О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассчитать значения ординат оценки R *x (m) корреляционнойфункции для m = 0, 1, ..., 32 . Построить график оценки корреляционнойфункции.12.4.2. Дополнительное задание7. Определить передаточную функцию H ( z ) и импульсную характеристику h(n ) = Z −1{H ( z )} дискретного фильтра, описываемого разностным уравнением (12.12). Построить импульсную характеристикуфильтра для заданного в табл. 12.1 значения a .8. Сравнить оценку R *x (m) корреляционной функции с импульснойхарактеристикой цифрового фильтра. Для этого надо произвести нормирование указанных характеристикρ*x ( m) = R*x (m) / R*x (0),η ( m ) = h ( m ) / h ( 0)и построить их графики на одном рисунке. Сделать выводы.12.5. Контрольные вопросы и задания1.
Что понимают под реализацией случайного процесса?2. Какой случайный процесс называется стационарным?3. В чем состоит суть эргодического свойства?4. Выразите свое отношение к следующим утверждениям: а) любой стационарный случайный процесс обладает эргодическим свойством; б) случайный процесс, обладающий эргодическим свойством, является стационарным.5. Поясните физический смысл понятий математического ожидания и дисперсии стационарного случайного процесса.6. Как связаны между собой среднее квадратическое отклонение идисперсия случайного процесса?7.
Какое свойство стационарного случайного процесса характеризует корреляционная функция?8. Какая связь существует между дисперсией и корреляционнойфункцией стационарного случайного процесса?9. Обоснуйте верхний предел суммирования в формуле (12.11).76Работа 13СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕПРИ ПОМОЩИ КОРРЕЛОГРАММНОГО МЕТОДА13.1. Цель работыОсновной целью спектрального анализа являются оцениваниеспектральной плотности мощности (СПМ) дискретизированного случайного процесса и обнаружение в нем периодических составляющих.Появление современных компьютеров и цифровых алгоритмов расширило роль спектрального оценивания и превратило его в средство решения многих практических задач. Коррелограммный метод относится кклассическим методам, основанным на использовании преобразованияФурье.Целью работы является изучение коррелограммного метода и егопрактическое освоение на примере анализа дискретной последовательности, содержащей две гармонические составляющие и помеху.13.2.
Основные понятия и расчетные формулы13.2.1. Спектральная плотность мощностиНепосредственное применение классического гармонического анализа для исследования случайных процессов невозможно. Для случайного процесса спектральная характеристика X ( jω) , полученная в результате преобразования Фурье конкретной реализации x(t ) , содержитгармонические составляющие со случайными амплитудами и фазами.Но с помощью преобразования Фурье можно исследовать распределение мощности случайного процесса по гармоническим составляющим.Спектральная плотность S x (ω) мощности стационарного случайного процесса X (t ) определяется как преобразование Фурье корреляционной функции:S x (ω) =∞∫−∞R x (τ) e − jωτ dτ .(13.1)Спектральная плотность представляет собой действительную, неотрицательную и четную функцию частоты ω .
Формулу (13.1) можнозаписать в следующем виде:∞S x (ω) = 2 ∫ Rx (τ) cos(ωτ) d τ .077(13.2)13.2.2. Коррелограммный метод оцениванияспектральной плотности мощностиОценки спектральной плотности мощности, для определения которых сначала по исходным данным формируются оценки корреляционных функций, получили название коррелограммных.Оценка корреляционной функции находится по заданной реализации xр (t ) случайного процесса (см. работу 12). Если определены N отсчетовxр (n), n = 0,1, ..., N − 1,сигнала, то оценку корреляционнойфункции можно вычислить по формуле1 N − m −1R *x (m ) =∑ xр (i) ⋅ xр (i + m) , m = 0, 1, ...
, M − 1.N − m i =0(13.3)Оценка R *x (m) корреляционной функции представляет собой дискретную последовательность, определенную на конечном интервале[0, M − 1] . Дополнив R*x (m) симметричными отсчетами для отрицательных m = − M + 1, ..., − 1 и применив дискретное преобразование Фурье(ДПФ), получим оценку спектральной плотностиS x* (ω)=M −1∑m=1− MRx* (m) e − j ω Tm.(13.4)С учетом того, что оценка R*x (m) является четной функцией, формулу (13.3) можно записать в следующем виде:S *x (ω) = 2M −1∑m=0R *x (m) cos(ω T m) .(13.5)Преимущество формулы (13.5) очевидно.
При ее использованииотпадает необходимость дополнения R*x (m) отсчетами для отрицательных m .Теоретически спектральная плотность мощности S x (ω) , определяемая в частотной области, является неслучайной характеристикой.Однако, поскольку ее оценивание всегда производится по ограниченным реализациям случайного процесса, значения спектра могут бытьнайдены только приближенно. Поэтому сама оценка спектральнойплотности мощности имеет случайный характер и никогда не совпадаетво всех точках с теоретической спектральной плотностью.Применение коррелограммного метода оценивания оправданотолько для стационарных случайных процессов и при использовании78алгоритмов быстрого преобразования Фурье для расчетов по формулам(13.4), (13.5).Коррелограммный метод применялся и до появления современныхвычислительных машин и персональных компьютеров.
Последние позволили внедрить в практику спектрального анализа более трудоемкие ввычислительном смысле, но и более эффективные методы.13.2.3. Использование оконных функцийДля оценки (13.4), в которой вместо бесконечной корреляционнойпоследовательности используется конечное число значений, характернопросачивание энергии, вызванное явлением Гиббса (эффект прямоугольного окна). Избавиться от просачивания энергии можно путемпредварительного преобразования оценки корреляционной функции припомощи оконной функции w(m) , отличающейся от прямоугольной.Тогда в качестве оценки спектральной плотности будем иметь:S x* (ω) =M −1∑m=1− MRx* (m) w(m) e − j ω Tm.(13.6)илиS *x (ω) = 2M −1∑m=0R *x (m) w(m) cos(ω T m) .(13.7)Некоторые оконные функции, которые используются для улучшения оценок спектральной плотности, приведены в приложении П.3. Обработка с помощью оконной функции позволяет ослабить влияние боковых лепестков, вызванных явлением Гиббса.
Но при этом ухудшаетсяспектральное разрешение.Эффект просачивания энергии также можно уменьшить сглаживанием самой оценки спектральной плотности, полученной по формуле(13.4), при помощи дополнительного фильтра.13.3. Методические указанияДля исследования коррелограммного метода оценивания спектральной плотности формируется тестовая последовательностьx(n ) = f (n) + r (n), n = 0, 1, ..., N − 1,(13.8)в которой полезная составляющая f (n ) образуется путем дискретизациисигнала f (t ) , состоящего из двух гармонических составляющих с различными частотами:f (n) = sin (ω1T n) + cos(ω2T n) ,(13.9)79а помеха r (n ) представляет собой центрированную случайную последовательность, генерируемую с помощью стандартных средств MathCAD.Для получения последней при помощи стандартной функцииrnd( x ) формируется нецентрированная случайная последовательностьr1(n ) = rnd(b ) ,(13.10)где b – верхняя граница интервала разброса случайных чисел.
Эта последовательность центрируется при помощи функции mean ( r1) :r (n ) = r1(n ) − mean(r1) .(13.11)Тогда тестовая последовательность окончательно принимает видx(n ) = sin (ω1T n) + cos(ω1T n) + r (n ) .(13.12)Число элементов в этой последовательности принимается равнымN=2048. Значения параметров последовательности приведеныв табл. 13.1. Целью работы является оценивание значений ω1 и ω2 .Оценка корреляционной функции тестовой последовательности,которая необходима для получения оценки спектральной плотности пометоду коррелограмм, определяется по формуле (13.3) для M=256.Оценка спектральной плотности вычисляется по формуле (13.5), причемна частотном интервале [ 0, π T ] для получения достаточного разрешения должно располагаться не менее 100 точек. Значения ω1∗ и ω∗2 , соответствующие точкам максимума, могут быть приняты в качестве оценокзначений частоты гармонических составляющих последовательности(13.12).Вычисление спектральной плотности может быть выполнено припомощи алгоритма БПФ, реализованного в системе MathCAD (см.
приложения П.5 и П.6). В этом случае при формировании тестовой последовательности (13.12) следует использовать векторную форму представления (с индексами).Оценка спектральной плотности будет получена в виде дискретнойпоследовательности S x* (k ), k = 0, 1, ..., M 2 . На рис. 13.1 приведен график оценки спектральной плотности тестовой последовательности(13.12) при ω1 = 280 и ω2 = 100 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
