, значение которого можно принять равнымx(0) = b / 2 . Значения a и b даны в табл.
12.1.Таблица 12.1Номера вариантовПараметры12345678a0,200,240,280,320,360,400,440,48b321069125774При построении гистограммы для определения частот попаданияслучайных чисел x(0), x(1), ... , x( N − 1) в заданные интервалы используется стандартная функция hist (ω, X ) системы MathCAD. Для того чтобыприменить указанную функцию, надо сформировать вектор w с составляющими w(0), w(1), ..., w( L) , представляющими собой границы интервалов группировки. Эти составляющие образуют по формулеw(l + 1) = w(l ) + Δw, l = 0,1,..., L − 1 ,(12.13)гдemax( x ) − min ( x )w(0) = min( x ) .Δw =;(12.14)LДля расчета оценки корреляционной функции используются приведенные выше формулы.12.4.
Программа работы12.4.1. Основное задание1. Сформировать последовательность случайных чисел v( n) ,n = 0, 1, ..., N − 1 (N ∈ [500,1000]).Примечание: При моделировании дискретных последовательностей и разностных уравнений в среде MathCAD рекомендуется использовать векторную форму представления (с использованием индексов).2. Получитьпоследовательностьслучайныхчиселx(n) ,n= 0, 1, ..., N − 1 путем преобразования последовательности чисел v(n),n = 0, 1, ..., N − 1 при помощи дискретного фильтра, описываемого разностным уравнением (12.12).Примечание: Значение коэффициента a цифрового фильтра задаются преподавателем или выбираются согласно заданному варианту изтабл.
12.1.3. Разбить интервал изменения значений случайных чисел в последовательности x(n) , n= 0, 1, ..., N − 1 на L интервалов группировки, определив последовательность w(0), w(1), ..., w(L) , и построить гистограмму. Сделать вывод о характере распределения случайной последовательности x(n) , n= 0, 1, ..., N − 1.4. Определить значение оценки m*x математического ожиданияслучайной последовательности x(n) , n= 0, 1, ..., N − 1.5. Определить значение оценки D *x дисперсии случайной последовательности x(n) , n= 0, 1, ..., N − 1.756.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
