А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е.Sвых (t ) = ∑ res ,(6.6)где ∑ res – сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции(6.4).Если функция Sвых ( p) = A( p ) / B( p ) дробно-рациональная, причём степень полинома A( p ) меньше степени полинома B ( p ) , товычет этой функции, имеющей в точке p1 простой полюс (первойкратности), определяется по формулеres1 = A( p1 ) /[dB( p ) / dp] p = p1 .110ГЛАВА 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВТаблица 6.1Активный RC-фильтрМасштабный усилительа) инвертирующее включениеZ2Z1Коэффициент передачиа) K ( p ) =ОУU1U 2 ( p)Z ( p)=− 2U1 ( p )Z1 ( p )U2б) неинвертирующее включениеZ2Z1б) K ( p ) = 1 +ОУZ 2 ( p)Z1 ( p)U2U1ИнтеграторCR1, τ = RC ,pτ1U 2 (t ) = − ∫ U1 (t )dtτK ( p) = −ОУU1U2Сумматор-интеграторU1.1 R1.1CK ( p) = −n∑τU 2 (t ) = −U21, τi = R1,iCi =1 inОУU1.n R1.n1p∑ τ ∫U11i (t ) dti =1 iДифференцирующий усилительRK ( p ) = −τp , τ = RC ,CОУU1U 2 (t ) = −τU2ФНЧ второго порядкаR1RU1RCK ( p) =R2ОУCdU1 (t ),dtK′2 2τ p + (3 - K ′)τp + 1τ = RC ,U2K′ = 1+R2.R1,1116.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯЕсли функция Sвых ( p) имеет в точке p1 полюс кратности m (приэтом m – целое положительное число), тоres1 =1d m−1 ⎡ A( p )m⎤−(pp).1⎢⎥(m − 1)! dp m−1 ⎣ B ( p )⎦ p= p1Применение теории вычетов может упростить расчёт цепи операторным методом.При определении требуемой характеристики сигнала или цепинеобходимый метод расчёта (алгоритм) с минимальным количеством интегральных операций может быть выбран с помощью схемы(графа) (рис. 6.1.).g (t )S вх ( t )ПФПФP ↔ jщS вх ( P )ПФK ( jщ)S вх ( jщ)ПЛS вых ( t )P ↔ jщПЛK (P )S вых ( jщ )P ↔ jщПЛS вых ( P )Рис. 6.1При исследовании прохождения модулированных (узкополосных) сигналов через узкополосные (избирательные) цепи, полосапропускания которых мала по сравнению с центральной частотой,кроме перечисленных методов, дающих точное решение, используются также и приближённые методы (рис.
6.2), которые в рядеслучаев дают решения, весьма близкие к точным.Суть метода комплексной огибающей состоит в следующем. Узкополосное колебание Sвх (t ) = A(t )cos[ω0t + ϕ(t )] представляется вкомплексном виде согласно (3.7)…(3.9), т. е.S&вх (t ) = A(t )e jϕ(t ) e jω0t = A& (t )e jω0t ,(6.7)где A& (t ) = A(t )e jϕ(t ) – комплексная огибающая, содержащая всюинформацию, заложенную в сигнал Sвх (t ) в результате амплитудной и угловой модуляции. Предполагаем, что центральная (резо-112ГЛАВА 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВнансная) частота ωр цепи отличается расстройкой Δω от несущейчастоты ω0 входного сигнала, т.
е. ω0 = ωр + Δω . ТогдаSвх (t ) = A(t )cos[ωp t + Δωt + ϕ(t )] ,s&вх (t ) = A(t )e jϕ(t ) ejωpt(6.8)jω t= A& (t )e p ,(6.9)где слагаемое Δωt в (6.8) отнесено к фазовому сдвигу сигналаSвх (t ) . На выходе заданной цепи получится также комплексныйсигналjω tjω tS&вых (t ) = A&вых (t )e p = Aвых (t )e jψ (t ) e p ,(6.10)действительная часть которогоSвых (t ) = Re[ S&вых (t )] = Aвых (t ) cos[ωp t + ψ (t )](6.11)и представляет собой выходной сигнал.Прохождение cигналов черезлинейные цепиапериодические избирательныеПриближенные методыТочные методыДифференциалыуравненийуравненийИнтеграла Спектральныйналожения ( операторный )КомплекснойогибающейСпектраль −ныйСпектра −льныйМгновеннойчастотыИнтеграланаложенияРис.
6.2Итак, задача сводится к тому, чтобы определить влияние цепина комплексную огибающую входного сигнала. В зависимости оттого, частотные или временные характеристики цепи заданы, зада-1136.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯчу можно решить спектральным методом или методом интеграланаложения.В первом случае спектральная плотность комплексной огибающей S& Aвых (Ω) выходного сигнала определяется произведениемS& Aвых (Ω) = S& A (Ω) K& (Ω) ,(6.12)где K& (Ω) – передаточная функция низкочастотного эквивалентацепи, получаемая смещением правых ветвей АЧХ K (ω − ω p ) иФЧХ ϕk (ω − ωp ) узкополосной цепи на частоту ωp влево, в областьнизких частот.Схемы низкочастотных эквивалентов некоторых избирательныхцепей и их характеристики даны в [3, табл.7.1].Комплексная огибающая выходного сигнала∞1A&вых (t ) =S& A (Ω) K (Ω)e jΩt d Ω∫2π −∞(6.13)и сам выходной сигналjω tSвых (t ) = Re[ A&вых (t )e p ] .(6.14)Во втором случае, когда известна импульсная характеристиканизкочастотного эквивалента g& нч (t ) , комплексная огибающая выходного сигналаA&вых (t ) =t∫A& (τ) g& (t − τ)d τ = A& (t ) ⊗ g& нч (t ) ≈−∞1 &A(t ) ⊗ G& (t ) ,2(6.15)т.
е. является сверткой комплексной огибающей входного сигналаи комплексной огибающей импульсной характеристики низкочастотного эквивалента цепи (или с половиной комплексной огибающей импульсной характеристики цепи).Приближённый спектральный метод используется при решениизадач прохождения широкополосного сигнала через узкополоснуюцепь. При этом считается, что спектральные характеристикиSвх (ω) и ϕвх (ω) входного сигнала Sвх (t ) приблизительно постоянны в пределах полосы пропускания цепи, т. е.jϕ ( ω )S&вх (ω) ≈ Sвх (ωp )e вх p = S0 e jϕ0 .(6.16)114ГЛАВА 6.
ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВСпектральное и временное представление выходного сигнала:S&вых (ω) = S&вх (ω) K& (ω) ≈ S0 K (ω)e jϕ0 e jϕk ( ω) ,∞1Sвых (t ) =S&вых (ω)e jωt d ω ≈ S0 e jϕ0 g (t ) .∫2π −∞(6.17)где g (t ) – импульсная характеристика линейной избирательной цепи, определяемая обратным преобразованием Фурье от передаточной функции K& (ω) = K ( jω) .Приближённый метод мгновенной частоты (иначе метод медленно меняющейся частоты) применяют при исследовании прохождения колебаний модуляции (или манипуляции) через резонансные цепи.
При этом полагаем, что мгновенная частота входногосигнала изменяется достаточно медленно, так что установлениестационарных колебаний на выходе происходит почти одновременно с изменением частоты на входе цепи. Используя символический метод, получаем:S&вх (t ) = S0 e j[ ω0t + msв (t )] ;K& [ω(t )] = K [ω(t )]e jϕk [ ω(t )] ;S&вых (t ) = S&вх (t ) K& [ω(t )] ;Sвых (t ) = Re[ S&вых (t )] = S0 K [ω(t )]cos{ω0t ++ msв (t ) + ϕk [ω(t )]} = Sвых (t )cos[ψ (t )] ,где sв (t ) – закон изменения видеосигнала (модулирующего сигнала).
Для мгновенной частоты имеемωвых (t ) =d [ψ (t )]d [ω(t )]= ω0 + msв′ (t ) += ωвх (t ) + V (t ) .dtdt(6.18)Таким образом, прохождение сигнала с угловой модуляцией сопровождается амплитудной модуляцией (сомножитель K [ω(t )] ) иискажением закона изменения мгновенной фазы (слагаемоеϕk [ω(t )] ) или частоты (слагаемое V (t ) в формуле (6.18)).1156.3. ЗАДАЧИБолее подробное рассмотрение показывает [1-3], что этот методобеспечивает достаточную для практики точность при выполненииусловий:Tв > τk ; ωд ≤ Δω0.7 ,где Tв – период модулирующего (или видео-) сигнала; ωд – девиация частоты; τк и Δω0.7 - постоянная времени и половина полосыпропускания резонансной цепи.6.3. ЗАДАЧИ6.3.1.
ВОЗДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВНА АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПИ1. На вход цепи (рис. 6.3) подаётся прямоугольный импульс самплитудой 20 В и длительностью 10–4 с. Найдите сигнал на выходе цепи при R1 = R2 = 103 Ом, С = 0, 2 ⋅ 10−6 Ф.2. Решите задачу 1 при подаче на вход цепи треугольного импульса (рис. 6.4) с амплитудой 20 В и длительностью 200 мкс.u (t )R1R2CEτ u /20Рис. 6.3τu tРис.
6.43. В момент времени t = 0 к электрической цепи, изображённойна рис. 6.5, подключается постоянная ЭДС E = 100 В. Найдите закон изменения напряжения на индуктивности. Параметры цепи:R1 = 100 Ом, R2 = 200 Ом, L = 10−2 Гн.C2R1e(t)R1 C1LR2Рис. 6.5R2ОУU1U2Рис. 6.6116ГЛАВА 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ4. Решите задачу 3 для случая, когда ЭДС на входе цепиe(t ) = 104 t B.5. Определите переходную характеристику активной цепи, изображённой на рис.
6.6.6. Определите импульсную характеристику активной цепи, схема которой приведена на рис. 6.7.C2R2R1C1ОУU1U2Рис. 6.76.3.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ7. На вход интегрирующей RC цепочки подаётся периодическаяпоследовательность прямоугольных импульсов амплитудой 20 В,длительностью 250 мкс и частотой следования 1 кГц.Вычислите зависимость выходного напряжения U вых (t ) в пределах 0 ≤ t ≤ 4Т и его спектральный состав в установившемся режиме.8. По данным задачи 7 найдите величину ёмкости интегрирующей цепочки при условии, что амплитуда первой гармоники составляет 5 % от постоянной составляющей выходного напряженияв установившемся режиме (R = 1 кОм).9.
На вход сумматора–интегратора (рис. 6.8) подаются сигналыU1 (t ) и U 2 (t ) , представленные на рис. 6.9. Определите форму выходного сигнала (изобразите графически).U1(t)U2(t)R1=103 ОмR2=103 ОмC=10-6 ФОУРис. 6.8Uвых(t)1176.3. ЗАДАЧИ10. На вход интегратора на операционном усилителе (схему см.в табл. 6.1) подаётся знакопостоянная периодическая последовательность прямоугольных импульсов. Опишите качественно зависимость U вых (t ) .U1 , BU2 ,τ и = 10−2 cB0 .50 .500τиt0.5τ и τ и1.5τ иt− 0 .5Рис.
6.911. На вход дифференциатора подаётся импульс треугольнойформы (рис. 6.10).Изобразите зависимость U вых (t ) .Определите величину ёмкости C исходя из условия, что амплитуда на выходе равна 2 В.uвх (t )R=1 кОмU вх = 1 Bфи = 10−3 cU вхCОУUвх0фи / 2фиtРис. 6.1012. На вход дифференциатора с корректирующим резисторомR1 (рис. 6.11) подаётся прямоугольный импульс.Как будет меняться форма U вых (t ) при различных значениях R1 ?R2R1 CОУUвхUвыхРис. 6.11118ГЛАВА 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
