А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 12
Текст из файла (страница 12)
МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ. СТАЦИОНАРНОСТЬИ ЭРГОДИЧНОСТЬВ табл. 4.5 задан процесс Z (t ) . При описании Z (t ) принятыследующие обозначения:894.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕS1 (t ) и S2 (t ) – детерминированные функции времени, описываемые с помощью постоянных параметров S0 , α , ω0 , p , τ и n(табл. 4.5);X и Y – некоррелированные случайные величины с известными математическими ожиданиями mx и m y и дисперсиямиDx = σ 2x и Dy = σ2y ;X (t ) и Y (t ) – некоррелированные эргодические случайныепроцессы, которые соответственно имеют известные математические ожидания mx и m y дисперсии Dx = σ 2x и Dy = σ2y и автокор-реляционные функции K x (τ) и K y (τ) .Требуется:а) определить математическое ожидание mz (t ) , дисперсиюDz (t ) и корреляционную функцию K z (t1 , t2 ) процесса Z (t ) ;б) классифицировать процесс Z (t ) по признакам стационарности и эргодичности.Таблица 4.5НомервариантаZ (t )НомерподвариантаS1 (t )S 2 (t )XS1 (t )0S0 at1XS1 (t ) + Y1S0 sin ω0t2X (t ) + S1 (t )2S0 (at )3XS1 (t ) + YS 2 (t )3S0 cos ω0t4X + YS 2 (t )4S0 / at5S 2 (t ) + Y (t )5S0[exp(− at )]S0 at6Y sin ω0t + S 2 (t )6S0 exp( −β2t 2 )S0 (at ) 27XS 2 (t )7S0 exp( − at )S0 sin ω0t8XS1 (t )8S0 ,0 < t < τS0 / at9Y (t ) + S1 (t )9S0 [1 − exp(− at )]S0 ,0 < t < τ0S0 exp( −β2t 2 )S0 [1 − exp(− at )]S0 exp( − at )2S0[exp(− at )]nS0 cos ω0tnВаша идея, конечно, безумна.Весь вопрос в том, достаточно ли онабезумна, чтобы оказаться правильной.Нильс БорГЛАВА 5ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ5.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫЧастотные и временные характеристики линейных систем.
Математические модели апериодических и частотно-избирательныхлинейных цепей. Свойства цепей с обратной связью (ОС). Критерии устойчивости активных линейных цепей с ОС (алгебраическиеи геометрические). Гребенчатые фильтры. [1, 5.7…5.10; 2, 14.1,14.2; 3, 5.8…5.11].Указания. При изучении линейных цепей надо обратить внимание на то, что передаточная функция K(jω) любой системы, втом числе с обратной связью, записывается в виде правильной дроби, т. е. в виде отношения двух степенных полиномов комплекснойпеременной jω. Такая запись существенно упрощает исследованиецепей и позволяет применить универсальные типовые методы.При рассмотрении частотных свойств необходимо чётко уяснить поведение АЧХ и ФЧХ минимально-фазовых и неминимально-фазовых цепей.
Следует внимательно разобраться, почему цепис распределёнными параметрами, например устройства, содержащие отрезки линий передач, относятся к классу неминимально–фазовых цепей. Существенной особенностью всех физически реализуемых цепей является отсутствие разрывов частотной зависимости ФЧХ.При определении устойчивости важно уметь записывать комплексные передаточные функции каскадно-соединённых пассивных и активных усилительных элементов. Отметим также, что вактивных цепях с обратной связью в одной области частот обратная связь может быть отрицательной, а в другой – положительной.915.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ5.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯХарактеристики линейных цепей. Линейной называетсяцепь, к которой применим принцип суперпозиции (наложения). Влинейной цепи (ЛЦ) с постоянными во времени параметрами необразуются новые частоты на выходе. ЛЦ полностью описываетсялибо дифференциальным уравнением, либо передаточной функцией, либо импульсной характеристикой.Любая линейная цепь с сосредоточенными параметрами описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами an и bm:bmd mU вых (t )= andt+ bm −1md nU вх (t )dtn+ an −1d m −1U вых (t )dtm −1d n −1U вх (t )dtn −1+ …+ b1+ … + a1dU вых (t )+ b0U вых (t ) =dtdU вх (t )+ a0U вх (t ) .
(5.1)dtПорядок уравнения (5.1) определяется количеством реактивныхэлементов в цепи.Передаточная функция (ПФ) K(jω) (или частотный коэффициент передачи) представляет собой отношение комплексныхамплитуд выходного и входного гармонических сигналов заданнойчастоты ω:K ( jω) =U& вых m a0 + a1 ( jω) + … + an ( jω) n.=U& вх mb0 + b1 ( jω) + … + bm ( jω) m(5.2)При обобщении выражения K(jω) для случая комплексной частоты p = σ + jω получим ПФ в операторной форме или операторный коэффициент передачиK ( p) =a0 + a1 p + …+ an p nb0 + b1 p + …+ bm p m.(5.3)Импульсная характеристика g(t) линейной системы – это отклик на единичный импульс δ(t), т.
е. g(t) = f [δ(t)].Переходная характеристика h(t) линейной системы – отклик наединичный скачок σ(t), т. е. h(t) = f [σ(t)].Взаимосвязь временных и спектральных характеристик линейных цепей показана на рис. 5.1, где ППФ, ОПФ – прямое и обратное преобразование Фурье92ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ+∞K ( jω) =∫g (t )e− jωt dt ;+∞g (t ) =-∞1K ( jω)e jωt d ω ;∫2π - ∞(5.4)ППЛ, ОПЛ – прямое и обратное преобразование Лапласаc + j∞∞K ( p ) = ∫ g (t )e − pt dt ;0g (t ) =1K ( p )e pt dp .2πj c −∫j∞(5.5)Передаточную функцию цепи, называемую также частотнымкоэффициентом передачи, можно представить в видеK ( jω) = K (ω)e jϕ( ω) = Re[ K ( j ω)] + j Im[ K ( jω)] ,(5.6)где K (ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи;ϕ(ω) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) цепи; Re[ K ( jω)] иIm[ K ( jω)] – действительная и мнимая части ПФ.h(t )ddtg (t )∫ППФK ( jω)ОПФОПЛ ППЛK ( p)jω → pp → jщРис.
5.1Важную роль, особенно при исследовании устойчивости цепи,играет амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) цепи, т. е.кривая в плоскости прямоугольных координат Re[ K ( jω)] иIm[ K ( jω)] или в плоскости полярных координат K (ω) и ϕ(ω) . Вкачестве примера на рис. 5.2 приведены АЧХ, ФЧХ и АФХ резонансного усилителя.Если между АЧХ и ФЧХ цепи существует однозначное соответствие, то такие цепи называются минимально-фазовыми (МФ), впротивном случае – неминимально-фазовыми (НМФ).
Следовательно, для МФ цепей при изменении одной из характеристик ме-935.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯняется и другая. К таким цепям относятся обычные четырехполюсники и другие цепи, в которых отсутствуют перекрестные связи иоператорный коэффициент передачи K ( p) которых не имеет нулейв правой полуплоскости комплексного переменного p .
К цепямНМФ относятся мостовые схемы, схемы балансного типа и др.K (щ) ϕ(щ)KpIm( K ( jщ))K (ω )р/2щ1 щ0-р / 22Δщ0.7щ20щϕ (щ1 )K (щ1 )K (щ2 )K (щp )Re(Re(KK(ω( j))щ))ϕ(щ)Рис. 5.2Некоторые свойства АЧХ и ФЧХ минимально-фазовых цепей:1) логарифмическая АЧХ A(ω) = ln K (ω) является сопряженнойпо Гильберту ФЧХ ϕ(ω) ;2) при прохождении АЧХ через максимум наклон ФЧХ отрицателен ( d ϕ(ω) / d ω < 0 );3) участкам с равномерной АЧХ или слабым изменением K (ω)соответствует линейная ФЧХ;4) если K (ω) = K 0 для всего диапазона ω от 0 до ∞ , тоϕ(ω) = 0 .Цепи с обратной связью (ОС).
В этих цепях выходной сигналили его часть снова воздействует на вход (рис. 5.3). В общей постановке система с ОС может быть представлена двумя цепями (элементами) (рис. 5.3, а): прямой цепью (основным элементом) – активным четырехполюсником K ( p) и цепью (элементом) обратнойсвязи – как правило, пассивным четырехполюсником β( p ) .ПФ всей системы в операторной формеK oc ( p ) =U вых ( p)K ( p)=.U вх ( p) 1 − K ( p)β( p)(5.7)При замене p на jω получаем выражение для ПФ (см. рис.
5.3, б)94ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИK oc ( jω) =K ( jω)K ( jω)=.1 − K ( jω)β( jω) 1 − H ( jω)(5.8)Произведение K ( jω)β( jω) имеет смысл ПФ последовательногосоединения четырехполюсников K ( jω) и β( jω) , т. е. ПФ разомкнутой системы H ( jω)H ( j ω) = K ( jω)β( jω) = H (ω)e jϕ H ( ω) = Re H + j Im H ,(5.9)где H (ω) и ϕ(ω) – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системыH (ω) = K (ω)β(ω) , ϕ H (ω) = ϕ K (ω) + ϕβ (ω) ;(5.10)Re H = Re[ H ( jω)] , Im H = Im[ H ( jω)] – действительная и мнимаячасти ПФ разомкнутой системы.ПФ K oc ( jω) часто называют ПФ замкнутой системы.Если на некоторой частоте ω1 − H ( jω) > 1, то K oc ( jω) < K ( jω) ,(5.11)т. е.
введение ОС уменьшает модуль ПФ замкнутой системы и обратная связь для этой частоты называется отрицательной; в противном случае1 − H ( jω) < 1 , K oc ( jω) > K ( jω)(5.12)– положительной.Отрицательная ОС позволяет в ряде случаев улучшить характеристики цепей: стабилизировать коэффициент усиления, осуществить коррекцию АЧХ. Положительная ОС используется в различных генераторах и в том числе в генераторах гармонических колебаний.Uвх(p)вхK(p)+Uвых(p)выхUвхвхK(jω)β(p)Uос(p)β(jω)UосабРис.
5.3Uвыхвых955.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯУстойчивость цепей с ОС. Условие устойчивости заключаетсяв том, что после прекращения действия внешних возмущений система возвращается в исходное состояние. Известно несколько критериев устойчивости, различающихся в основном по форме, а не посуществу. Они подразделяются на две группы.Алгебраические критерии.
Уравнение (5.1) с нулевой правой частью, т. е.bmd mU вых (t )dtm+ bm −1d m −1U вых (t )dtm −1+ … + b1dU вых (t )=0dt(5.13)будет описывать состояние покоя линейной цепи. После внешнеговоздействия переходные процессы должны быть затухающими длявозвращения цепи в исходное состояние покоя. Решение уравнения(5.13) имеет вид:mu (t ) = ∑U i e pit ,(5.14)i =1где U i – постоянные, pi = σi + jωi – корни характеристическогоуравненияbm p m + bm −1 p m −1 + .... + b1 p + b0 = 0 .(5.15)Следовательно, система устойчива, если действительные части σi всех корней характеристического уравнения (5.15) отрицательны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
