О.С. Вадутов - Математические основы обработки сигналов - Работы 1-14 (1266500), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Программа работы1.4.1. Основное задание1. Получить аналитические выражения для коэффициентовa0 , an , bn разложения в ряд Фурье периодической последовательностипрямоугольных импульсов (рис. 1.3). Рассчитать значения Аn , ϕn первых пяти гармоник для произвольных τ, T .x−τ/2 0 τ/2-T2T tTРис. 1.3. Последовательность прямоугольных импульсов2. Сформировать в среде MathCAD математическую модель заданного периодического сигнала x(t ) . Построить график сигнала.Примечание: Форма исследуемого сигнала и значения параметровсигнала задаются преподавателем согласно приложению П.1 и табл. 1.1.Таблица 1.1Параметры12A, Вτ , мсTс , мс10.30.4T , мс0.520.50.7Номера вариантов345651020250.40.50.81.20.60.81.01.57400.81.08501.21.50.81.02.43.01.21.52.03.
Составить программу для расчета коэффициентов an , bn , Аn , ϕn(n = 0,1,...,10) . Рассчитать значения этих коэффициентов и занести их втаблицу. По полученным данным построить амплитудный и фазовыйспектральные диаграммы.4. Образовать аппроксимирующий сигнал x ∗N (t ) путем суммирования постоянной составляющей и заданного числа первых гармоник. Построить на одном рисунке графики исходного x(t ) и аппроксимирующего x ∗N (t ) сигналов для N = 5 , N = 10 и N = 20 . Сделать выводы.5. Получить сигналы ошибки ε(t ) = x(t ) − x ∗N (t ) для N = 5 , N = 10и N = 20 . Построить их графики.91.4.2.
Дополнительное задание6. По формуле (1.10) рассчитать значения средней квадратическойошибки для N = 5 , N = 10 и N = 20 . Сделать выводы о влиянии количества учитываемых гармоник на величину средней квадратическойошибки.7. По формуле (1.13) рассчитать среднюю мощность исследуемогосигнала. По формуле (1.15) рассчитать среднюю мощность периодического сигнала, описываемого усеченным рядом Фурье, для N = 5 ,N = 10 и N = 20 . Сделать выводы о влиянии количества учитываемыхгармоник на величину средней мощности сигнала.1.5. Контрольные вопросы и задания1. Опишите основные свойства периодических сигналов.2.
Изобразите графики нескольких первых базисных функций рядаФурье.3. Поясните особенности разложения нечетных и четных функцийв ряд Фурье.4. Запишите формулы, связывающие коэффициенты тригонометрического и комплексного рядов Фурье.5. Как отразится изменение положения отсчета времени t = 0 периодического сигнала на значениях An и ϕn ряда Фурье?6. Как изменится спектр периодического сигнала, если изменитьмасштаб по оси времени?7. Как изменится спектр последовательности прямоугольных импульсов, если уменьшить длительность τ и период T импульсов в двараза?8.
Почему разрывные функции не могут иметь точного приближения рядами Фурье?9. В чем состоит эффект Гиббса?10Работа 2ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗНЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ2.1. Цель работыБольшинство сигналов, подвергающихся обработке, имеет непериодический характер. Особенностью гармонического анализа непериодических сигналов является то, что связь между временной функциейx(t ) и ее образом X ( jω) в области частот определяется интегральнымисоотношениями, составляющими пару преобразований Фурье.Целью работы является изучение прямого и обратного преобразований Фурье и приобретение практических навыков их использованиядля расчета спектральной характеристики X ( jω) сигнала x(t ) и восстановления функции x(t ) по спектральной характеристике X ( jω) .2.2.
Основные понятия и расчетные формулыПусть непериодический сигнал описывается функцией времениx(t ) , заданной на интервале (t1 , t 2 ) (рис. 2.1,а). Для функции выполняется условие абсолютной интегрируемости:t2∫ | x(t ) | dt = M < ∞ .t1xxпаt1t2 t(2.1)Tбt1Tt2tРис. 2.1. Образование вспомогательной периодической функции:а – непериодическая функция; б – периодическая функцияПутем повторения функции x(t ) с периодом T > t 2 − t1 образуемвспомогательную периодическую функциюx п (t ) =∞∑ x(t − kT ) .(2.2)k = −∞Фрагмент функции xп (t ) показан на рис.
2.1,б. Очевидно, чтоx(t ) = lim xп (t ) .T →∞11(2.3)Периодическую функцию xп (t ) можно описать с помощью ряда Фурьев комплексной форме:xп (t ) =∞∑ cn e j n ω1 t ,(2.4)n = −∞где ω1 = 2π T , а коэффициенты cn рассчитываются по формулеt1 2cn = ∫ xп (t ) e − j n ω1t dt .Tt(2.5)1Подставив (2.5) в (2.4) и заменив T = 2π ω1 , получим∞t1 2xп (t ) = ∑ [xп (τ) e − j n ω1 t dτ] e j n ω1 t ω1.∫n = −∞ 2π t(2.6)1В пределе при T → ∞ угловая частота ω1 = 2π T превращаетсяв бесконечно малое приращение частоты dω , частота n -й составляющей ряда nω1 – в текущую частоту ω, а операция суммирования переходит в операцию интегрирования.
При этом расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте ω1 , становится бесконечно малым, а спектр – сплошным.Таким образом, при T → ∞ из формулы (2.6) будем иметьt1 ∞ j ωt 2x(t ) =e[ ∫ x(τ) e − j ω τ dτ] dω .∫2π − ∞t(2.7)1С учетом, что значения t1 и t2 не определены, введем обозначениеX ( jω) =∞∫ x(t ) e− j ωtdt.(2.8)−∞Тогдаx(t ) =1 ∞X ( jω) e j ω t dω.∫2π − ∞(2.9)Формулы (2.8) и (2.9) устанавливают однозначное соответствиемежду представлением x(t ) сигнала во временной области и его представлением X ( jω) в области частот. Формула (2.8) осуществляет прямое преобразование и позволяет найти спектральную характеристикуX ( jω) , соответствующую сигналу x(t ) .
Символически это записывается следующим образом:X ( jω) = ℑ {x(t )} .12При известной спектральной характеристике X ( jω) по формуле(2.9) выполняется обратное преобразование и вычисляется мгновенноезначение сигнала x(t ) . Символически это можно записать так:x(t ) = ℑ−1 { X ( jω)} .Установлено, что сигналу x(t ) можно сопоставить его спектральную характеристику X ( jω) в том случае, если этот сигнал описываетсяабсолютно интегрируемой функцией, т. е. существует интеграл∞∫ | x(t ) | dt < ∞ .−∞Это условие существенно снижает класс допустимых сигналов.Однако имеются математические приемы, с помощью которых удаетсяполучать спектральные характеристики неинтегрируемых сигналов. Этиспектральные характеристики являются обобщенными функциями.Спектральную характеристику X ( jω) сигнала x(t ) , использовавизвестную формулу Эйлера, можно записать в следующем виде:X ( jω) = X (ω) ejϕ( ω)=∞∫ x(t ) e− j ωtdt =−∞=∞∫x(t ) cos ω t ⋅ dt − j−∞∞∫(2.10)x(t ) sin ω t ⋅ dt = a (ω) − jb(ω).−∞Действительная частьa (ω) =∞∫ x(t ) cos ω t ⋅ dt(2.11)−∞спектральной характеристики является четной функцией частоты,а мнимая частьb(ω) =∞∫ x(t ) sin ω t ⋅ dt(2.12)−∞– нечетной функцией частоты.
Отсюда следует, что модуль спектральной характеристикиX (ω) = | X ( jω) | = a 2 (ω) + b 2 (ω)(2.13)является четной функцией частоты, а аргумент спектральной характеристикиϕ(ω) = arg X ( jω) = arg[a(ω) − jb(ω)](2.14)– нечетной функцией частоты.13-b(ω)8Спектральную характеристику X ( jω) можно изобразить на комплексной плоскости в виде годографа (рис. 2.2,а). Чаще же спектральную характеристику X ( jω) представляют в виде амплитудно-частотнойX (ω) и фазо-частотной ϕ(ω) спектральных характеристик (рис. 2.2,б,в).Учитывая симметричность спектральных характеристик при положительных и отрицательных значениях частоты ω , как правило, их строяттолько в интервале положительных значений частоты ω .Формула (2.9) обратного преобразования Фурье предполагает интегрирование комплексных функций и поэтому не всегда удобна длянепосредственных вычислений. При помощи формулы Эйлера и выражения (2.10) формулу обратного преобразования можно привести к следующему виду:1∞x(t ) = ∫ [ a (ω) cos ω t + b(ω) sin ωt ] dω.(2.15)π0бωX(ω)ωω=0а8a(ω)вϕ(ω)ωωРис.
2.2. Спектральные характеристики:а – годограф; б – амплитудная; в – фазовая2.3. Методические указанияПрограмма работы предусматривает определение спектральной характеристики заданного сигнала x(t ) с помощью формул прямого преобразования Фурье и восстановление сигнала по имеющейся спектральной характеристике с помощью формулы обратного преобразованияФурье.Предлагаемый для исследования сигнал представляет собой одиночный импульс, заданный на интервале времени [0, Tс ] (см.
приложение П.1). Его спектральная характеристика вычисляется по формуле(2.8), либо по формулам (2.11), (2.12), в которых нижний и верхний пределы интегрирования принимаются соответственно равными 0 и Tс . Длядостижения необходимой точности вычисления спектральной характе14ристики на интервале [0, Tс ] определения сигнала берется не менее 50отсчетов заданного сигнала. Правая граница частотного интервала[0,ωс ], на котором рассчитывается спектральная характеристика, подбирается экспериментально с учетом сказанного ниже.Для восстановления сигнала x(t ) по его спектральной характеристике X ( jω) используется формула (2.15) обратного преобразованияФурье. Как известно, спектральная характеристика сигнала, заданногона ограниченном интервале времени [0, Tс ] , определена на бесконечноминтервале частот (−∞, ∞) (или с учетом симметричности на полубесконечном интервале [0, ∞) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
