О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Объясните смысл операции денормирования передаточнойфункции ФНЧ.7. Объясните смысл операции трансформации передаточной функции ФНЧ.8. Как отличаются АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева в полосе пропускания?9. Чем обусловлены ограничения на нижний и верхний пределыизменения периода дискретизации T цифрового фильтра?10. Объясните причину периодичности частотных характеристикцифрового фильтра.64Работа 11ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРЕКУРСИВНОГО ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРАНИЖНИХ ЧАСТОТ11.1. Цель работыОдной из наиболее важных особенностей нерекурсивных цифровых фильтров является то, что при соответствующем выборе параметров они могут иметь строго линейную фазо-частотную характеристику(ФЧХ). Это свойство является, например, определяющим, если требуется обеспечить неискаженное преобразование сигналов.
Нерекурсивныецифровые фильтры используются и в тех случаях, когда предъявляемыетребования не могут быть реализованы при помощи фильтров Баттерворта и Чебышева, например для выполнения дифференцирования и интегрирования сигналов.Целью работы является изучение особенностей нерекурсивныхцифровых ФНЧ с линейной ФЧХ, освоение способа расчета его коэффициентов методом взвешивания и исследование влияния порядка N ипериода дискретизации T на частотные характеристики фильтра.11.2.Основные понятия и расчетные формулы11.2.1.
Нерекурсивные цифровые ФНЧ с линейной ФЧХНерекурсивные цифровые фильтры описываются разностнымуравнениемy (n) =N −1∑ν =0bν x(n − ν).(11.1)Передаточная функция, полученная в результате применения прямого z -преобразования к уравнению (11.1), имеет видY ( z ) N −1H ( z) == ∑ bν z − ν .(11.2)X ( z) ν =0Как известно, передаточная функция цифрового фильтра можетбыть определена как прямое z -преобразование импульсной характеристики h(n) , то естьH ( z ) = Z {h(n)} =N −1∑ν =065h(n) z - ν .(11.3)Отсюда следует, что коэффициенты передаточной функции (разностного уравнения) и отсчеты импульсной характеристики нерекурсивныхцифровых фильтров совпадают.Если в разностном уравнении (11.1) произвести замену bν = h(ν),ν = 0, 1, ..., N - 1 , то получимy ( n) =N −1∑h(ν) x(n − ν).(11.4)ν =0Это есть не что иное, как свертка функций x(n) и h(n) . Следовательно,в случае нерекурсивных цифровых фильтров разностное уравнение иуравнение свертки совпадают.Алгоритм функционирования нерекурсивных цифровых фильтровпредставляется в виде структурной схемы, показанной на рис.
11.1.z -1z -1b0x(n-2)x(n-1)x(n)b1x(n-N+3)...x(n-N+2)z -1b2x(n-N+1)z -1b N-2...bN-1y(n)Рис. 11.1. Структурная схема нерекурсивного цифрового фильтраЧастотная передаточная функция нерекурсивных цифровых фильтров определяется выражениемH (e j ω T ) =N −1∑h (ν )e − j ω T ν .(11.5)ν =0Нерекурсивные цифровые фильтры с линейной ФЧХ, в зависимости от числа N и вида симметрии отсчетов импульсной характеристики, делятся на четыре типа.
Для реализации ФНЧ с линейной ФЧХ пригодны два из них. Частотные передаточные функции этих фильтровимеют следующий вид:1) для типа 1 ( N − нечетное, симметричные коэффициентыbν = bN − ν −1 ):H1 (ej ωT)=eK− j K ωT∑ cm cos (mωT ) ,m=0где K = ( N − 1) / 2 ; c0 = bK ; cm = 2bK − m , m = 1,2,..., K ;66(11.6)2) для типаbν = bN − ν −1 ):2( N − четное,H 2 (e jωT ) = e − j ( K + 0.5)ω TсимметричныекоэффициентыK∑ cm cos( (m + 0.5) ωT ) ,(11.7)m=0где K = ( N − 1) / 2 ; cm = 2bK − m , m = 0, 1, ..., K .Данные фильтры содержат лишь нули, поэтому для получения частотной характеристики с крутым срезом необходимо брать большое N .Поэтому реализация фильтров требует большого числа элементов задержки.
Эти фильтры всегда устойчивы.11.2.2. Расчет коэффициентов нерекурсивного ФНЧметодом взвешиванияДля расчета коэффициентов нерекурсивных цифровых фильтровразработан ряд методов. Одним из часто применяемых является методвзвешивания. Здесь требования к частотной характеристике цифровогоФНЧ задаются в виде функции⎧ − jωT ( N −1) / 2 при ω ≤ ωс ,(11.8)H д (e jωT ) = ⎨e0вдругихслучаях.⎩Согласно (11.8) желаемые АЧХ и ФЧХ фильтра определяются соответственно формулами:⎧ 1 при ω ≤ ωс ,H д (ω) = H д (e jωT ) = ⎨(11.9)⎩ 0 в других случаях.ϕ(ω) = arg H д (e jωT ) = − ω( N − 1)T 2 .(11.10)Импульсную характеристику hд (n) можно получить путем вычисления коэффициентов ряда Фурье функции (11.8), продолженной периодически с периодом ωп = 2π T :ωT c j ω T ( n − ( N −1)hд (n) =∫e2π − ω2)dω .(11.11)cПосле преобразований (11.11) будем иметьsin [ωc (n − ( N − 1) 2) T ], n = 0,1,...(11.12)hд ( n) =π (n − ( N − 1) 2)Очевидно, hд (n) имеет бесконечную длину.
Одним из возможныхспособов получения нерекурсивного цифрового фильтра состоит в усечении бесконечного ряда (11.12) путем отбрасывания отсчетов, соответ67ствующих n ≥ N , то есть в качестве импульсной характеристикифильтра принимается функцияh(n) = hд (n) , 0 ≤ n ≤ N − 1 .(11.13)Однако простое усечение функции (11.12) из-за явления Гиббса не даетхороших результатов. Амплитудная частотная характеристика фильтрапри использовании простого усечения имеет выбросы и пульсациибольшого уровня до и после точки разрыва аппроксимируемой частотной характеристики.
Например, при аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ (11.8) максимальная амплитуда пульсаций частотной характеристики составляет около 9 %, причем с увеличением длины импульсной характеристики она не уменьшается.Широко распространенный способ устранения вредного влиянияявления Гиббса заключается во взвешивании функции hд (n) при помощи функции w(n) .
Импульсную характеристику нерекурсивного цифрового фильтра находят в видеh(n) = hd (n) w(n) ,(11.14)причем дискретную функцию w(n) , заданную на интервале [0, N − 1] ,называют оконной функцией (окном). Кстати, простое усечение функции hд (n) эквивалентно применению прямоугольного окнаw(n) = 1 , 0 ≤ n ≤ N - 1 .(11.15)Наиболее часто используются следующие оконные функции: Бартлетта, Хэнна, Хэмминга, Блэкмана (приложение П.3). Использованиеоконных функций приводит, во-первых, к уменьшению уровня боковыхлепестков и, как следствие, к меньшим пульсациям частотной характеристики в полосе пропускания и лучшему подавлению в полосе задерживания фильтра. Во-вторых, оконная функция увеличивает ширинуглавного лепестка частотной характеристики.11.3.
Методические указанияПрограмма работы предусматривает расчет импульсной и частотных характеристик нерекурсивного цифрового ФНЧ, их сравнение приразличных значениях порядка фильтра N и периода дискретизации T ,а также расчет реакции фильтра при заданном входном воздействии.Импульсная характеристика фильтра hд (n) рассчитывается поформуле (11.12). При этом надо помнить, что при n = (N − 1) 2 можетпроявить себя неопределенность типа 0 / 0 . Чтобы устранить эту неопределенность, следует использовать условный оператор if.68Частотные характеристики цифрового фильтра рассчитываются поформуле (11.5) и с учетом их периодичности в интервале частот[0, π / T ].При подготовке отчета характеристики, соответствующие различным значениям N и T , рекомендуется для удобства сопоставлениястроить на одном рисунке.Расчет выходной последовательности фильтра y (n) при заданномвходном воздействии x(n) осуществляется по формуле (11.4).11.4. Программа работы11.4.1.
Основное задание1. Рассчитать импульсную характеристику нерекурсивного цифрового ФНЧ с линейной ФЧХ, использовав в качестве исходных данныхпараметры фильтра, заданные в табл. 11.1, и формулу (11.12). Порядокфильтра N = 21 .Таблица 11.1Номера вариантовПараметры12345678Tс0.0080.010.0120.020.0250.040.050.08ωcрад/с1201201008050403025ОконнаяБартлетаХэннаХэммингаБлэкманафункция2. Составить программу расчета импульсной характеристики h(n)нерекурсивного цифрового фильтра с помощью прямоугольного окна(простого усечения hд (n) ) при N = 21 .3.
Составить программу расчета импульсной характеристики h(n)нерекурсивного цифрового фильтра с помощью заданной в табл. 11.1оконной функции w(n) при N = 21 .Примечание. Аналитические выражения оконных функций w(n)приведены в приложении П.3.4. Рассчитать и построить на одном рисунке импульсные характеристики нерекурсивных фильтров, соответствующих прямоугольному изаданному варианту окна.5.
Составить программу расчета частотных характеристик нерекурсивных цифровых фильтров, соответствующих прямоугольному и за69данному варианту окна. Построить и сравнить АЧХ и ФЧХ этих фильтров.6. Сформировать дискретную последовательность x( n) , состоящую из двух синусоидальных составляющихx(n) = sin (ω1T ⋅ n) + sin (ω2T ⋅ n) , n = 0, 1, ..., 500 ,(11.16)выбрав значения ω1 и ω2 в полосе пропускания фильтра. Пронаблюдатьэту последовательность.7. Рассчитать дискретную последовательность y (n) на выходефильтра при входном воздействии x(n) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
