А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Автокорреляционная функция K (τ) случайного процесса связана с его спектральной плотностью мощности (СПМ) G (ω) . Этасвязь согласно теореме Винера-Хинчина устанавливается паройпреобразований Фурье:∞G(ω) =− jωτ∫ K (τ)e−∞⎡ ∞⎤ ∞− jωτd τ = Re ⎢2∫ K (τ)ed τ⎥ = 2∫ K (τ)cos(ωτ)d τ , (4.19)⎢⎣ 0⎥⎦ 0∞K ( τ) =∞11jωτ∫ G(ω)e d ω = π ∫ G(ω)cos(ωτ)d ω .2π −∞0(4.20)АКФ и СПМ процессов присущи свойства, которые характерныдля любой пары функций, связанных преобразованиями Фурье. Вчастности, чем уже АКФ K (τ) , тем шире СПМ G (ω) и, наоборот,чем шире АКФ K (τ) , тем уже СПМ G (ω) .74ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВЕсли в качестве меры ширины спектра мощности ввести эффективную (энергетическую) ширину, определяемую основаниемравновеликого по площади прямоугольника (на положительнойполуоси частот), т. е.∞Δωэ =1G (ω)d ω ,G (0) ∫0(4.21)то произведение интервала корреляции τk на ширину спектра Дщэесть величина постояннаяτ к Δω э = π 2 и τ к Δf э = 1/ 4 ,(4.22)где Δf э = Δωэ / 2π .При суммировании двух случайных процессов, т.
е.Z (t ) = X (t ) + Y (t ) ,(4.23)обладающих известными характеристиками, автокорреляционнаяфункция суммыooo⎧⎪⎛ o⎧o⎫⎞⎛ o⎞ ⎫⎪K z (t1 , t2 ) = M ⎨ Z (t1 ) Z (t2 ) ⎬ = M ⎨⎜ X (t1 ) Y (t1 ) ⎟⎜ X (t2 ) Y (t2 ) ⎟ ⎬ =⎪⎩⎝⎠ ⎪⎭⎩⎭⎠⎝oo⎧o⎫⎧o⎫= M ⎨ X (t1 ) X (t2 )⎬ + M ⎨ X (t1 ) Y (t2 )⎬ +⎩⎭⎩⎭oo⎧o⎫⎧o⎫+ M ⎨ X (t2 ) Y (t1 )⎬ + M ⎨Y (t1 ) Y (t2 )⎬ =⎩⎭⎩⎭= K x (t1 , t2 ) + K xy (t1 , t2 ) + K yx (t1 , t2 ) + K y (t1 , t2 ),(4.24)т. е.
равна сумме автокорреляционных функций K x (t1 , t2 ) ,K y (t1 , t2 ) и так называемых взаимных корреляционных функций(ВКФ) K xy (t1 , t2 ) и K yx (t1 , t2 ) этих процессов.Случайные процессы называют стационарно связанными, еслиВКФ K xy (t1 , t2 ) и K yx (t1 , t2 ) зависят не от самих аргументов t1 иt2 , а только от разности τ = t2 − t1 . В этом случаеK xy (τ) = K yx (−τ) .(4.25)4.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ75Для статистически независимых процессов K xy (τ) = K yx (τ) = 0 ,и это означает, что процессы не коррелированы. Обратное утверждение в общем случае несправедливо.Отметим, что ВКФ не обязательно обладает перечисленнымисвойствами автокорреляционной функции (АКФ).Одномерный закон распределения суммарного процесса Z(t) вслучае статистически независимых процессов X(t) и Y(t) определится как композиция законов распределения слагаемых, т.
е. каксвертка∞wz ( z ) =∫∞wx ( x) wy ( z − x)dx =−∞∫ wy ( y)wx ( z − y)dy ;(4.26)−∞при этом характеристическая функция θz (v) равна произведениюхарактеристических функций исходных процессов, т. е.θ z ( v ) = θ x ( v )θ y ( v )(4.27)и∞wz ( z ) =1− jvz∫ [θ x (v)θ y (v)]e dv .2π −∞(4.28)С помощью характеристических функций удобно также находить плотность вероятности стационарного случайного процесса,подвергнутого функциональному преобразованию. Так еслиz = f ( x) , тоθ z (v) = M {exp( jvz )} = M {exp[ jvf ( x)]} .(4.29)Наконец, отметим некоторые свойства нормального узкополосногопроцесса, сформированного, например, из белого шума вырезаниемузкой полосы частот и представляющего собой квазигармоническое колебание видаx(t ) = A(t )cos[ω0t + ϕ(t )] ,(4.30)где A(t ) и ϕ(t ) – огибающая и начальная фаза – медленные функции по сравнению с cos(ω0t ) .Одномерная плотность вероятности wA ( x) огибающей A(t )описывается законом Рэлея:wA ( x) = w( A) =Aσ2x⎛ A ⎞exp ⎜ − 2 ⎟ , 0 < A < ∞ ,⎜ 2σ ⎟x ⎠⎝(4.31)76ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВпри этом mA = 2 / π и DA = 2σ 2x .Начальная фаза этого процесса распределена равномерноw(ϕ) = 1 ( 2р ) , 0 < ϕ < 2р .(4.32)В заключение приведём условную схему (граф) основных характеристик случайного процесса (рис. 4.2.) Каждая из стрелок насхеме указывает на возможность перехода от одной характеристики к другой путём математического преобразования; знак “∫” означает интегральное преобразование, знак “(.)' “ указывает на производную, ПФ – преобразования Фурье.ПФwn ( x1 ,., x n ; t1 ,., tn )ПФw2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )∫F (x )∫ ( )'θ n (ν 1 ,.,ν n ; x1 ,., x n )θ 2 (ν 1 ,ν 2 ; x1 , x 2 )K (τ )ПФG (ω )w(x)ПФθ (ν )H∫mn , μ n∫( )'Рис. 4.24.3.
ЗАДАЧИ4.3.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ1. Случайный процесс X (t ) в фиксированный момент времениопределяется одномерной плотностью вероятности видаw( x) = ae −bx при x > 0.Установите связь между параметрами a и b.2. Задан одномерный интегральный закон распределения вероятностей случайного процесса X (t )⎧⎪ax 2 ,0 < x < 1,F ( x) = ⎨⎪⎩1, x > 1.774.3. ЗАДАЧИНайдите значение параметра a , плотность вероятности w( x) , азатем вероятность того, что случайная переменная X будет лежатьв интервале от x1 до x2 , причём: а) x1 = 0, x2 = 0.5; б) x1 = 0.5,x2 = 1; в) x1 = 0.4, x2 = 0.8;3. Найдите моду и медиану соответствующего одномерного закона распределения вероятностей:а) Рэлеяw( x) = ( x / σ 2 )exp( − x 2 /2σ 2 ), x >0 ;б) линейно-экспоненциальногоw( x) = x exp(− ax), x > 0, a = 1 ;в) нормальногоw( x) = (1/ σ 2π )exp[−( x − a )2 / 2σ2 ] .4.
На пороговую схему (электронное реле) воздействует случайное напряжение, распределённое по рэлеевскому законуw(u ) = (u / σ 2 )exp(−u 2 / 2σ 2 ), u > 0 .Какова вероятность срабатывания схемы в некоторый фиксированный момент времени t1 , если пороговое значение U n = 3 В,σ = 1 В.5. Интегральная функция рэлеевского распределения описывается выражениемF ( x) = 1 − exp( − x 2 / 2σ2 ) .Определите, начиная с какого значения x0 , F ( x) > 0.997.6. На входе пороговой схемы, рассмотренной в задаче 4, действует случайное напряжение, имеющее нормальный закон распределения вероятностей с параметрами: mu = 5 мВ, σu = 0.5 мВ. Пороговое напряжение схемы U n = 5.55 мВ.Какова вероятность срабатывания схемы в некоторый фиксированный момент времени?7.
Определите и графически изобразите одномерную плотностьвероятности w(x) гармонического колебания со случайной начальной фазой, реализация которого имеет вид (рис. 4.3.)xi (t ) = A cos(ω0t + ϕi ), i = 1, N ,78ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВгде A и ω0 – известные и постоянные для всех реализаций амплитуда и частота; ϕi – начальная фаза, случайная величина для различных реализаций, равномерно распределённая на интервале от 0до 2π, т.
е. w(ϕ) = 1/2π. Круговая частота ω0 = 2πf = 2π / T , где fи T – частота и период колебаний.X (t )x1 (t )A0xi (t )xn (t )Tt2T02πω0 t4πРис. 4.38. По условию предыдущей задачи найдите интегральный законраспределения вероятностей F ( x) и определите вероятность того,что X будет находиться в интервале [− A + b, A − c] . Проделайтерасчёт для случая, когда b = A / 2 и с = A / 2 .9. По графически заданной функции распределения F ( x) стационарного случайного процесса (рис. 4.4) определите плотностьвероятности w( x) и изобразите примерный вид реализации процесса X (t ) .F (x)−2F (x)F (x )1.01.01.00.50.50.5−1 012x− 2 −1 01x−101xРис.
4.410. Определите и графически изобразите одномерную плотностьвероятности пилообразного, треугольного и прямоугольного колебаний (рис. 4.5) с амплитудой A , периодом повторения T и случайной задержкой τi , равномерно распределённой на интервале от794.3. ЗАДАЧИ0 до Т. Для прямоугольных импульсов скважность q = T / τи принять равной: а) 2; б) 4.11. Напряжение на выходе пороговой схемы представляет собойслучайный процесс U (t ) , каждая реализация которого u (t )(рис. 4.6) является последовательностью прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды А и случайной длительности τ .
Известно, что P (0) = P ( A) = 0.5 .Найдите и изобразите функцию распределения и плотность вероятности этого случайного процесса.τ0xi (t )Axi (t )AtTτixi (t )ATtτiτi + τu TtРис. 4.5u (t )A0tРис. 4.612. Напряжение на выходе измерительного усилителя представляет собой нормальный стационарный случайный процесс с параметрами: m = 0, σ = 2 В.Определите вероятность того, что мгновенное значение напряжения: а) находится в пределах от 0 до 2 В; б) превышает 2 В.13. По заданному двумерному закону распределения вероятностей(w2 ( x1 , x2 ) = 2π 1 − R 2)−1{-1exp − ⎡ 2σ 2 (1 − R )2 ⎤ ⋅⎣⎦}⋅ ⎡ ( x1 − m) 2 − 2 R ( x1 − m)( x2 − m) + ( x2 − m)2 ⎤ ,⎣⎦статистически связывающему мгновенные значения X1 и X 2 нормального стационарного случайного процесса X (t ) в сечениях t1 иt2 , в котором m , σ и R – параметры распределения, найдите двумерный закон в независимых сечениях и одномерный закон в сечении t1 .80ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВНайдите также вероятность P ( X1 > C ) = m + 3σ , т. е. вероятность превышения случайной величиной X1 порогового уровняX n = C = m + 3σ .14. Определите плотность вероятности wz ( z ) случайной величины Z, каждая реализация которой представляет сумму независимых случайных величин X и Y с заданными законами распределения:а) экспоненциальнымwx ( x) = λ exp(−λx), x > 0, wy ( y ) = λ exp(−λy ), y > 0;б) равномернымwx ( x) = 1/(b − a), a < x < b, wy ( y ) = 1/(b − a), a < y < b;в) нормальным с параметрами: mx , m y , σ x , σ y .15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
