А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Это фундаментальное положение было обоснованоА. М. Ляпуновым.Поскольку левая часть уравнения (5.15) представляет собойзнаменатель ПФ (5.3), корни уравнения (5.15) являются полюсамиПФ (5.3) и, следовательно, для устойчивости цепи необходимо,чтобы ПФ не имела полюсов в правой полуплоскости комплекснойпеременной p .Если цепи описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, нахождение корней характеристического уравнения осложнено. В этом случае используют критерий РаусаГурвица: для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (5.15) с вещественными коэффициентами bm были отрицательными и, следовательно, цепь была устойчивой, необходимо идостаточно, чтобы были положительными следующие величины:1) коэффициенты b0 ,…, bm ;2) определители Δ1 = bm −1 ,96ГЛАВА 5.
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИbm−1 bm−3 bm−5 .....0Δ2 =bm −1 bm−3bmbm− 2,……….., Δ m =bmbm − 2 bm− 4 .....0.............................0;(5.16)0....................b2 b03) все главные миноры определителей.Достоинство этого критерия – относительная простота. Однакос возрастанием m увеличивается порядок определителей и вычисление их становится громоздким. Кроме того, он неприменим ксистемам с распределенными параметрами и неудобен при экспериментах, когда заданы не коэффициенты уравнения, а ПФ разомкнутой цепи. Алгебраические критерии не дают ясных указанийпо переводу неустойчивой системы в устойчивую и наоборот.От этих недостатков свободны геометрические критерии.Геометрические (частотные) критерии.
Из (5.8) следует, чтопри H ( jω) = 1 усиление K oc ( jω) бесконечно возрастает, т. е. система становится неустойчивой. Следовательно, если АФХ (годограф) H ( jω) разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (1, j0), то замкнутая система устойчива и наоборот.Это условие называется критерием устойчивости Найквиста.Вместо АФХ могут быть использованы обычные АЧХ и ФЧХразомкнутой системы. Если при изменении частоты ω от 0 до ∞фаза ϕ Н не достигает 0, или n ⋅ 2π (где n – целое), то замкнутаясистема устойчива при любом значении H = K β . Если H = K β прилюбой частоте меньше единицы, то замкнутая система устойчивапри любой ФЧХ.Система неустойчива, если имеются частоты, на которых одновременно выполняются два условия:ϕH = ϕ K + ϕβ = n ⋅ 2π, n = 0,1, 2,..⎪⎫⎬H = K β ≥ 1.⎪⎭(5.17)Критерий Найквиста получил наибольшее применение в радиотехнике и радиоэлектронике.
Известен также ряд других геометрических критериев устойчивости, например критерий Михайлова икритерий пересечений, которые широко используются в автоматике при анализе систем регулирования.Гребенчатые фильтры. Запаздывающая ОС, в которой цепьОС представляет собой звено (линию) задержки на время τ3 , по-975.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯзволяет создать гребенчатый фильтр, у которого АЧХ и ФЧХ имеют периодическую структуру:K oc (ω) =K (ω)1 − 2 K (ω)β(ω) cos[ϕK (ω) − ωτ3 ] + K 2 (ω),(5.18)⎡ K (ω)β(ω)sin[ϕ K (ω) − ωτ3 ] ⎤ϕoc (ω) = ϕ K (ω) − ωτ3 + arctg ⎢⎥ .
(5.19)⎣1 − K (ω)β(ω) cos[ϕ K (ω) − ωτ3 ] ⎦Из соображений устойчивости на всех частотах должно быть:Kβ < 1 .Koc (ω )86K=0.94K=0.820K=0.5р/ф32р/ф33р/ф34р/ф3щРис. 5.4На рис. 5.4 приведены графики K oc (ω) для частного идеализированного случая, когда K ( jω) = K и β( jω) = 1exp( − j ωτ3 ) . Очевидно, что АЧХ имеет вид “гребенки”, отсюда и название фильтрагребенчатый. Максимальное и минимальное значения АЧХK max = K /(1 − K ) , K min = K /(1 + K ) .(5.20)Расстояние между максимумами (или минимумами) Δω1 и ширина каждого зубца 2Δω0.7 (на уровне 0.707 от максимума) могутбыть найдены из соотношений98ГЛАВА 5.
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИΔω1 = 2π / τ3 , 2Δω0.7 ≈ 2(1 − K ) / τ3 .(5.21)Импульсная характеристика для идеализированного случаяимеет видg (t ) = K δ(t ) + K 2 δ(t − τ3 ) + K 3δ(t − 2τ3 ) + ....(2.22)5.3. ЗАДАЧИ5.3.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПАРАМЕТРЫ ЛЦ1. Для схемы, показанной на рис. 5.5, составьте дифференциальное уравнение для входного тока цепи.2. Определите передаточную функцию K(jω) для схемы рис.
5.5и постройте графики АХЧ, ФЧХ и АФХ.Указания. При выводе выражения K(jω) учесть, чтоω0 = 1 LC – резонансная частота контура; Q = ω0 L R – добротность контура.RR∼uвхLCuвых∼Рис. 5.5uвхCRCuвыхРис. 5.63. Для схемы, показанной на рис. 5.6, получите в аналитическомвиде передаточную функцию K(jω) и постройте графики АЧХ иФЧХ. По виду АЧХ и ФЧХ определите, является ли данная цепьминимально-фазовой.Указания. Графики АЧХ и ФЧХ постройте для двух областейчастот: 1) ω < 1/τ; 2) ω>> 1/τ. Обратите внимание на значение АЧХи ФЧХ на частоте ω0 = 1/τ; где τ = RC – постоянная времени цепи.4. Докажите, что цепь, имеющая комплексную передаточнуюфункциюK(jω) = 1/(jωτ),является идеальным интегратором.5.
Докажите, что цепь, имеющая комплексную передаточнуюфункцию K(jω) = jωτ, является идеальным дифференцирующимустройством.995.3. ЗАДАЧИ6. Для идеального дифференцирующего устройства, имеющегоK(jω) = jωτ, найдите в аналитическом виде переходную характеристику.7. Для схемы, показанной на рис. 5.5, определите в аналитическом виде импульсную g(t) и переходную h(t) характеристики дляслучая R = 0. Объясните, почему g(t) и h(t) имеют различную размерность.Указания. Для нахождения g(t) и h(t) используйте функциюK(jω), полученную в задаче 2.8.
Импульсная характеристика цепи имеет видg (t ) =ω0 K0 sin[ω0 (t − τ3 )],πω0 (t − τ3 )где K0 – значение коэффициента передачи на нулевой частоте; ω0 –граничная частота; τ3 – время задержки. Получите выражение длякомплексной передаточной функции K(jω).Указания.
Эффективным способом решения данной задачи является использование теорем о спектрах.9. Для идеального интегратора, имеющего комплексную передаточную функцию K(jω) = 1/(jωτ), вычислите импульсную g(t) ипереходную h(t) характеристики.Указания. Для определения g(t) целесообразно воспользоватьсятеоремой о вычетах.10.
Для схемы, показанной на рис. 5.7, определите в аналитическом виде K(jω) и изобразите графики АЧХ и ФЧХ.Указания. В качестве развязывающих элементов используютсяидеальные операционные усилители (ОУ), имеющие на всех частотах постоянный коэффициент усиления К0, при этом входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, а еговыходное сопротивление равно нулю.K0вхRK0CCR выхРис. 5.711. По выражению АЧХ, полученному в задаче 10, определитеполосу пропускания Δω0.7 цепи рис. 5.7 по уровню 0.707 от максимального значения.100ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ12. Для схемы, показанной на рис.
5.7, получите в аналитическом виде импульсную характеристику g(t). Определите длительность переходных процессов Δtn по уровню 0.1 от максимальногозначения g(t).Пользуясь результатами решения задачи 11, найдите соотношение неопределённости Δω0.7⋅ Δtn.13. Определите в аналитическом виде импульсную g(t) и переходную h(t) характеристики линейной системы, изображённой нарис. 5.8.Указания.
Для решения данной задачи целесообразно применить теорему о вычетах для кратных полюсов.вхK1(jω)=1/jωK3(jω)=1/jωK2(jω)=K0выхРис. 5.814. Получите выражения для ПФ, АЧХ и ФЧХ резонансного усилителя, схема которого приведена на рис. 5.9. Полевой транзисторработает на линейном участке вольт-амперной характеристики и имеет в рабочей точке ( U 0 ) известную крутизну S .
Параметры контура:C , L , Q и p = L1 / L . Изобразите качественно АЧХ, ФЧХ и АФХ.15. Определите резонансную частоту ( f p ), полосу пропускания( 2Δf 0.7 ), резонансный коэффициент усиления ( K p ) и постояннуювремени ( τk ) линейного резонансного усилителя (рис. 5.9) при следующих параметрах:мГн,Q = 10 ,C = 1.2 нФ,L = 20p = L1 / L = 0.95 и S = 1.5 мА/В.CРVTВыхCPВхRPU0LL L12EПРис. 5.9СВых.11015.3. ЗАДАЧИНа рис.
5.10 показана схема усилителя. Выведите выражениядля ПФ, АЧХ и ФЧХ. Постройте качественно графики АЧХ, ФЧХи АФХ при R1 = R2 = R , C1 = C2 = C и K ( jω) = K 0 .С1R1K(jω)=K0ВхC2ВыхR2Рис. 5.105.3.2. ЦЕПИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ17. Докажите, что ПФ цепи, схема которой приведена нарис. 5.11 описывается выражениемK ( jω) = − Z 2 ( jω) / Z1 ( jω) .(5.23)Входящий в цепь идеальный ОУ на всех частотах имеет бесконечно большое входное сопротивление и нулевое выходное.18. Докажите, что цепь, изображённая на рис. 5.12, осуществляет операцию приближённого интегрирования.Указания.
При составлении дифференциального уравнения учтите, что входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, а коэффициент усиления |K| >> 1.CZ2Z1ВхR–KВых–KВхРис. 5.11ВыхРис. 5.1219. Докажите, что цепь, изображённая на рис. 5.13, осуществляет операцию приближённого дифференцирования.RCВх–KРис. 5.13Вых102ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ20. Определите нестабильность ( ΔK oc / K oc ) цепи с ОС, если известно, что: а) ΔK / K = 5% , б) Δβ / β = 1% . Колебания с выходацепи ОС подаются на вход прямой цепи в противофазе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
