А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 7
Текст из файла (страница 7)
длябыстрой угловой модуляции, когда ωд << Ω ) ширина спектра модулированного колебания близка к значению 2Ω ; для модуляции сбольшим индексом модуляции ( m >> 1 , т. е. для медленной угловой модуляции, когда ωд >> Ω ) ширина спектра близка к значению 2ωд .В локации нашли широкое применение радиоимпульсы с линейной частотной модуляцией, или ЛЧМ-импульсы. Мгновенная частота изменяется в течение импульса по линейному законуω(t ) = ω0 + β t ,где β = 2ωд / τи – скорость изменения частоты во времени,ωд = βτи / 2 – девиация частоты за длительность импульса τи ; приβ > 0 частота растет внутри импульса, а при β < 0 – убывает.Прямоугольный ЛЧМ-импульс можно представить следующейматематической моделью:⎧⎪U cos(ω 0t + βt 2 / 2), −τ и / 2 ≤ t ≤ τ и / 2,uЛЧМ (t ) = ⎨ m⎪⎩0, вне этого интервала.Произведение полной девиации частоты на длительность импульса2 f д τи = B(3.6)служит основным параметром ЛЧМ-импульса.
В п.2.2 аналогичныйпараметр (см. (2.23)) был назван базой сигнала. Так как f д определяет ширину спектра рассматриваемого сигнала, то параметр Bможно трактовать как базу ЛЧМ-сигнала. В практически важныхслучаях B >> 1 и модуль спектральной плотности ЛЧМ-импульса спрямоугольной огибающей с хорошим приближением описываетсявыражением [1]:⎧⎪U π /(2β), ω0 − ωд ≤ ω ≤ ω0 + ωд ,U (ω) = ⎨ m⎪⎩0, вне этого интервала.52ГЛАВА 3.
МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯЭнергетический спектр такого сигнала2U (ω) = πU m2 /(2β)также постоянен в интервале частот ( ω0 − ωд , ω0 + ωд ) и обращается в нуль вне этого интервала.Комплексная огибающая узкополосного колебанияS (t ) = A(t ) cos[ω0t + ϕ(t )](3.7)A& (t ) = A(t )e jϕ(t ) .(3.8)равнаКомплексное представление узкополосного колебания S (t )€ t) ,S& (t ) = A& (t )e jщ0 t или S& (t ) = S (t ) + jS((3.9)где S (t ) = Re[ S& (t )] – реальная составляющая, S€(t ) = Im[ S& (t )] – мнимая составляющая комплексного сигнала, связанные парой преобразования Гильберта:1S€(t ) = −π∞∫−∞S (τ)1d τ ; S (t ) =τ-tπ∞∫−∞S€(τ)dτ .τ-t(3.10)Спектральная плотность комплексного представления S& (t ) узкополосного сигнала S (t )⎧2 S ( jω), ω > 0,S S& ( jω) = S A& [ j (ω − ω0 )] = ⎨ω < 0,⎩0,где S A& ( jω) – спектральная плотность комплексной огибающейA& (t ) ; S ( jω) – спектральная плотность колебания S (t ) .Колебание на выходе квадратурного фильтра с характеристиками⎧− j , ω > 0,⎧1 πt , t ≠ 0,⎪g (t ) = ⎨или K ( jω) = ⎨+ j , ω < 0,0,t0=⎩⎪ 0, ω = 0,⎩связано с входным колебанием преобразованием Гильберта.533.3.
ЗАДАЧИ3.3. ЗАДАЧИ3.3.1. АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ1. Однотональный АМ-сигнал характеризуется тем, чтоU max = 130 B , U min = 20 B (рис. 3.1.). Найдите коэффициент модуляции М, а также амплитуду U m несущего колебания.2. Задано аналитическое выражение двухтонального АМКu (t ) = 12[1 + 0.6cos(Ωt ) + 0.2cos(2Ωt )]cos(ω0t ) В.Найдите наибольшее и наименьшее значения огибающей U (t )данного сигнала.Рис. 3.1Рис. 3.23. Задано аналитическое выражение однотонального АМКu (t ) = 20[1 + 0.8cos(104 t + π / 4)]cos(106 t + π / 3) , В.Изобразите векторную диаграмму этого АМК для моментов времени t0 = 0 мс и t1 = 0.1 мс.4. На рис.
3.2 изображена осциллограмма однотонального АМКпри M > 1 , когда имеется явная перемодуляция. Определите коэффициент модуляции M на основании известных значений U max и U min .5. Спектральная диаграмма АМК, имеющего две модулирующие частоты F1 = F и F2 = 2 F , показана на рис. 3.3.На основании этой диаграммы определите парциальные коэффициенты модуляции и запишите аналитическое выражение данного колебания.6. Задано аналитическое выражение для АМКU (t ) = U [1 + 0.5cos(2π ⋅ 102 t + π / 6) ++0.5cos(2π ⋅ 75t + γ )]cos(2π ⋅ 105 t + π / 3).Определите начальную фазу γ, при которой коэффициент модуляции M н (модуляции вниз) равен единице.54ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ7.
Изобразите векторные диаграммы АМК, аналитическое выражение для которого приведено в задаче 6, при г = 600 для следующих моментов времени: t0 = 0 мс и t1 = 2.5 мс.8. Источник ЭДС с АМ u (t ) = U [1 + M cos(Ωt )]cos(ω0t ) нагруженрезистивным сопротивлением R .Получите выражение для составляющих мгновенной мощностив нагрузке на частоте Ω и 2Ω.9.
Радиопередающее устройство с АМ в режиме “молчания”,т. е. при отсутствии модулирующего сигнала, излучает мощностьPн = 4 кВт.Найдите пиковое значение мощности Pmax однотональногоАМК, если M = 0.8 .10. Амплитудно-модулированный ток (мА)i (t ) = 200[1 + 0,8cos(4 ⋅ 103 t )]cos(6 ⋅ 106 t )протекает по резистивной нагрузке R = 75 Ом. Найдите: а) максимальную (пиковую) мощность ( Pmax ) в нагрузке, развиваемую источником; б) среднюю мощность ( Pcp ) в нагрузке; в) относительную долю мощности, сосредоточенную в несущем колебании( Pнес / Pcp ).50 B20 B20 B5BFFU,B302010f0FFРис. 3.35Bfр/20−р / 45р / 4Щ Щ Щ Щщ0рщРис.
3.411. Спектральная диаграмма напряжения приведена на рис. 3.4.На ее основании определите парциальные коэффициенты модуляции, найдите среднюю мощность, выделяемую на резистореR = 1 Ом.Определите, какую долю мощности немодулированного несущего колебания составляет мощность боковых колебаний, еслиω0 = 106 рад/с, Ω = 103 рад/с.12. На рис. 3.5 задано АМК в виде периодической последовательности радиоимпульсов с прямоугольной огибающей при сле-553.3. ЗАДАЧИдующих данных: τ = 1 мкс, T = 2 мкс, f 0 = 10 МГц и U m = 10 В.Найдите и изобразите спектр этого колебания.13. По условию предыдущей задачи определите выражение длярасчета парциальных коэффициентов модуляции M n .14.
Найдите выражение и постройте АКФ для сигнала, показанного на рис. 3.5. Данные сигнала те же, что и в задаче 12.15. Оцените ширину полосы частот 2Δf , занимаемую телеграфным радиоканалом, работающим по принципу АМ со скоростью 300 знаков/мин. Для упрощения положите, что передаваемыйсигнал является периодической последовательностью точек кодаМорзе. Длительность паузы равна длительности передаваемого радиоимпульса (рис. 3.5).3.3.2. КОЛЕБАНИЯ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ16.
Временная диаграмма модулирующего сигнала приведена нарис. 3.6. Изобразите временные диаграммы мгновенной частоты исдвига фаз при частотной и фазовой модуляции.u (t )u (t )Um0τTРис. 3.5tt0Рис. 3.617. Максимальная частота частотно-модулированного колебания f max = 2.01 ⋅ 107 Гц, несущая частота f 0 = 2 ⋅ 107 Гц, частотамодуляции F = 104 Гц.Определите девиацию частоты и индекс модуляции.18. Найдите максимальное ωmax и минимальное ωmin значениямгновенной частоты ω(t ) ЧМ-сигнала, представляемого выражениемu (t ) = U cos[3 ⋅ 109 t + 2sin(107 t ) + π / 6] .19. Однотональный ЧМ-сигнал имеет несущую частотуf 0 = 50 МГц и частоту модуляции F = 7 кГц.Вычислите, в каких пределах должна изменяться мгновеннаячастота этого колебания [ f min , f max ] для того, чтобы индекс модуляции m был равен 40.56ГЛАВА 3.
МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ20. Колебание с угловой модуляцией описывается выражениемu (t ) = 15cos[108 t + 3sin(106 t ) + 1.4sin(105 t ) + π 4] .Найдите величину мгновенной частоты ω(t ) данного сигнала вмомент времени t = 1 мкс.21. Однотональный ЧМ-сигнал имеет частоту модуляцииF = 12 кГц и индекс модуляции m = 25.Вычислите практическую ширину спектра 2Δf np данного колебания.22. Задано аналитическое выражение ЧМКu (t ) = 5cos[2π ⋅ 105 t + 6cos(2π ⋅ 102 t ) + π 3] .Определите девиацию частоты, практическую ширину спектра ичисло гармонических составляющих в пределах этой ширины.23. Мгновенная частота ЧМК изменяется по закону (кГц)f (t ) = 5cos(2πFt + π 6) .Модулирующая частота F принимает значения в пределах от200 Гц до 2,5 кГц.Определите значение частоты F , при которой в спектре ЧМКбудет отсутствовать составляющая с частотой f 0 .24.
Вычислите, при каком наибольшем значении модулирующей частоты Fmax в спектре однотонального ЧМ-сигнала, имеющего девиацию частоты f д = 40 кГц, будут отсутствовать компоненты на частотах f 0 ± Fmax , где f 0 – частота несущего колебания.25. Вычислите спектры ЧМК и ФМК при одинаковых несущихчастотах 100 МГц и амплитудах 10 В. При ФМК задан индекс модуляции m = 5, а при ЧМК задана девиация частоты f д = 50 кГц.Сравнение спектров ЧМК и ФМК проведите для модулирующихчастот F1 = 10 кГц и F2 =5 кГц.26. Частота ФМК изменяется по закону (рад/с)ω(t ) = 2π ⋅ 106 [1 + 0,1cos(2π ⋅ 104 t )] .Напишите аналитическое выражение этого колебания, если егоамплитуда равна 20 В.27.
Радиостанция, работающая с несущей частотой f 0 = 80 МГц,излучает ФМ-сигнал, промодулированный частотой 15 кГц. Индекс573.3. ЗАДАЧИмодуляции m = 12. Найдите пределы, в которых меняется мгновенная частота сигнала.Определите практическую ширину спектра ФМ-сигнала.28. Рассчитайте суммарную мощность спектральных составляющих в пределах практической ширины спектра и сравните сосредней мощностью ЧМК (В)u (t ) = 10cos[2π ⋅ 106 t + m cos(2π ⋅ 103 t + π 2)] ,выделяемой на сопротивлении 1 Ом.
Индекс модуляции принимаетзначения: а) m = 0.5; б) m = 5.29. Оцените коэффициент паразитной амплитудной модуляциив колебании, рассмотренном в задаче 25, при m = 0.5 и удержании вспектре только трёх составляющих.30. Прямоугольный ЛЧМ-импульс длительностью τи = 40 мксимеет значение базы В = 500.Определите девиацию частоты f д в данном импульсе.31. ЛЧМ-импульс с огибающей прямоугольной формы имеетдлительность τи = 15 мкс.Определите базу В данного сигнала и скорость нарастания частоты β , если девиация частоты за время импульса f д = 25 МГц.32. Частотно-модулированный радиоимпульс с прямоугольнойогибающей имеет длительность 1 мс, амплитуду 5 В при изменении мгновенной частоты по законуω(t ) = ωmin + β t , 0 ≤ t ≤ 1 ≤ 1 мc,гдеωmin = 2π ⋅ 5 ⋅ 104 рад/с7–начальноезначениечастоты;2β = 2π ⋅ 2 ⋅ 10 рад/с – скорость изменения частоты.Определите базу этого сигнала и запишите его аналитическоевыражение, если начальная фаза колебания π/6.233.
Вычислите величину энергетического спектра U (ω) прямоугольного ЛЧМ-импульса, имеющего девиацию частотыωд = 109 рад/с, базу B = 5 ⋅ 103 и амплитуду U m = 50 мкВ.34.* Задано аналитическое выражение ЛЧМ радиоимпульса сколокольной огибающей:u (t ) = Ae−α2 2tcos(ω0t + βt 2 ) , −∞ < t < ∞ .Определите энергию и базу этого сигнала при A = 10 В,f 0 = 1 МГц, α = 10 4 рад/с, β = 10 9 рад/с 2. Постройте зависимость58ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯэффективной ширины спектра от β при заданном α и при изменении β в пределах 0…10 8 рад/с 2.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
