О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Составить программу вычисления функцииw∗NN −1(t ) = ∑ cn ln (t )n =0при N = 3,4,5 . Сравнить графики функций w∗N (t ) , ( N = 3,4,5) с графиком заданной ИПФ, построив их в одних осях координат. Сделать выводы.6. Построить графики ошибки аппроксимацииε N (t ) = w(t ) − w∗N (t )при N = 3,4,5 . Сделать анализ их характерных признаков.213.4.2. Дополнительное задание7. Составить программу для расчета части энергии, приходящейсяна первые N членов разложения функции w(t ). Рассчитать ее значенияпри N = 3,4,5 .8. Рассчитать значения средней квадратической ошибкиTσ = ∫ [ w(t ) − w∗N (t )]2 dt20для N = 3,4,5 . Сделать выводы.9.
Исследовать влияние масштабного коэффициента α на величинуошибки аппроксимации ε N (t ) при N = 5 .3.5. Контрольные вопросы и задания1. Почему при разложении сигналов используют ортогональныефункции?2. Поясните основные особенности функций, которые могут бытьпредставлены в виде разложения по функциям Лагерра.3. Какой критерий аппроксимации приводит к формуле (3.8) длярасчета коэффициентов ряда?4. С какой целью в функции Лагерра вводится множитель 2α ?5. Какую роль выполняет параметр α функций Лагерра?6. Объясните соотношения (3.15) и (3.16), используемые для определения значения α .7.
Что собой представляет и какой вид имеет спектральная диаграмма разложения сигнала по системе функций Лагерра?8. Запишите изображение по Лапласу функции Лагерра l n (t ) .9. Укажите основные отличия ортогональных функций Лагерра иУолша.22Работа 4РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВПО СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ УОЛША4.1. Цель работыС развитием вычислительной техники стали чаще в качестве базисных использоваться кусочно-постоянные функции, имеющие постоянные значения на фиксированных интервалах времени.
При вычислениикоэффициентов ряда производится умножение функции на постоянный,единый для данного интервала множитель. Это проще, чем умножениена меняющиеся от точки к точке значения непрерывных базисныхфункций. Основными среди таких функций являются функции Уолша иХаара. Функции Уолша, которым посвящена данная работа, используются при обработке речевых сигналов, сигналов в биологии и медицине,при цифровой обработке изображений, в цифровой голографии и многих других областях.Целью работы является изучение системы ортогональных функцийУолша, разложение сигнала заданной формы и исследование влияниячисла членов ряда на погрешность аппроксимации.4.2. Основные понятия и расчетные формулыФункции Уолша (J.
Walsh) были разработаны в 1923 г. как развитиеизвестной к тому времени системы функций Радемахера путем добавления в нее новых функций. Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций:rad 0 (θ) ≡ 1; radi (θ) = sign[sin(2i πθ)] ; i = 1,..., n(4.1)где θ – относительное время, изменяющееся в интервале [0, 1) . Символом sign (сигнум-функция) обозначается функция⎧ 1 при x > 0,sign( x) = ⎨(4.2)−<1приx0.⎩В соответствии с формулами (4.1) и (4.2) функции Радемахера принимают значения +1 или –1 и имеют вид, показанный на рис. 4.1.Функции Радемахера являются ортогональными, но не составляютполную систему. На том же интервале [0, 1) существуют другие функции, связанные условиями ортогональности с функциями Радемахера.Поэтому система функций Радемахера не может эффективно использоваться для разложения произвольно заданных функций.23r ad 2rad 001θr ad 101θ01θr ad 301θРис.
4.1. Функции РадемахераФункции Уолша формируются из функций Радемахера с помощьюследующего соотношения:mwal0 (θ) ≡ 1; waln (θ) = ∏ [rad k (θ)] nk , n = 0, 1, ... , N − 1,(4.3)k =1где n – номер функции Уолша, nk – значение (0 или 1) k -го разряданомера функции Уолша n , записанного в виде m -разрядного двоичногокода Грея. Отсюда легко видеть, что количество функций в системеУолша оказывается равным N = 2 m , где m – целое число.Последовательность образования функций Уолша может быть такой. Сначала записывается код номера n функции Уолша в двоичномкоде.
Затем этот номер представляется в коде Грея. Код Грея связанс обычным двоичным кодом следующим образом. Если в обычной двоичной системе счисления для данного номера имеемn = am −1 an − 2 ... a1 a0 ,(4.4)то в коде Грея это число записывается в видеn = bm −1 bn − 2 ...b1 b0 ,(4.5)гдеb0 = a0 ⊕ a1 , b1 = a1 ⊕ a 2 ,... . .
. , bm − 2 = am − 2 ⊕ am −1 , bm −1 = am −1 ;Здесь ⊕ – знак суммирования по модулю 2. При суммировании помодулю 2 имеем:0 ⊕ 0=0; 0 ⊕ 1=1; 1 ⊕ 0=1; 1 ⊕ 1=0.Например, пусть n = 4 . В двоичном коде будем иметь n = 100 ,в коде Грея – n = 110 .
Функция Уолша запишется так:wal4 (θ) = [rad3 (θ)]1 ⋅ [rad 2 (θ)]1 ⋅ [rad1 (θ)]0 = rad3 (θ) ⋅ rad 2 (θ) .(4.6)Таким образом, функция Уолша wal 4 (θ) представляет собой произведение функций Радемахера rad 2 (θ) и rad3 (θ) .На рис. 4.2 представлены функции Уолша для N = 8 .24wal4wal 001θ0wal 31θ01θ01θ01θwal5wal 1wal201θ01θ01θwal6wal7Рис. 4.2. Система Уолша, состоящая из N = 23 = 8 функцийПолученная система функций оказывается полной и ортогональной, поэтому она пригодна для разложения сигналов произвольного вида с конечным интервалом определения. Функции Уолша являются кусочно-постоянными.
Интервал определения функций можно рассматривать состоящим из N = 2 m равных подынтервалов. На каждом из нихфункции Уолша принимают значения +1 или –1. В точках разрывафункции непрерывны справа.Функции Уолша ортогональны и нормированы, так как1при n = k ,⎧ 1()()θθθ=(4.7)walwald⎨k∫ n≠0при.nk⎩0Среднее значение функций Уолша для всех n ≠ 0 равно нулю:1∫ waln (θ) d θ = 0,n = 1, 2, ..., N − 1 .(4.8)0Функции Уолша обладают свойством мультипликативности ,то есть произведение двух функций Уолша равно новой функции Уолшаиз этой же системы:wal n (θ) ⋅ wal k (θ) = wal p (θ) .(4.9)Умножение любой функции Уолша самой на себя дает функцию снулевым номером wal0 (θ) :wal n (θ) ⋅ wal n (θ) = wal0 (θ) .(4.10)254.3.
Разложение сигналов по функциям УолшаДля разложения сигналов, заданных на интервале [0, T ) , удобноиспользовать функции Уолша, которые после преобразования их аргумента записываются в виде wal n (t / T ) .Ряд Уолша одномерного сигнала x(t ) , t ∈ [0, T ) , будет иметь видx(t ) =∞∑n=0⎛t⎞cn wal n ⎜ ⎟ ,⎝T ⎠(4.11)где1cn =TT⎛t⎞∫ x(t ) waln ⎜⎝ T ⎟⎠ d t .(4.12)0Так как функции Уолша на интервалах дискретности принимаютзначения +1 или –1, при вычислении коэффициентов cn не требуетсяпроизводить операцию умножения.
Поэтому спектральный анализ поУолшу связан с меньшими затратами машинного времени, чем анализ сиспользованием гармонических функций.Усеченные ряды УолшаN −1⎛t⎞∗x N (t ) = ∑ cn waln ⎜ ⎟(4.13)T⎝⎠n =0обладают равномерной, среднеквадратической сходимостью и сходимостью в среднем и могут быть использованы для аппроксимации сигналов, описываемых интегрируемыми функциями. Графики функцийxN∗ (t ) имеют ступенчатый характер.4.4. Методические указанияЧтобы составить программу, пригодную для анализа функций наинтервалах различной длительности, функции Уолша рекомендуетсяпостроить сначала на интервале [0, 1) относительного времени. На этоминтервале, учитывая разрывный характер функций, размещается не менее 1000 отсчетов. Функции Радемахера, описываемые формулой (4.1),можно сформировать, применив, условный оператор if.
Например, дляфункции Радемахера rad3 (t ) получимrad3 (t ) = if (sin(8 ⋅ π ⋅ t ) > 0,1, − 1) .(4.14)Систему функций Радемахера рекомендуется записать в виде вектор-функции, составляющие которой есть функции Радемахера radi (t ) ,i = 1, ..., m .26Система функций Уолша может быть записана в виде векторфункции, элементы которой являются функциями Уолша и выраженычерез функции Радемахера. Для удобства все функции рекомендуетсязаписать относительного времени θ , изменяющегося в интервале [0, 1) .Чтобы получить функции Уолша для заданного интервала [0, T ) , в вектор-функции выполняется подстановка t = t T .
В приложении П.6 данпример формирования таким способом системы функций Хаара.4.4. Программа работы4.4.1. Основное задание1. Составить программу моделирования функций Уолша wal n (t ) ,t ∈ [0, T ) , n = 0,1,..., N − 1, для N = 16 . Пронаблюдать графики функцийУолша и проверить, что они сформированы правильно.2. Убедиться в том, что функции Уолша удовлетворяют условиюортогональности. Для этого вычислить значения интеграловT1⎛t⎞⎛t⎞waln ⎜ ⎟ ⋅ walm ⎜ ⎟ ⋅ dt∫T 0⎝T ⎠⎝T ⎠при нескольких произвольных значенияхn=mиn≠m(n, m = 0,1,..., N − 1).3.Сформировать в среде MathCAD заданную функцию x(t ) ,t ∈ [0, T ) . Построить ее график.Примечание.
Сигнал x(t ) задается преподавателем или определяется из приложения П.1 согласно заданному варианту. Длительностьсигнала выбирается произвольно: T = Tс ≠ 1 с .4. Рассчитать значения коэффициентов cn , n = 0,1,..., N − 1, разложения заданной функции x(t ) в базисе функций Уолша.5. Составить программу вычисления функцииN −1⎛t⎞∗x N (t ) = ∑ cn ⋅ waln ⎜ ⎟, t ∈ [0, T ) .⎝T ⎠n =06. Построить спектральную диаграмму и сделать выводы о спектральном составе исследуемого сигнала x(t ) .7. Построить график ошибки аппроксимацииε N (t ) = x(t ) − x ∗N (t ) .Проанализировать характерные признаки ошибки аппроксимации.274.4.2. Дополнительное задание8.
Образовать аппроксимирующий сигнал x ∗N (t ) путем суммирования первых восьми членов ряда ( N = 8 ). Построить график ошибки аппроксимации ε N (t ) = x(t ) − x ∗N (t ) . Сделать выводы.9. Рассчитать значения средней квадратической ошибкиTσ = ∫ [ x(t ) − x∗N (t )]2 dt20для N = 8 и N = 16 . Сделать выводы.4.5. Контрольные вопросы и задания1. В чем заключаются преимущества применения функций Уолшаперед другими?2. Запишите при помощи функций Радемахера функцию Уолшаwal 21 (θ) .3. Покажите, что функции Уолша ортогональны.4. Покажите, что произведение любых двух функций Уолша является также функцией Уолша. Как это свойство называется?5. Образуйте функцию wal 2 (θ) ⋅ wal6 (θ) . Определите номер функции Уолша, получившейся в результате данного действия.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
