А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Найдите композицию нормального закона с математическиможиданием mx, срединным отклонением E = 0.66σ x и закона равномерного распределения, заданного на интервале [ m y − l , m y + l ].Определите относительную ошибку, возникающую от замены суммарного закона нормальным, имеющим то же математическоеожидание и ту же дисперсию. Расчёт произведите для mx = 0,l = E , l = 2 E , l = 3E в точке z = 0.4.3.2. МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И МОМЕНТЫ.СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ16. Задан случайный процесс в виде постоянного напряженияслучайного уровня X (t ) = X = U , изменяющегося от одной реализации к другой.
Можно ли процесс X (t ) назвать стационарным иэргодическим?17. Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процессаZ (t ) = XS (t ) ,где X – случайная величина с известными математическим ожиданием mx и дисперсией Dx = σ 2x , а S (t ) – детерминированнаяфункция времени. Классифицируйте процесс Z (t ) по признакамстационарности и эргодичности.18. Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса814.3. ЗАДАЧИZ (t ) = X (t ) S (t ) ,где X (t ) – эргодический случайный процесс с известными математическим ожиданием mx и дисперсией Dx и корреляционнойфункцией K x ( τ) , а S (t ) – детерминированная функция.
Можно липроцесс Z (t ) назвать стационарным?19. Определите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процессаZ (t ) = X (t ) S1 (t ) + Y (t ) S2 (t ) ,где X (t ) и Y (t ) – некоррелированные стационарные случайныепроцессы с известными математическими ожиданиями mx и m y ,дисперсиями Dx и Dy и корреляционными функциями K x ( τ) иK y (τ) , а S1 (t ) и S2 (t ) – детерминированные функции времени. Стационарен ли процесс Z (t ) ?20. Задан случайный процессZ (t ) = A sin(ω0t + ϕ) ,где A и ω0 – положительные постоянные (амплитуда и частота), аϕ – случайная величина, равномерно распределённая на отрезке [0, 2π],т.
е. w(ϕ) = 1/ 2π . Найдите математическое ожидание и дисперсию, атакже классифицируйте процесс по признакам стационарности.21. Докажите, что процесс Z (t ) , рассмотренный в предыдущейзадаче, эргодичен относительно математического ожидания и корреляционной функции. Найдите mz (t ) и K z (τ) усреднением повремени.22.
Классифицируйте по признакам стационарности и эргодичности процессZ (t ) = X (t ) + Y ,в котором X(t) – эргодический процесс с известными mx и Dx, аY – случайная независимая от времени величина с заданными m y иDy, изменяющаяся от одной реализации к другой.23. Стационарный случайный процесс X(t) с заданными математическим ожиданием mx, дисперсией Dx и одномерной плотностьювероятности w( x) умножили на константу K, например, пропустили через широкополосную линейную цепь с коэффициентом передачи K .82ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВКак изменятся указанные параметры случайного процесса?24.
Найдите плотность вероятности, математическое ожиданиеи дисперсию процесса U (t ) вида “телеграфного сигнала”, реализация которого u (t ) показана на рис. 4.7.Вероятность независимых перемен знаков, иначе “опрокидываний” подчиняется закону ПуассонаPT ( n ) =( λT ) nn!exp ( −λT ) ,где λ – среднее число “опрокидываний” в единицу времени, PT ( n)– вероятность того, что за период T произойдёт n “опрокидываний”; при этом P ( A) = P ( − A) = 0.5 .u (t )A0t− AРис. 4.725. Стационарный случайный процесс U (t ) имеет функцию распределения F (u ) = 1 − exp( au ) , u > 0, a > 0 .Определите математическое ожидание, средний квадрат и дисперсию этого процесса.26.
По данным задачи 10 рассчитайте математическое ожидание, средний квадрат и дисперсию прямоугольного, треугольного ипилообразного колебаний со случайной задержкой.27. Определите математическое ожидание и дисперсию стационарного случайного процесса, имеющего распределение по закону:а) w(u ) = (2 / π)cos 2 (au ), −π / 2 < u < π / 2;б) w(u ) = (1/ 4)ch(bu ), −1 < u < 1 .Коэффициенты a и b также подлежат определению.28. Плотность вероятности усечённого нормального процессаU (t ) имеет видw(u ) = 0,5δ(u ) + (1/ σu 2π ) exp(− u 2 2σu2 ) при 0 < u < ∞.834.3. ЗАДАЧИИзобразите примерный вид реализации этого процесса и найдите математическое ожидание, средний квадрат, дисперсию и среднеквадратическое значение случайного напряжения.4.3.3.ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ЭНТРОПИЯ29. Найдите характеристическую функцию случайной величины X, имеющей плотность вероятности:а) w( x) = 1/(b − a ), a < x < b ;б) w( x) = λ exp(−λx), λ > 0, x > 0 .30. Покажите, что если закону w( x) соответствует характеристическая функция θ(ν) , то закону w ( x m x0 ) cоответствует харак-теристическая функция θ ( v ) exp ( ± jvx0 ) .31. Используя результаты, полученные в задаче 29, определитематематическое ожидание mx случайной величины X .32. Найдите характеристическую функцию нормального законаw( x) = (1/ у 2р )exp[ − (x − a ) 2 /2у 2 ] .33.
Используя результат предыдущей задачи, найдите первыечетыре момента нормального распределения.34. Решите задачу 13 косвенным методом – на основе характеристических функций.35. Найдите энтропию равномерного закона распределения вероятностейw( x) = 1/(b − a ), a < x < b .36. Определите энтропию нормального шума U (t ) ; плотностьвероятности определяется выражениемw(u ) = (1/ у 2р )exp[ − (u − m) 2 /2у 2 ] .37.
Используя результат, полученный в задачах 35 и 36, найдитеразность энтропии нормального и равномерного законов при одноми том же среднем квадратическом отклонении σ .4.3.4. СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗЫ38. Определите и изобразите графически СПМ Gx (ω) случайногопроцесса X (t ) по его корреляционной функции K x (τ) = D exp(−a τ ) .84ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВРассчитайте эффективную ширину спектра Δωэ и интервал корреляции τb и τk .39.
Найдите и изобразите функцию корреляции K x ( τ) стационарного случайного процесса X (t ) со спектральной плотностьюмощности Gx (ω) = G0 при −ω1 < ω < ω1 . Определите также интервал корреляции τ0 и τk .40. Покажите, что корреляционная функция K x ( τ) не изменяется при добавлении к случайному процессу X (t ) детерминированной составляющей a .41. Заданы корреляционные функции:а) K (τ) = D /(1 + a 2 τ2 ) ;б) K ( τ) = D exp(− a 2 τ2 ) ;в) K ( τ) = D[sin( aτ)]/( aτ) .Изобразите эти функции и рассчитайте интервал корреляцииτb , τk (и τ0 для функции “в”), а также эффективную ширину спектра Δωэ .42. Для стационарного случайного процессаX (t ) = A sin(ω0t + ϕ) ,где ϕ – случайная величина, определите корреляционную функциюкак усреднением по ансамблю реализаций, так и по одной реализациина большом интервале наблюдения T .
Является ли процесс X (t )эргодическим по отношению к корреляционной функции?43. Найдите корреляционную функцию K (τ) и спектральнуюплотность мощности G (ω) “телеграфного сигнала”, заданного взадаче 24 (рис. 4.5). Изобразите графики K (τ) и G (ω) .44. По результатам предыдущей задачи рассчитайте интервалкорреляции τb и τk , а также эффективную ширину спектра Δωэ .45. Определите корреляционную функцию процессаNX (t ) = ∑ [ An cos(ωnt ) + Bn sin(ωn t )],n =1где ωn – известные частоты, а вещественные случайные величиныAn и Bn взаимно не коррелированы, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии D ( An ) = D ( Bn ) = σ n2 , n = 1, N .854.3. ЗАДАЧИ4.3.5.УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ46.
Задан нормальный узкополосный случайный процессX (t ) = A(t )sin[ω0t + ϕ(t )] ,(*)где A(t ) и ϕ(t ) – медленные функции по сравнению с sin(ω0t ) .Дисперсия Dx = σ2x = 1 B 2 . Найдите вероятность того, что в фиксированный момент времени огибающая A(t ) процесса X (t ) превысит уровень 2 В.47. Для процесса вида (∗) выразите математическое ожидание( m A ) и дисперсию ( DA ) огибающей через его среднеквадратическое значение ( σ x ).48. Определите, является ли процесс вида (*) эргодическим относительно математического ожидания mx .49. Выразите корреляционную функцию K x ( τ) процесса вида(∗) через известную функцию корреляции K A (τ) огибающей A(t ) ,приняв ϕ(t ) = ϕ0 .50. Найдите спектральную плотность мощности Gx (ω) узкополосного случайного процесса X (t ) , если его корреляционная функция имеет видK x ( τ) = σ 2x e −ατ cos(ω0 τ) .Изобразите графики K x ( τ) и Gx (ω) .51. По условию предыдущей задачи найдите и графически изобразите АКФ K A (τ) и СПМ G A (ω) огибающей A(t ) случайного процесса X (t ) .
Рассчитайте интервалG ( ω)корреляции τk и эффективную шиG0рину спектра Δωэ огибающей A(t ) ,Δωесли σ x = 1 В, α = 104 1/с.−ω0ω0 ω052. Найдите корреляционнуюРис. 4.8функцию K x ( τ) процесса видаX (t ) , если спектральная плотность мощности равномерна в полосечастот Δω (рис. 4.8).⎧G0 , −ω0 − Δω 2 < ω < −ω0 + Δω 2,⎪Gx (ω) = ⎨G0 , ω0 − Δω 2 < ω < ω0 + Δω 2,⎪0,при других ω.⎩86ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВИзобразите график K x ( τ) и определите интервал корреляцииτ0 огибающей этой функции.53. Определите эффективную ширину спектра стационарногоузкополосного процесса X (t ) по его корреляционной функцииK x (τ) = Dx exp(−α 2 τ2 ) cos(ω0 τ) .4.4.4.4.1.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕВЕРОЯТНОСТЬ ПРЕВЫШЕНИЯ ЗАДАННОГО УРОВНЯНа пороговую схему воздействует случайное напряжение, распределенное по нормальному законуw(u ) =1σ 2πexp ⎡ −(u − m) 2 / 2σ2 ⎤ .⎣⎦Какова вероятность P срабатывания схемы в фиксированныймомент времени (t1), если схема срабатывает ( U вых = "1" ) всякийраз, когда напряжение на ее выходе превышает пороговое значение U п .Параметры m и σ даны в табл.
4.1, а U п – в табл. 4.2.Таблица 4.1Параметрm,Bσ , B.0–0.51020.5Номер варианта34561.01.5–0.5 01.01.01.01.01.02.02.070.581.091.52.02.02.0Таблица 4.2ПараметрUп , B0–2.01–1.52–1.03–0.5Номер варианта45600.51.071.582.092.5МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕПри решении задачи можно воспользоваться значениями табулированного интеграла вероятности, приведенного в приложенииП.7 (см.
табл. П.4).874.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ4.4.2.ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯСтационарный случайный процесс U (t ) описан плотностьювероятности w(u ) (табл. 4.3); параметры функции w(u ) приведеныв табл. 4.4.Требуется:а) получить выражение для функции распределения F (u ) ;б) построить график F (u ) ;в) найти выражение для характеристической функции θ(v ) иэнтропии Н.МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕХарактеристики и параметры различных законов распределенияприведены в [8, 9], а нормального закона – в прил. П.7.Таблица 4.3Номерварианта123ЗаконраспределенияРавномерныйНормальный(Гаусса)КошиПлотность вероятности w(u )Аналитическая записьГрафик⎧ K1δ(t − a), u = a,⎪1 − K1 − K 2⎪, a < u < b,⎨C =b−a⎪⎪⎩ K 2δ(t − b), u = b221e − ( u − m ) / 2σ ,σ 2π−∞ < u < ∞w( u ) K δ ( a )11h⋅,π h 2 + (u − U o ) 2Ca0K2δ (b)buw( u )1/ 2πσm0uw(u )1 /(π h )−∞ < u < ∞04Релеяuσ2e −u2/ 2σ2,0<u <∞w( z )0.6056ЭкспоненциальныйЛапласаλe−λu, 0<u<∞(λ / 2)e−λ u −U o, −∞ < u < ∞uUoz = u /σ1 2 3zw( u )λ0w( u )λ /20uUou88ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВОкончание табл. 4.3.НоЗаконмерраспревари- деленияанта7Симпсона (треугольный)8АрксинусаПлотность вероятности w(u )Аналитическая записьГрафик2⎪⎧ 4(u − a ) /(b − a ) , a < u < ( a + b) / 2,⎨2⎪⎩ 4(b − u ) /(b − a) ,(a + b) / 2 < u < b12π a − u2w( u )2 /( b − a )0, −a < u < aa2ch 2 auw(u ), −∞ < u < ∞a u0a/2u00Усеченныйнормальныйu1/(рa )−a9baw( u )⎧ K δ( a), u = a,⎪⎪(u − m ) 2⎨−12⎪e 2 σ , a < u < ∞,⎪⎩ σ 2πK = φ[(a − m) / σ]w( u )Kд(a )1/ 2ру0m auТаблица 4.4ПараметрНомер подварианта3456012789K10.00.10.150.200.250.30.00.10.150.2K20.310.250.200.150.100.00.00.10.100.2a,B0.20.40.600.801.001.21.41.61.802.0b,Bm,B1.21.62.002.402.803.23.64.04.404.80.00.00.000.500.500.51.01.01.002.0σ,B0.51.02.000.501.002.00.51.02.002.0h,B0.51.02.000.501.002.00.51.02.002.0U0 , B0.00.00.000.500.500.51.01.01.002.0λ , 1/Bα,B0.51.01.502.002.503.03.54.04.505.05.04.54.003.503.002.52.01.51.000.54.4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
